Д.В. Гальцов - Лекции по физике для математиков (Часть 2) (1120658), страница 6
Текст из файла (страница 6)
ðÏÓËÏÌØËÕ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÉÅ ÓËÏÂËÉðÕÁÓÓÏÎÁ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÐÁÒ qi É ÌÀÂÙÈ ÐÁÒ pi ÒÁ×ÎÙ ÎÕÌÀ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ËÏÍÍÕÔÁÔÏÒÙ ÔÁËÖÅ ÄÏÌÖÎÙÂÙÔØ ÒÁ×ÎÙ ÎÕÌÀ:[qi; qj ] = 0; [pi; pj ] = 0; i; j = 1; : : : ; 3N:(5)éÚ ÓËÁÚÁÎÎÏÇÏ ×ÙÛÅ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÓÉÓÔÅÍÁ ÏÂÝÉÈ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× 3N ÏÐÅpÁÔÏpÏ× ËÏÏpÄÉÎÁÔqbi jq1; : : : ; q3N i = qi jq1; : : : ; q3N i ;(6)20çìá÷á 2.ïóîï÷îùå ðòéîãéðùÁ ÔÁËÖÅ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÄÌÑ pi . ïÄÎÁËÏ ÏÐÅÒÁÔÏÒÙ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ É ÉÍÐÕÌØÓÏ×, ÏÔ×ÅÞÁÀÝÉÈ ÏÄÎÏÊ ÉÔÏÊ ÖÅ ÓÔÅÐÅÎÉ Ó×ÏÂÏÄÙ, ÎÅ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÔ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ, ÐÏÜÔÏÍÕ ÐÏÓÔÒÏÉÔØ ÂÏÌÅÅ 3N ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ ×ÅÌÉÞÉÎ ÎÅ ÕÄÁ£ÔÓÑ. óÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÔÁËÖÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ: ÅÓÌÉ ÉÍÅÅÔÓÑ ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ 3N ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ ÉÚÍÅÒÉÍÙÈÎÁÂÌÀÄÁÅÍÙÈ, ÔÏ ÎÅ ÂÏÌÅÅ 3N ÉÚ ÎÉÈ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌØÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÍÉ.äÌÑ ÔÏÞÅÞÎÏÊ ÞÁÓÔÉÃÙ × ÔÒ£ÈÍÅÒÎÏÍ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ×ÁÖÎÏÊ ÎÁÂÌÀÄÁÅÍÏÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÏÍÅÎÔ ËÏÌÉÞÅÓÔ×ÁÄ×ÉÖÅÎÉÑ, ËÏÔÏÒÏÍÕ ÏÔ×ÅÞÁÅÔ ÏÐÅÒÁÔÏÒL = [r p]:(7)ëÏÍÐÏÎÅÎÔÙ ×ÅËÔÏÒÁ Li ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÁÌÇÅÂÒÕ so(3):[Li ; Lj ] = i~ijk Lk ;(8)ÇÄÅ ijk | ÓÉÍ×ÏÌ ìÅ×É{þÉ×ÉÔÁ.
