Д.В. Гальцов - Лекции по физике для математиков (Часть 2) (1120658), страница 11
Текст из файла (страница 11)
ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÞÉÓÌÏ 2l + 1 ÃÅÌÏÅ, É, ÚÎÁÞÉÔ, l ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÃÅÌÙÍ ÉÌÉ ÐÏÌÕÃÅÌÙÍ. äÌÑ×ÅËÔÏÒÏ× jl(l + 1); mi ÏÂÝÅÐÒÉÎÑÔÁ ÔÁËÖÅ ÂÏÌÅÅ ËÒÁÔËÁÑ ÚÁÐÉÓØ jl; mi, ÔÁË ÞÔÏ ÉÍÅÅÍL2 jl; mi = ~2 l(l + 1) jl; mi :(19)éÔÁË, ÍÙ ÐÏËÁÚÁÌÉ, ÞÔÏ ÉÚ ËÏÍÍÕÔÁÃÉÏÎÎÙÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ÄÌÑ ËÏÍÐÏÎÅÎÔ ÍÏÍÅÎÔÁ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á Ä×ÉÖÅÎÉÑ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÏÐÅÒÁÔÏÒÁ Lz ÃÅÌÙÅ, ÌÉÂÏ ÐÏÌÕÃÅÌÙÅ ÞÉÓÌÁ; ÐÒÉ ÐÏÌÕÞÅÎÉÉ ÜÔÏÇÏÒÅÚÕÌØÔÁÔÁ ÎÅ ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÌÏÓØ Ñ×ÎÏÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÅ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ (3) ÌÉÂÏ (7,8). ïÄÎÁËÏ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÅ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÓÔÉ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ ÏÐÅÒÁÔÏÒÁ Lz × ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÍ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÉ h; ' l; mi Ylm (; ')Lz Ylm (; ') = ~i @' Ylm (; ') = ~mYlm (; ')(20)ÐÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÚÁËÌÀÞÅÎÉÀ Ï ÃÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÓÔÉ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ m.
äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÉÚ (20) ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏYlm (; ') = lm ()eim' ;(21)ÇÄÅ ÁÚÉÍÕÔÁÌØÎÙÊ ÕÇÏÌ ' 2 [0; 2]. éÚ pÁ×ÅÎÓÔ×Á Ylm (; '+ 2) = Ylm (; ') ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ m = 0; 1; 2; : : :.40çìá÷á 4.ôò³èíåòîùå úáäáþé÷ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÍ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÉ ÆÕÎËÃÉÉ Ylm (; ') × (21) ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ ÎÁ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅÚÎÁÞÅÎÉÑ ÄÌÑ ÏÐÅÒÁÔÏÒÁ L2 , ÚÁÐÉÓÁÎÎÏÇÏ × ×ÉÄÅ (9), ÏÔËÕÄÁ ÎÁÈÏÄÉÍ ÄÌÑ lm () ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ1 @ (sin @ ) m2 = l(l + 1) :(22) lmlmsin sin2 lmòÅÇÕÌÑÒÎÙÅ ÎÁ ÓÆÅÒÅ ÒÅÛÅÎÉÑ ÜÔÏÇÏ ÕpÁ×ÎÅÎÉÑ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÐÒÉÓÏÅÄÉÎÅÎÎÙÍÉ ÐÏÌÉÎÏÍÁÍÉ ìÅÖÁÎÄÒÁ:lm () = Nlm Plm (cos );(23)ÇÄÅ Nlm | ÎÏÒÍÉÒÏ×ÏÞÎÙÊ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔ, Á ÄÌÑ Plm (cos ) ÐÒÉ m > 0 ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÐpÏÉÚ×ÏÄÑÝÅÅ ×ÙpÁÖÅÎÉÅ( 1)l (sin )md l+m (sin )2l :(24)2l l!d cos îÏÒÍÉÒÏ×ÏÞÎÙÊ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔ ×ÙÂÉÒÁÅÔÓÑ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ×ÙÐÏÌÎÑÌÏÓØ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÏÒÔÏÎÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÎÏÓÔÉYlm (; ') ÎÁ ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ ÓÆÅÒÅ:Plm (cos ) =IYl0 m0 (; ')Ylm (; ') sin d d' = ll0 mm0 :äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÐÒÉ m > 0 ÍÏÖÎÏ ÐÏÌÏÖÉÔØs(2l + 1) (l m)! P m (cos )eim' ;4 (l + m)! lÉÓÐÏÌØÚÕÑ ÄÌÑ ÒÁÓÐÒÏÓÔÒÁÎÅÎÉÑ ÎÁ ÏÔÒÉÃÁÔÅÌØÎÙÅ m ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅYlm (; ') = (1)m il(25)(26) :Yl; m = ( 1)l m Yl;m(27)æÕÎËÃÉÉ Ylm , ÏÐÒÅÄÅÌ£ÎÎÙÅ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÛÁÒÏ×ÙÍÉ ÆÕÎËÃÉÑÍÉ ÉÌÉ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÉÍÉ ÇÁÒÍÏÎÉËÁÍÉ.
ðÒÉ×ÅÄÅÍ Ñ×ÎÙÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ ÄÌÑ ÎÉÚÛÉÈ ÇÁÒÍÏÎÉË:rr3 cos ; Y = i 3 sin ei' :Y00 = p1 ; Y10 = i 4(28)1;184úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ×ÙÂÏÒ ÆÁÚÏ×ÏÇÏ ÍÎÏÖÉÔÅÌÑ × (26) ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÙÍ, ÄÁÎÎÏÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÐÒÉÎÑÔÏ× ËÕÒÓÅ ìÁÎÄÁÕ{ìÉÆÛÉÃÁ.ûÁÒÏ×ÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ Ylm ÐÒÉ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÍ l = 0; 1; 2; : :: É jmj l ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÎÅÐÒÉ×ÏÄÉÍÙÅ ÇÒÕÐÐÙ×ÒÁÝÅÎÉÊ SO(3). éÓÈÏÄÑ ÉÚ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÈ ÓÓÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ÍÅÖÄÕ ÏÐÅÒÁÔÏÒÁÍÉ ËÏÍÐÏÎÅÎÔ ÍÏÍÅÎÔÁ, ÍÙÎÁÛÌÉ, ÞÔÏ ×ÏÚÍÏÖÎÙ ÔÁËÖÅ ÐÏÌÕÃÅÌÙÅ lm .ó ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ×ÅËÔÏÒÙ jl; mi ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÎÅÐÒÉ×ÏÄÉÍÙÅ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÊ ÎÁËÒÙ×ÁÀÝÅÊ SU(2) ÇÒÕÐÐÙ ×ÒÁÝÅÎÉÊ (ÎÁÐÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ SO(3) = SU(2)=Z2). äÁÌÅÅ ÍÙÕ×ÉÄÉÍ, ÞÔÏ ÜÔÉ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ ÔÁËÖÅ ÆÉÚÉÞÅÓËÉ ÒÅÁÌÉÚÕÀÔÓÑ, ÏÐÉÓÙ×ÁÑ ÓÏÓÔÏÑÎÉÑ ÞÁÓÔÉÃ, ÏÂÌÁÄÁÀÝÉÈÐÏÌÕÃÅÌÙÍ ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÍ ÍÏÍÅÎÔÏÍ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á Ä×ÉÖÅÎÉÑ | ÓÐÉÎÏÍ. äÌÑ ÓÐÉÎÏ×ÏÇÏ ÍÏÍÅÎÔÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÇÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ × ×ÉÄÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÈ ÏÐÅÒÁÔÏÒÏ× ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ. ïÐÅÒÁÔÏÒ ÍÏÍÅÎÔÁ, ÚÁÄÁ×ÁÅÍÙÊÆÏÒÍÕÌÏÊ (1), ÐÒÉÎÑÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÏÒÂÉÔÁÌØÎÙÍ.x 16.ä×ÉÖÅÎÉÅ × ÃÅÎÔÒÁÌØÎÏÍ ÐÏÌÅåÓÌÉ ÐÏÔÅÎÃÉÁÌØÎÁÑ ÜÎÅÒÇÉÑ U(r) ÚÁ×ÉÓÉÔ ÔÏÌØËÏ ÏÔ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÙ ×ÅËÔÏÒÁ r = jrj, ÔÏ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÉÁÎ H ËÏÍÍÕÔÉÒÕÅÔ Ó ÏÐÅÒÁÔÏÒÁÍÉ ÐÒÏÅËÃÉÊ ÏÒÂÉÔÁÌØÎÏÇÏ ÍÏÍÅÎÔÁ: [H; Li] = 0, Ô.