÷ ÓÉÌÕ ÓËÁÚÁÎÎÏÇÏ ×ÙÛÅ, ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÓÏÓÔÏÑÎÉÊ, × ËÏÔÏÒÙÈ ×ÓÅ ÔÒÉ(ÉÌÉ ÈÏÔÑ ÂÙ Ä×Å) ËÏÍÐÏÎÅÎÔÙ ÍÏÍÅÎÔÁ ÉÍÅÌÉ ÂÙ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌ£ÎÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ,ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÅ ÍÏÍÅÎÔÁ ÉÍÐÕÌØÓÁ × Ë×ÁÎÔÏ×ÏÊ ÍÅÈÁÎÉËÅ ÐÒÉÎÃÉÐÉÁÌØÎÏ ÎÅÌÏËÁÌÉÚÕÅÍÏ. íÏÖÎÏ, ÏÄÎÁËÏ, ÐÏÓÔÒÏÉÔØ ÏÂÝÕÀ ÓÉÓÔÅÍÕ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× ÄÌÑ ÏÄÎÏÊ ÉÚ ËÏÍÐÏÎÅÎÔ ÍÏÍÅÎÔÁ, ÓËÁÖÅÍ, Lz , É ÏÐÅÒÁÔÏÒÁË×ÁÄÒÁÔÁ ÍÏÍÅÎÔÁ(9)L2 = L2x + L2y + L2z ;ËÏÍÍÕÔÉpÕÀÝÅÇÏ ÓÏ ×ÓÅÍÉ ÐpÏÅËÃÉÑÍÉ:[L2; Li ] = 0; 8i(10)(ÂÏÌÅÅ ÏÂÝÅÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ: ×ÅËÔÏp L ËÏÍÍÕÔÉÒÕÅÔ Ó ÌÀÂÏÊ ÓËÁÌÑÒÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÅÊ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ É ÉÍÐÕÌØÓÏ×,ÐÏÓËÏÌØËÕ ËÏÍÐÏÎÅÎÔÙ ÍÏÍÅÎÔÁ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÇÅÎÅÒÁÔÏÒÁÍÉ ÇÒÕÐÐÙ ×ÒÁÝÅÎÉÊ, ÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÈ ÓËÁÌÑpÙ ÉÎ×ÁpÉÁÎÔÎÙÍÉ). ðÏÜÔÏÍÕ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÏÂÝÉÅ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ×ÅËÔÏpÙ Õ ÐÁpÙ ÏÐÅpÁÔÏpÏ× L2 É Lz .
÷ ËÁÞÅÓÔ×ÅÔÒÅÔØÅÇÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÇÏ ÏÐÅÒÁÔÏÒÁ, ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÅÇÏ Ó ÜÔÏÊ ÐÁÒÏÊ, ÍÏÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ p2 . úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÐÒÉ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÉ ËÏÍÍÕÔÁÔÏÒÏ× ÏÔ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÊ ÏÐÅÒÁÔÏÒÏ× ÕÄÏÂÎÏ ÐÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÐÒÁ×ÉÌÏÍ ìÅÊÂÎÉÃÁ[A; BC] = [A; B]C + B[A; C]:(11)íÁËÓÉÍÁÌØÎÕÀ ÓÉÓÔÅÍÕ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÈ ×ÅÌÉÞÉÎ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÐÏÌÎÙÍ ÎÁÂÏÒÏÍ ÎÁÂÌÀÄÁÅÍÙÈ. ðÒÉÍÅÒÁÍÉÐÏÌÎÙÈ ÎÁÂÏÒÏ× ÄÌÑ ÞÁÓÔÉÃÙ × ÔÒ£ÈÍÅÒÎÏÍ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Ñ×ÌÑÀÔÓÑ fqi g, fpi g, fL2 ; Lz ; p2=(2m)g; ÄÒÕÇÉÅÐÒÉÍÅÒÙ ÂÕÄÕÔ ÄÁÎÙ ÐÒÉ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÉ ËÏÎËÒÅÔÎÙÈ ÚÁÄÁÞ.
ïÂÝÉÅ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ×ÅËÔÏÒÙ ÐÏÌÎÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁÎÁÂÌÀÄÁÅÍÙÈ ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÕÄÏÂÎÙÊ ÂÁÚÉÓ × ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×ÏÍ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÓÏÓÔÏÑÎÉÊ.÷ ÓÉÌÕ ÐÒÉÎÃÉÐÁ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÑ ÍÅÖÄÕ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÉÍÉ ÓËÏÂËÁÍÉ ðÕÁÓÓÏÎÁ É ËÏÍÍÕÔÁÔÏÒÁÍÉ ÏÐÅÒÁÔÏÒÏ×ÆÉÚÉÞÅÓËÉÈ ×ÅÌÉÞÉÎ, ÎÉËÁËÁÑ ÐÁÒÁ ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÉ ÓÏÐÒÑÖ£ÎÎÙÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÉÍÅÔØ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÏÐÒÅÄÅÌ£ÎÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ.