Å. ÍÏÍÅÎÔ Ñ×ÌÑÅÔÓÑÉÎÔÅÇÒÁÌÏÍ Ä×ÉÖÅÎÉÑ (ÓÍ. x 6). õÄÏÂÎÙÊ ÂÁÚÉÓ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÓÏÓÔÏÑÎÉÊ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÐÏÓÔÒÏÅÎ ÉÚ ÏÂÝÉÈÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× ÔÒ£È ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÈ ÎÁÂÌÀÄÁÅÍÙÈ H, L2 , Lz . ÷ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÍ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÉÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ×ÏÌÎÏ×ÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÍÙ × ×ÉÄÅ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÉÈ ÇÁÒÍÏÎÉË Ylm (; ')ÎÁ ÆÕÎËÃÉÉ ÒÁÄÉÁÌØÎÏÊ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ R(r):Elm (r) = REl (r)Ylm (; '):(1)x16.41ä÷éöåîéå ÷ ãåîôòáìøîïí ðïìåüÔÉ ÆÕÎËÃÉÉ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍL2 Elm = ~2 l(l + 1) Elm ;(2)Lz Elm = ~m Elm ;(3)H Elm = E Elm ;(4)ÐÏÓÌÅÄÎÅÅ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ (ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ûÒ£ÄÉÎÇÅÒÁ) ÐÒÅ×ÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÄÌÑ ÒÁÄÉÁÌØÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉREl (r). äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÚÁÐÉÓÙ×ÁÑ ÏÐÅÒÁÔÏÒ ìÁÐÌÁÓÁ × ×ÙÒÁÖÅÎÉÉ ÄÌÑ H2~H = 2 + U(r)(5)× ÓÆÅÒÉÞÅÓËÉÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÈ: 1211122(6) = r2 @r r @r + r2 sin @ (sin @ ) + 2 @' = @r2 + r2 @r ~L2 r2 ;sin Ó ÕÞ£ÔÏÍ (2), ÉÚ (4) ÐÏÌÕÞÁÅÍR00El + 2r R0El + 2(E UÜÆÆ )REl = 0;(7)~2ÇÄÅ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÁÑ ÐÏÔÅÎÃÉÁÌØÎÁÑ ÜÎÅÒÇÉÑ ÒÁ×ÎÁ2 l(l + 1)(8)UÜÆÆ = U + ~ 2mr2 :úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÁÚÉÍÕÔÁÌØÎÏÅ Ë×ÁÎÔÏ×ÏÅ ÞÉÓÌÏ m (ÎÅ ÐÕÔÁÔØ Ó ÍÁÓÓÏÊ ) ÎÅ ×ÈÏÄÉÔ × ÒÁÄÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ÐÏÜÔÏÍÕ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÜÎÅÒÇÉÉ ÏÄÉÎÁËÏ×Ù ÄÌÑ ×ÓÅÈ m, Ô.