äÌÑ ÔÁËÉÈ ×ÅÌÉÞÉÎ ÍÏÖÎÏ ÐÏÌÕÞÉÔØ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÎÁ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÄÉÓÐÅÒÓÉÉ,ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ ÎÅÏÐÒÅÄÅÌ£ÎÎÏÓÔÅÊ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÐÁÒÕ ÎÅËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÈ ÓÁÍÏÓÏÐÒÑÖ£ÎÎÙÈÏÐÅÒÁÔÏÒÏ× A+ = A, B + = B. ôÏÇÄÁ[A; B] = iC;(12)+ÇÄÅ C = C. ïÐÒÅÄÅÌÉÍ ÄÉÓÐÅÒÓÉÉ ×ÅÌÉÞÉÎ pÁ×ÅÎÓÔ×ÁÍÉ (B)2 = (B hBi)2 ; (C)2 = (C hC i)2 ;(A)2 = (A hAi)2 ;(13)ÇÄÅ ÕÓÒÅÄÎÅÎÉÅ ÐÒÏ×ÏÄÉÔÓÑ ÐÏ ×ÙÂÒÁÎÎÏÍÕ ÓÏÓÔÏÑÎÉÀ j i. ðÏÓÔÒÏÉÍ ÏÄÎÏÐÁÒÁÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÅ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï×ÅËÔÏÒÏ×j'i = A hAi i(B hB i) j i ;(14)ÇÄÅ 2 R | ÐÁÒÁÍÅÔÒ. ÷ÅËÔÏp j'i 2 H, É ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ h' 'i > 0, ÐÏÜÔÏÍÕh' 'i = (A)2 + 2(B)2 + hC i > 0:(15)ïÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÅÏÐÒÅÄÅÌ£ÎÎÏÓÔÅÊA B > j hC2 i j :(16)÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÄÌÑ ÏÐÅÒÁÔÏÒÏ× ÉÍÐÕÌØÓÁ É ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ , ×ÈÏÄÑÝÉÈ × ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÉ ÓÏÐÒÑÖ£ÎÎÕÀ ÐÁÒÕ, C = ~,ÐÏÜÔÏÍÕxp > ~2 :(17)äÌÑ ËÏÍÐÏÎÅÎÔ ÍÏÍÅÎÔÁ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á Ä×ÉÖÅÎÉÑ ÎÁÈÏÄÉÍLx Ly > ~ j hL2z i j :(18)x8.ðòåäåìøîùê ðåòåèïä ë ëìáóóéþåóëïê íåèáîéëå21x 8.
ðÒÅÄÅÌØÎÙÊ ÐÅÒÅÈÏÄ Ë ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÊ ÍÅÈÁÎÉËÅõÒÁ×ÎÅÎÉÅ ûÒ£ÄÉÎÇÅÒÁ (6.14) ÄÌÑ ×ÏÌÎÏ×ÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ × ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÍ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÉ × ÐÒÅÄÅÌÅ ~ ! 0ÐÏÒÏÖÄÁÅÔ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ çÁÍÉÌØÔÏÎÁ{ñËÏÂÉ. ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ ×ÏÌÎÏ×ÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ × ×ÉÄÅ(r; t) = A(r; t) exp i S(r; t) ;(1)~ÇÄÅ A (ÍÏÄÕÌØ) É S (ÆÁÚÁ) | ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÚÎÁÞÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ. ïÔÄÅÌÑÑ × (6.14) ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÕÀ É ÍÎÉÍÕÀÞÁÓÔÉ, ÐÏÌÕÞÁÅÍ Ä×Á ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ:@S + 1 (rS)2 + U ~2 A = 0;(2)@t 2m2m A@A + 1 rA rS + A S = 0:(3)@t m2m÷ ÐÒÅÄÅÌÅ ~ ! 0 ÐÏÓÌÅÄÎÅÅ ÓÌÁÇÁÅÍÏÅ × (2) ÍÏÖÎÏ ÏÐÕÓÔÉÔØ, É ÔÏÇÄÁ ÐÅÒ×ÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÅÒÅÈÏÄÉÔ × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ çÁÍÉÌØÔÏÎÁ{ñËÏÂÉ ÄÌÑ ÆÁÚÙ S, ËÏÔÏÒÁÑ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÊ ÆÕÎËÃÉÅÊ ÄÅÊÓÔ×ÉÑ.ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÆÁÚÁ ×ÏÌÎÏ×ÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ × ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÍ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÉ ÐÅÒÅÈÏÄÉÔ ÐÒÉ ~ ! 0 × ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÅ ÄÅÊÓÔ×ÉÅ.
õÒÁ×ÎÅÎÉÅ (3) ÍÏÖÎÏ ÐÅÒÅÐÉÓÁÔØ × ×ÉÄÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÓÔÉ:@ A2 + div A2 rS = 0:(4)@tm÷ÅÌÉÞÉÎÁ A2 , ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÁÑ ÓÏÂÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔ ÍÏÄÕÌÑ ×ÏÌÎÏ×ÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ (1), Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÌÏÔÎÏÓÔØÀ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ÏÂÎÁÒÕÖÉÔØ ÞÁÓÔÉÃÕ × ÔÏÞËÅ r × ÍÏÍÅÎÔ t. ôÏÇÄÁ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ×ÅËÔÏÒ ÐÏÄ ÚÎÁËÏÍ ÄÉ×ÅÒÇÅÎÃÉÉÓÌÅÄÕÅÔ ÐÏÎÉÍÁÔØ ËÁË ÐÌÏÔÎÏÓÔØ ÔÏËÁ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ~rj = A2 rmS = 2mir :(5)ðÏÔÏË ÜÔÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ ÞÅÒÅÚ ÐÌÏÝÁÄËÕ dS ÅÓÔØ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÞÁÓÔÉÃÁ ÐÅÒÅÓÅËÁÅÔ ÐÌÏÝÁÄËÕ ×ÔÅÞÅÎÉÅ ÅÄÉÎÉÞÎÏÇÏ ÉÎÔÅp×ÁÌÁ ×ÒÅÍÅÎÉ. ðÅÒÅÐÉÓÁÎÎÏÅ × ÔÅÒÍÉÎÁÈ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ×ÅÌÉÞÉÎ, ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (4)ÐpÉÎÉÍÁÅÔ ×ÉÄ@ j (r; t)j2 + div j (r; t) = 0;(6)@tÉÌÉ, × ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÊ ÆÏpÍÅ,@ Z j (r; t)j2 d3x + Z j dS = 0;(7)@tV@VÇÄÅ @V | ÇÒÁÎÉÃÁ ×ÙÄÅÌÅÎÎÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ V . üÔÏ ÕpÁ×ÎÅÎÉÅ ×ÙpÁÖÁÅÔ ÓÏÈÒÁÎÅÎÉÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ: ÅÓÌÉ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÏÂÎÁÒÕÖÉÔØ ÞÁÓÔÉÃÕ × ÏÂߣÍÅ V ÕÍÅÎØÛÁÅÔÓÑ (Õ×ÅÌÉÞÉ×ÁÅÔÓÑ), ÔÏ ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ÏÔÌÉÞÎÁÑ ÏÔÎÕÌÑ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÞÁÓÔÉÃÅÊ ÇÒÁÎÉÃÙ ÏÂÌÁÓÔÉ × ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÉ ÎÁÒÕÖÕ (×ÎÕÔÒØ) ÏÂÌÁÓÔÉ.
ðÏÄÞÅpËÎÅÍ, ÞÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (6) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÞÎÙÍ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ûÒ£ÄÉÎÇÅÒÁ, ÐÒÉ ÅÇÏ ×Ù×ÏÄÅ ÍÙÎÅ ÐÅpÅÈÏÄÉÌÉ Ë ÐpÅÄÅÌÕ ~ ! 0. ÷ÅÌÉÞÉÎÙ j j2 É j ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙ ÐÌÏÔÎÏÓÔÉ ÚÁpÑÄÁ É ÐÌÏÔÎÏÓÔÉ ÔÏËÁ ×ÜÌÅËÔpÏÄÉÎÁÍÉËÅ.÷ÅÒΣÍÓÑ ÔÅÐÅÒØ Ë ÐÒÅÄÅÌÕ ~ ! 