Å. ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ×ÙÒÏÖÄÅÎÉÅ ÜÎÅÒÇÉÉ ÐÏ m. üÔÏ ×ÙÒÏÖÄÅÎÉÅ ÍÏÖÎÏ Ó×ÑÚÁÔØ Ó ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅÍ ÎÅËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÈ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏ×Ä×ÉÖÅÎÉÑ. ðÏÌÅÚÎÏ ÏÓÔÁÎÏ×ÉÔØÓÑ ÎÁ ÜÔÏÍ ÐÏÄÒÏÂÎÅÅ. ðÕÓÔØ Ä×Å ÎÁÂÌÀÄÁÅÍÙÈ A, B ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÔ Ó ÇÁÍÉÌØÔÏÎÉÁÎÏÍ, ÎÏ ÎÅ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÔ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ:[H; A] = 0 = [H; B];[A; B] 6= 0:(9)(10)ôÏÇÄÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÏÂÝÉÅ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÐÁÒÙ H, A: H'aE = E'aE , A'aE = a'aE .
ðÏÓÔÒÏÉÍÆÕÎËÃÉÀ B'aE . ðÏÓËÏÌØËÕ B ËÏÍÍÕÔÉÒÕÅÔ Ó H, ÉÍÅÅÍH(B'aE ) = BH'aE = E(B'aE );(11)Ô. Å. B'aE ÔÁËÖÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÅÊ H Ó ÔÅÍ ÖÅ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ E. ðÏÓËÏÌØËÕ A ÉB ÎÅ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÔ, ÔÏ ÏÎÉ ÎÅ ÉÍÅÀÔ ÏÂÝÉÈ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ, ÏÔËÕÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ B'aE É 'aE |ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ H. ÷ ÎÁÛÅÍ ÓÌÕÞÁÅ × ËÁÞÅÓÔ×Å A É B ÍÏÖÎÏ ×ÚÑÔØ Lz É L+ , ÌÉÂÏ Lz ÉL , ÔÏÇÄÁ, ÄÅÊÓÔ×ÕÑ ÍÎÏÇÏËÒÁÔÎÏ ÏÐÅÒÁÔÏÒÁÍÉ L+ (L ) ÎÁ ÏÂÝÉÅ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ H É Lz , ÐÏÌÕÞÉÍ×ÓÅ ÆÕÎËÃÉÉ Ó ÒÁÚÌÉÞÎÙÍÉ m, ÄÏÐÕÓÔÉÍÙÍÉ ÐÒÉ ÚÁÄÁÎÎÏÍ ÚÎÁÞÅÎÉÉ ÞÉÓÌÁ l: jmj 6 l.
ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ×ÃÅÎÔÒÁÌØÎÏÍ ÐÏÌÅ ÕÒÏ×ÎÉ ÜÎÅÒÇÉÉ ÄÉÓËÒÅÔÎÏÇÏ ÓÐÅËÔÒÁ ×ÙÒÏÖÄÅÎÙ ÐÏ ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ Ó ËÒÁÔÎÏÓÔØÀ 2l +1.õÒÁ×ÎÅÎÉÅ (7) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÁÄÉÁÌØÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ ûÒ£ÄÉÎÇÅÒÁ. ó ÐÏÍÏÝØÀ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ R = =r ÏÎÏÐÒÉ×ÏÄÉÔÓÑ Ë ×ÉÄÕ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ûÒ£ÄÉÎÇÅÒÁ Ó ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏÊ ÐÏÔÅÎÃÉÁÌØÎÏÊ ÜÎÅÒÇÉÅÊ (8): 00 + 2 (E U ) = 0;(12)~2ÜÆÆËÏÔÏÒÏÅ, ÏÄÎÁËÏ, ÔÅÐÅÒØ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÏ ÎÁ ÐÏÌÕÐÒÑÍÏÊr 2 [0; 1). éÓÈÏÄÎÁÑ ÒÁÄÉÁÌØÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ × ÓÏÓÔÏÑÎÉ2 [0; 1); r2 dr, ÐÏÓËÏÌØËÕ ÓËÁÌÑÒÎÏÅ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÔÒ£ÈÍÅÒÎÙÈ ×ÏÌÎÏ×ÙÈÑÈ ÄÉÓËpÅÔÎÏÇÏ ÓÐÅËÔpÁR2LÆÕÎËÃÉÊ ÉÚ L2 R3; d3x ÐÒÉ×ÏÄÉÔ × ÓÆÅÒÉÞÅÓËÉÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÈ Ë ÉÎÔÅÇÒÁÌÕ ÏÔ ÒÁÄÉÁÌØÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ R(r)Ó ×ÅÓÏÍ r2.
æÕÎËÃÉÉ (r) ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÀÔÓÑ ÂÅÚ ×ÅÓÁ, Ô. Å. 2 L2 [0; 1); dr .÷ÔÏÒÏÅ ÓÌÁÇÁÅÍÏÅ (8) ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÃÅÎÔÒÏÂÅÖÎÙÊ ÂÁÒØÅÒ, ×ÏÚÎÉËÁÀÝÉÊ ÐÒÉ ÏÔÌÉÞÎÏÍ ÏÔ ÎÕÌÑÚÎÁÞÅÎÉÉ ÏÒÂÉÔÁÌØÎÏÇÏ ÍÏÍÅÎÔÁ. åÓÌÉlim r2 U(r) = 0;r!0(13)42çìá÷á 4.ôò³èíåòîùå úáäáþéÔÏ ÜÔÏ ÓÌÁÇÁÅÍÏÅ ÄÏÍÉÎÉÒÕÅÔ ÐÒÉ ÍÁÌÙÈ r, É × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÉ (12) ÄÌÑ ÉÍÅÅÔÓÑ ÔÏÞËÁ ÐÏ×ÏÒÏÔÁ, ÐÒÅÐÑÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÍÕ ÐÒÏÎÉËÎÏ×ÅÎÉÀ ÞÁÓÔÉÃÙ × ÔÏÞËÕ r = 0.
åÓÌÉ U(1) = 0 (ÞÔÏ ÏÂÙÞÎÏ ÐÒÅÄÐÏÌÁÇÁÅÔÓÑ), ÔÏ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÁÑ ÐÏÔÅÎÃÉÁÌØÎÁÑ ÜÎÅÒÇÉÑ ÉÍÅÅÔ ÈÁÒÁËÔÅÒÎÙÊ ×ÉÄ, ÐÏËÁÚÁÎÎÙÊ ÎÁ pÉÓÕÎËÅ.ðÒÉ E < 0 ÉÍÅÅÍ Ä×Å ÔÏÞËÉ ÐÏ×ÏÒÏÔÁ, ÓÐÅËÔÒ ÜÎÅÒÇÉÊ ÄÉÓËÒÅÔÎÙÊ É ÏÇÒÁÎÉÞÅÎ ÓÎÉÚÕ (ÌÉÂÏ ÐÕÓÔ). ðÒÉE > 0 ÉÍÅÅÔÓÑ ÏÄÎÁ ÔÏÞËÁ ÐÏ×ÏÒÏÔÁ, ÞÁÓÔÉÃÁ ÍÏÖÅÔ ÕÈÏÄÉÔØ ÎÁ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔØ, ÜÔÏÔ ÕÞÁÓÔÏË ÓÐÅËÔÒÁÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙÊ.åÓÌÉ U(r) ! 1 ÐÒÉ r ! 0 ÂÙÓÔÒÅÅ, ÞÅÍ (ÍÉÎÕÓ) ÏÂÒÁÔÎÙÊ Ë×ÁÄÒÁÔ ÒÁÄÉÕÓÁ, ÔÏ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÊ ÐÏÔÅÎÃÉÁÌ ÔÁËÖÅ ÓÔÒÅÍÉÔÓÑ Ë 1, É ÌÅ×ÏÊ ÔÏÞËÉ ÐÏ×ÏÒÏÔÁ ÎÅÔ | × ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÊ ÍÅÈÁÎÉËÅ ÐÒÏÉÓÈÏÄÉÔÐÁÄÅÎÉÅ ÎÁ ÃÅÎÔÒ.