0 É ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÐÏÄÒÏÂÎÅÅ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÅ Ä×ÉÖÅÎÉÅ. ðÏÓËÏÌØËÕ × ÜÔÏÍÐÒÅÄÅÌÅ ÆÕÎËÃÉÑ S ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÉÍ ÄÅÊÓÔ×ÉÅÍ, Å£ ÇÒÁÄÉÅÎÔ pÁ×ÅÎ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÍÕ ÉÍÐÕÌØÓÕ ÞÁÓÔÉÃÙ ËÁË ÆÕÎËÃÉÉ ×ÒÅÍÅÎÉ É ËÏÏÒÄÉÎÁÔ, ÐpÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ @S=@t | ÆÕÎËÃÉÉ çÁÍÉÌØÔÏÎÁ ÓÏ ÚÎÁËÏÍ ÍÉÎÕÓ, ÁÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ çÁÍÉÌØÔÏÎÁ{ñËÏÂÉ ÐÏ×ÔÏpÑÅÔ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅp2 + U(x):H = 2m(8)îÅÔÒÕÄÎÏ ÐÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ × ÓÔÁÃÉÏÎÁÒÎÏÍ ÓÏÓÔÏÑÎÉÉ, ËÏÇÄÁ ×ÏÌÎÏ×ÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀH =E ;(9)× ÕpÁ×ÎÅÎÉÉ (8) ÂÕÄÅÍ ÉÍÅÔØ H = E, É ÉÚ ÎÅÇÏ ÍÏÖÎÏ ÐÏÌÕÞÉÔØ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÕÀ ÆÕÎËÃÉÀqp(x) = 2m E U(x) :(10)22çìá÷á 2.óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÄÅÂpÏÊÌÅ×ÓËÁÑ ÄÌÉÎÁ ×ÏÌÎÙ (ÓÍ. x 3) pÁ×ÎÁhi 1=2:(x) = 22mEU(x)~ïóîï÷îùå ðòéîãéðù(11)åÓÌÉ Ä×ÉÖÅÎÉÅ ÞÁÓÔÉÃÙ ÆÉÎÉÔÎÏ, Ô.
Å. ÉÍÅÀÔÓÑ ÔÏÞËÉ ÐÏ×ÏÒÏÔÁ, × ËÏÔÏÒÙÈ E = U, ÔÏ ×ÅÌÉÞÉÎÁ ×ÜÔÉÈ ÔÏÞËÁÈ ÂÕÄÅÔ ÒÁÓÈÏÄÉÔØÓÑ, É ÏÔÂÒÁÓÙ×ÁÎÉÅ ÐÏÓÌÅÄÎÅÇÏ ÓÌÁÇÁÅÍÏÇÏ × (2) ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÎÅÐÒÁ×ÏÍÅÒÎÙÍ.äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÕÓÌÏ×ÉÅ ÍÁÌÏÓÔÉ ÜÔÏÇÏ ÓÌÁÇÁÅÍÏÇÏ ÍÏÖÎÏ ÚÁÐÉÓÁÔØ × ×ÉÄÅ A 2:(12)AôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞÅË ÐÏ×ÏÒÏÔÁ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (2) ÎÕÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÂÏÌÅÅ ÁËËÕÒÁÔÎÏ.
íÙ×ÅÒΣÍÓÑ Ë ÜÔÏÍÕ ×ÏÐÒÏÓÕ × x 14 ÐÒÉ ÏÂÓÕÖÄÅÎÉÉ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ûÒ£ÄÉÎÇÅÒÁ. úÄÅÓØ ÖÅ ÚÁÍÅÔÉÍ,ÞÔÏ ×ÄÁÌÉ ÏÔ ÔÏÞÅË ÐÏ×ÏÒÏÔÁ ÄÌÑ ÁÍÐÌÉÔÕÄÙ A ÓÔÁÃÉÏÎÁÒÎÏÇÏ ÓÏÓÔÏÑÎÉÑ (ËÏÇÄÁ @A2 =@t = 0) ÉÚ (4)ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏA2 rS=m = const;Á ÐÏÓËÏÌØËÕ rS = p(x), ÔÏ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÐÏÓÔÏÑÎÎÏÊ ÐÏÌÕÞÁÅÍA = p(x)1=2h= 2m E U(x)i1=4:(13)÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ×ÏÌÎÏ×ÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ (1) ÐÒÉ ~ ! 0 ×ÄÁÌÉ ÏÔ ÔÏÞÅË ÐÏ×ÏÒÏÔÁ ÐÒÉÎÉÍÁÅÔ ×ÉÄ = p1p exp ~i SËÌ ;(14)ÇÄÅ SËÌ | ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÅ ÄÅÊÓÔ×ÉÅ.