óÐÅËÔÒ ÜÎÅÒÇÉÉ ÏÐÅpÁÔÏpÁ çÁÍÉÌØÔÏÎÁ ÐÒÉ ÜÔÏÍ ÂÕÄÅÔÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎ ÓÎÉÚÕ. ôÁËÁÑ ÓÉÔÕÁÃÉÑ ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÐÁÄÅÎÉÅ ÎÁ ÃÅÎÔÒ. ðÒÏÍÅÖÕÔÏÞÎÙÊ ÓÌÕÞÁÊ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÓÔÒÅÍÌÅÎÉÅ U(r) Ë 1 ËÁË r 2 . ôÏÇÄÁ××ÅÄÅÍ ÐÁpÁÍÅÔp2 = lim 2r U :(14)r!0 ~2ÜÆÆåÓÌÉ < 1=4, ÔÏ ÐÒÉ r ! 0 Ä×Á ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ ÒÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (12) ÉÍÅÀÔ ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÈÁÒÁËÔÅÒ pòÉÓ. 1. rs ; s = 21 1 1 4 ;(15)ÐÒÉ ÜÔÏÍ (0) = 0 ÄÌÑ ÏÂÏÉÈ ÒÅÛÅÎÉÊ, ÐÏÜÔÏÍÕ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÏÐÅÒÁÔÏÒ H ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÐÒÅÄẠ̊ΠËÁËÓÁÍÏÓÏÐÒÑÖÅÎÎÙÊ. åÓÌÉ > 1=4, ÔÏ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÅ ÞÉÓÌÁ s ÓÔÁÎÏ×ÑÔÓÑ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÍÉ, ÔÁË ÞÔÏ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÓÃÉÌÌÉÒÕÀÝÉÍ:p r sinp 1=4 ln r + ;(16)ÇÄÅ = const. üÔÁ ÆÕÎËÃÉÑ ÉÍÅÅÔ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÎÕÌÅÊ, × ÔÏ ×ÒÅÍÑ ËÁË ×ÏÌÎÏ×ÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÏÓÎÏ×ÎÏÇÏ ÓÏÓÔÏÑÎÉÑ ÎÅ ÄÏÌÖÎÁ ÉÍÅÔØ ÎÕÌÅÊ ×Ï×ÓÅ. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÓÐÅËÔÒ ÜÎÅÒÇÉÉ ÔÁËÖÅ ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎ ÓÎÉÚÕ.ëÒÉÔÉÞÅÓËÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ , ÏÔÄÅÌÑÀÝÅÅ ÏÂÌÁÓÔØ ÐÁÄÅÎÉÑ ÎÁ ÃÅÎÔÒ, ÅÓÔØ = 1=4.äÌÑ ÈÏÒÏÛÉÈ ÐÏÔÅÎÃÉÁÌÏ×, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÀ (13) × ÎÁÞÁÌÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ, ÄÏÍÉÎÉÒÕÀÝÉÍ ÐÒÉr ! 0 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÃÅÎÔÒÏÂÅÖÎÙÊ ÐÏÔÅÎÃÉÁÌ, É ÏÂÝÅÅ ÁÓÉÍÐÔÏÔÉÞÅÓËÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (12) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ: C1rl+1 + C2r l :(17)þÔÏÂÙ ÏÐÅÒÁÔÏÒ H ÂÙÌ ÓÁÍÏÓÏÐÒÑÖÅÎÎÙÍ, ÓÌÅÄÕÅÔ ×ÙÂÒÁÔØ C2 = 0 (ÐÒÉ l = 0 ÜÔÏ ÓÒÁÚÕ ÎÅ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ,ÏÄÎÁËÏ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ×ÔÏÒÏÅ ÓÌÁÇÁÅÍÏÅ × (17) ÄÁ£Ô R r1 , É ÄÅÊÓÔ×ÉÅ ÏÐÅÒÁÔÏÒÁ ìÁÐÌÁÓÁ ÎÁ ÜÔÕ ÆÕÎËÃÉÀÐÒÉ×ÏÄÉÌÏ ÂÙ Ë 3(r)).
éÔÁË, ÐÒÁ×ÉÌØÎÏÅ ÐÏ×ÅÄÅÎÉÅ ÒÁÄÉÁÌØÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ × ÎÁÞÁÌÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÅÓÔØ R rlÐÒÉ ×ÓÅÈ l.òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÐÒÏÓÔÅÊÛÉÊ ÓÌÕÞÁÊ Ó×ÏÂÏÄÎÏÇÏ Ä×ÉÖÅÎÉÑ U = 0. õÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÄÌÑ ÒÁÄÉÁÌØÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉÐÒÉÎÉÍÁÅÔ ×ÉÄR00kl + r2 R0kl + k2 l(l r+2 1) Rkl = 0;(18)ÇÄÅ k2 = 2E=~2. åÇÏ ÒÅÛÅÎÉÅÍ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ âÅÓÓÅÌÑ É îÅÊÍÁÎÁRkl = C1jl (kr) + C2nl (kr);(19)Ó×ÑÚÁÎÎÙÅ Ó ÆÕÎËÃÉÑÍÉ âÅÓÓÅÌÑ ÐÏÌÕÃÅÌÏÇÏ ÉÎÄÅËÓÁ:rjl (z) = 2z Jl+1=2 (z);(20)rnl (z) = 2z J l 1=2 (z)( 1)l+1 :(21)üÔÉ ÆÕÎËÃÉÉ ×ÙÒÁÖÁÀÔÓÑ ÞÅÒÅÚ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: 1 d l sin zlljl (z) = ( 1) z z dzz ; lnl (z) = ( 1)l+1 z l 1z dzd cosz z :(22)(23)x16.43ä÷éöåîéå ÷ ãåîôòáìøîïí ðïìåðÒÉ ÍÁÌÙÈ zjl (z) z l ;nl (z) z (l+1) ;(24)ÐÏÜÔÏÍÕ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ C2 = 0.
ðÒÉ z l ÉÍÅÅÍhihijl (z) 1z cos z 2 (l + 1) ; nl (z) 1z sin z 2 (l + 1) :(25)éÔÁË, ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÔÁÃÉÏÎÁÒÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ûÒ£ÄÉÎÇÅÒÁ ÄÌÑ Ó×ÏÂÏÄÎÏÊ ÞÁÓÔÉÃÙ, ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÅ× ×ÉÄÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÐÏ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÉÍ ÇÁÒÍÏÎÉËÁÍ (ÐÏ ÓÏÓÔÏÑÎÉÑÍ Ó ÏÐÒÅÄÅÌ£ÎÎÙÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ Ë×ÁÄÒÁÔÁÏÒÂÉÔÁÌØÎÏÇÏ ÍÏÍÅÎÔÁ É ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÅÇÏ ÐÒÏÅËÃÉÊ), ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ(r) =1 XXl=0 jmjlClm jl (kr)Ylm (; '):(26)÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, × ÔÁËÏÍ ×ÉÄÅ ÍÏÖÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ É ÐÌÏÓËÕÀ ×ÏÌÎÕ (ÓÏÓÔÏÑÎÉÅ Ó ÏÐÒÅÄÅÌ£ÎÎÙÍ ÉÍÐÕÌØÓÏÍ):eikr = 41 XXl=0 jmjl (k^)Y (^r);il jl (kr)Ylmlm(27)ÇÄÅ k^ = k=jkj, r^ = r=jrj. üÔÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ Ó ÕÞÅÔÏÍ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ (27) ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ×ÅËÔÏÒÏ×k É r.òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÅÐÅÒØ ÐÒÏÓÔÅÊÛÉÊ ÓÌÕÞÁÊ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÏÊ ÐÏÔÅÎÃÉÁÌØÎÏÊ ÑÍÙ Ó ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÍÉ ÓÔÅÎËÁÍÉ:(U = 0;r < a;1; r > a:(28)ôÁË ÖÅ, ËÁË É × ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, × ÔÏÞËÅ r = a ÄÏÌÖÎÏ ×ÙÐÏÌÎÑÔØÓÑ ÇÒÁÎÉÞÎÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ R(a) = 0 (ÉÄÁÌÅÅ R 0 ÐÒÉ r > a).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