ôÁËÏÅ ÐÒÉÂÌÉÖÅÎÉÅ ÄÌÑ ×ÏÌÎÏ×ÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ Ë×ÁÚÉËÌÁÓÓÉÞÅÓËÉÍ. ÷ ÓÉÓÔÅÍÅ (2{3) ÍÏÖÎÏ ÐÒÏ×ÏÄÉÔØ ÉÔÅÒÁÃÉÉ ÐÏ ~, ÕÌÕÞÛÁÑ ÜÔÏ ÐÒÉÂÌÉÖÅÎÉÅ.ó ÆÉÚÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ, Ë×ÁÚÉËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÅ ÐÒÉÂÌÉÖÅÎÉÅ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÐÒÉÂÌÉÖÅÎÉÀ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÏÐÔÉËÉ ÄÌÑ Ó×ÅÔÏ×ÙÈ ×ÏÌÎ, ÒÁÓÐÒÏÓÔÒÁÎÑÀÝÉÈÓÑ × ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÏÊ ÓÒÅÄÅ. ôÒÁÅËÔÏÒÉÉ ÞÁÓÔÉà Ñ×ÌÑÀÔÓÑÁÎÁÌÏÇÏÍ Ó×ÅÔÏ×ÙÈ ÌÕÞÅÊ, ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÈ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÑÍ ×ÏÌÎÏ×ÙÈ ÆÒÏÎÔÏ×. äÏ ÔÅÈ ÐÏÒ, ÐÏËÁ ÄÌÉÎÁ ×ÏÌÎÙ ÍÁÌÁ ÐÏ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÀ Ó ÒÁÚÍÅÒÁÍÉ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÏÓÔÅÊ ÓÒÅÄÙ, ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ ÏÐÔÉËÁ ÄÁ£Ô ÁÄÅË×ÁÔÎÏÅÏÐÉÓÁÎÉÅ ÒÁÓÐÒÏÓÔÒÁÎÅÎÉÑ ×ÏÌÎ.
÷ ÐÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÄÉÆpÁËÃÉÑ ÎÁ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÏÓÔÑÈ ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÝÅÊ É ÎÕÖÎÏ ÐÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ×ÏÌÎÏ×ÏÊ ÔÅÏÒÉÅÊ. îÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÐÏÄÞÅÒËÎÕÔØ, ÏÄÎÁËÏ, ÞÔÏ × Ë×ÁÎÔÏ×ÏÊÍÅÈÁÎÉËÅ ÒÅÞØ ÉÄ£Ô Ï ×ÏÌÎÁÈ, ÁÓÓÏÃÉÉÒÕÅÍÙÈ Ó ÁÍÐÌÉÔÕÄÏÊ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ, Á ÎÅ ×ÅÌÉÞÉÎÁÈ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÇÕÔÂÙÔØ ÎÅÐÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÎÁÂÌÀÄÁÅÍÙ.çÌÁ×Á 3.ïÄÎÏÍÅÒÎÏÅ Ä×ÉÖÅÎÉÅx 9.
ó×ÏÂÏÄÎÁÑ ÞÁÓÔÉÃÁðÏÌÎÙÊ ÎÁÂÏÒ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ ÉÚÍÅÒÉÍÙÈ ÎÁÂÌÀÄÁÅÍÙÈ ÄÌÑ Ó×ÏÂÏÄÎÏÊ ÔÏÞÅÞÎÏÊ ÞÁÓÔÉÃÙ, ÓÏ×ÅpÛÁÀÝÅÊ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÅ Ä×ÉÖÅÎÉÅ, ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÏÐÅÒÁÔÏÒÁ, × ËÁÞÅÓÔ×Å ËÏÔÏÒÏÇÏ ÕÄÏÂÎÏ ×ÙÂÒÁÔØÏÐÅÒÁÔÏÒ ÉÍÐÕÌØÓÁ. çÁÍÉÌØÔÏÎÉÁÎ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÅÊ ÉÍÐÕÌØÓÁ É × ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÍ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÉ ÒÁ×ÅÎp2 = ~2 d2 ;(1)H = 2m2m dx2ÐÏÜÔÏÍÕ ÏÂÏÂÝÅÎÎÁÑ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÏÐÅÒÁÔÏÒÁ ÉÍÐÕÌØÓÁ (5.18), ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏpÑÀÝÁÑ ÕpÁ×ÎÅÎÉÀ (5.17),1 ipx=~(2)p (x) = hx pi = (2~)1=2 eÑ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÁËÖÅ (ÏÂÏÂÝÅÎÎÏÊ) ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÅÊ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÉÁÎÁ:p2 (x)H p (x) = 2m(3)pÉ ÏÐÉÓÙ×ÁÅÔ ÓÔÁÃÉÏÎÁÒÎÏÅ ÓÏÓÔÏÑÎÉÅ.
òÅÛÅÎÉÑ ÕpÁ×ÎÅÎÉÑ (3) ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÐpÉ ×ÓÅÈ p 2 R É, ËÁË É ÓÌÅÄÕÅÔÏÖÉÄÁÔØ × ÓÌÕÞÁÅ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÇÏ ÓÐÅËÔÒÁ, ÎÏpÍÉpÕÅÍÙ ÎÁ ÄÅÌØÔÁ-ÆÕÎËÃÉÀZRp0 (x) p (x) dx = (pp0):(4)õÄÏÂÎÏ ÐÏÌÏÖÉÔØ p = ~k, ÔÏÇÄÁ ÓÔÁÃÉÏÎÁÒÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ûÒ£ÄÉÎÇÅÒÁ H = E ÐpÉÎÉÍÁÅÔ ×ÉÄ00 (x) + k2 (x) = 0;(5)ÇÄÅ E = ~2 k2 =2m; ÅÇÏ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÂÕÄÅÔ ÓÕÐÅÒÐÏÚÉÃÉÅÊ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ ÏÐÅÒÁÔÏÒÁ ÉÍÐÕÌØÓÁ ÓÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ p = ~k:ikxikx :(6)k (x) = C1 e + C2eúÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ ÏÔ ×ÒÅÍÅÎÉ × ÓÔÁÃÉÏÎÁÒÎÏÍ ÓÏÓÔÏÑÎÉÉ ÄÁ£ÔÓÑ ÆÁÚÏ×ÙÍ ÍÎÏÖÉÔÅÌÅÍ e iEt=~ (ÓÍ.
(6.16)),ÐÏÜÔÏÍÕ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÐÏÌÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ûÒ£ÄÉÎÇÅÒÁ (6.14) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄi(kx !kt) + C e i(kx+!k t);(7)k (x; t) = C1 e2ÇÄÅ !k = ~k2 =2m. ïÔÓÀÄÁ ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÐÅÒ×ÏÅ ÓÌÁÇÁÅÍÏÅ ÏÐÉÓÙ×ÁÅÔ Ä×ÉÖÅÎÉÅ × ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÍ, Á ×ÔÏÒÏÅ |× ÏÔÒÉÃÁÔÅÌØÎÏÍ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÉ ÏÓÉ x.îÁÉÂÏÌÅÅ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÐÏÌÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ûÒ£ÄÉÎÇÅÒÁ (6.14) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÕÐÅÒÐÏÚÉÃÉÅÊ ÓÔÁÃÉÏÎÁpÎÙÈÓÏÓÔÏÑÎÉÊ (7) ÓÏ ×ÓÅÍÉ k:Z1(x; t) = p1C(k)ei(kx !kt) dk:2 1(8)24çìá÷á 3.ïäîïíåòîïå ä÷éöåîéåôÁËÏÅ ÓÏÓÔÏÑÎÉÅ (×ÏÌÎÏ×ÏÊ ÐÁËÅÔ) ÂÕÄÅÔ ÉÍÅÔØ ËÏÎÅÞÎÕÀ ÎÏpÍÕ × ÇÉÌØÂÅpÔÏ×ÏÍ ÐpÏÓÔpÁÎÓÔ×Å, ÅÓÌÉC(k) | ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÚÎÁÞÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÉÚ L2 (R), É ÍÏÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ k k = 1.
÷ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ ÓÏÓËÁÚÁÎÎÙÍ × x 5, C(k) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÍÐÌÉÔÕÄÏÊ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ÏÂÎÁÒÕÖÉÔØ ÞÁÓÔÉÃÕ ÉÍÅÀÝÅÊ ÉÍÐÕÌØÓ p = ~k.þÁÓÔÎÙÊ ÓÌÕÞÁÊ ÔÁËÏÇÏ ÓÏÓÔÏÑÎÉÑ ÂÙÌ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎ × x 3, ÇÄÅ ÍÙ ÕÂÅÄÉÌÉÓØ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ×ÏÌÎÏ×ÏÊ ÐÁËÅÔÒÁÓÐÌÙ×ÁÅÔÓÑ (Ô. Å. ÄÉÓÐÅÒÓÉÑ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ÒÁÓÔÅÔ) ÔÅÍ ÂÙÓÔÒÅÅ, ÞÅÍ ÛÉÒÅ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÐÏ ÉÍÐÕÌØÓÁÍC(k).ïÂÝÉÅ ÚÁËÏÎÏÍÅÒÎÏÓÔÉ ÒÁÓÐÒÏÓÔÒÁÎÅÎÉÑ ×ÏÌÎÏ×ÏÇÏ ÐÁËÅÔÁ ÐÒÏÝÅ ÐÒÏÁÎÁÌÉÚÉÒÏ×ÁÔØ, ÉÓÐÏÌØÚÕÑ ËÁÒÔÉÎÕ çÅÊÚÅÎÂÅÒÇÁ. ÷ ÜÔÏÊ ËÁÒÔÉÎÅ ×ÏÌÎÏ×ÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÓÏÈÒÁÎÑÅÔ Ó×ÏÅ ÎÁÞÁÌØÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ (x; 0), ÚÁÄÁ×ÁÅÍÏÅÎÁÂÏÒÏÍ ÁÍÐÌÉÔÕÄ C(k), Á ÏÐÅÒÁÔÏÒÙ ÎÁÂÌÀÄÁÅÍÙÈ ÚÁ×ÉÓÑÔ ÏÔ ×ÒÅÍÅÎÉ.
ðÏÓËÏÌØËÕ ÏÐÅÒÁÔÏÒ ÉÍÐÕÌØÓÁËÏÍÍÕÔÉÒÕÅÔ Ó ÇÁÍÉÌØÔÏÎÉÁÎÏÍ Ó×ÏÂÏÄÎÏÊ ÞÁÓÔÉÃÙ, ÉÚ (6.2) ÓÒÁÚÕ ÎÁÈÏÄÉÍd;p(t) = p(0) = ~i dx(9)Á ÄÌÑ ÏÐÅÒÁÔÏÒÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ÂÕÄÅÍ ÉÍÅÔØ~t dx(t) = x(0) + p(0)(10)m t = x + mi dx :õÓÒÅÄÎÑÑ (10) ÐÏ ÎÁÞÁÌØÎÏÍÕ ÓÏÓÔÏÑÎÉÀ, ÐÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ ÃÅÎÔÒ ÔÑÖÅÓÔÉ ×ÏÌÎÏ×ÏÇÏ ÐÁËÅÔÁ Ä×ÉÖÅÔÓÑ ÓÏÓËÏÒÏÓÔØÀ, ÏÔ×ÅÞÁÀÝÅÊ ÓÒÅÄÎÅÍÕ ÚÎÁÞÅÎÉÀ ÉÍÐÕÌØÓÁ:(11)hxit = hxi0 + mt hpi0 :þÔÏÂÙ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÒÁÓÐÌÙ×ÁÎÉÅ ÐÁËÅÔÁ, ×ÙÞÉÓÌÉÍ ÄÉÓÐÅÒÓÉÉ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ É ÉÍÐÕÌØÓÁ Ó ÐÏÍÏÝØÀ (9,10):2t2x = (x hxi)2 t = 02 x + 02 p mt 2 + (hxp + pxi0 2 hxi0 hpi0 ) mt ;(12)t2 p = (p hpi)2 t = 02 p:(13)ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÄÉÓÐÅÒÓÉÑ ÉÍÐÕÌØÓÁ ÐÒÉ Ó×ÏÂÏÄÎÏÍ Ä×ÉÖÅÎÉÉ ÎÅ ÉÚÍÅÎÑÅÔÓÑ, Á Ë×ÁÄÒÁÔ ÄÉÓÐÅÒÓÉÉËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ÐÒÉ ÂÏÌØÛÉÈ t ÒÁÓÔÅÔ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏ ÓÏ ×ÒÅÍÅÎÅÍ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
