Д.В. Гальцов - Лекции по физике для математиков (Часть 2) (1120658), страница 7
Текст из файла (страница 7)
úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÓÏÓÔÏÑÎÉÅ ÐÏËÏÑÝÅÊÓÑ ÞÁÓÔÉÃÙ (hpi0 = 0) ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÔÁÔÉÞÅÓËÉÍ, ÅÓÌÉ 0 p 6= 0: ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ×ÏÌÎÏ×ÏÊ ÐÁËÅÔ ÒÁÓÐÌÙ×ÁÅÔÓÑ.òÁÓÐÌÙ×ÁÎÉÅ ÔÅÍ ÂÙÓÔÒÅÅ, ÞÅÍ ÂÏÌØÛÅ ÄÉÓÐÅÒÓÉÑ ÉÍÐÕÌØÓÁ.x 10. ðÏÔÅÎÃÉÁÌØÎÁÑ ÑÍÁòÁÓÓÍÏÔpÉÍ ÔÅÐÅpØ ÆÉÎÉÔÎÏÅ Ä×ÉÖÅÎÉÅ ÞÁÓÔÉÃÙ × ÓÉÌÏ×ÏÍ ÐÏÌÅ. ðpÏÓÔÅÊÛÉÍ ÓÌÕÞÁÅÍ ÔÁËÏÇÏ Ä×ÉÖÅÎÉÑ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Ó×ÏÂÏÄÎÏÅ Ä×ÉÖÅÎÉÅ ÎÁ ËÏÎÅÞÎÏÍ ÏÔÒÅÚËÅ [ a=2; a=2] Ó ÏÔÒÁÖÅÎÉÅÍ ÏÔ ÐÏÔÅÎÃÉÁÌØÎÙÈÓÔÅÎÏË ÐÒÉ x = a=2 É x = a=2.
óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÉÁÎ ÒÁ×ÅÎp2 + U (a=2 x) + (a=2 + x);H = 2m(1)0ÇÄÅ U0 | ×ÙÓÏÔÁ ÓÔÅÎËÉ. åÓÌÉ ÜÎÅÒÇÉÑ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÊ ÞÁÓÔÉÃÙ E > U0 , ÔÏ ÏÎÁ ÎÅ ÉÓÐÙÔÙ×ÁÅÔ ÏÔÒÁÖÅÎÉÑ ×ÔÏÞËÁÈ a=2, ÈÏÔÑ Å£ ÓËÏÒÏÓÔØ ÓËÁÞËÏÏÂÒÁÚÎÏ ÍÅÎÑÅÔÓÑ, ÅÓÌÉ ÖÅ E < U0 , ÔÏ ÞÁÓÔÉÃÁ ÓÏ×ÅÒÛÁÅÔ ÆÉÎÉÔÎÏÅÄ×ÉÖÅÎÉÅ ×ÎÕÔÒÉ ÐÏÔÅÎÃÉÁÌØÎÏÊ ÑÍÙ.ðÏÓÔpÏÉÍ Ë×ÁÎÔÏ×ÙÅ ÓÔÁÃÉÏÎÁÒÎÙÅ ÓÏÓÔÏÑÎÉÑ ÜÔÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ. éÚ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ûÒ£ÄÉÎÇÅÒÁ H = EÉÍÅÅÍ00 u = k2 ;(2)ÇÄÅ u = 2mU=~2 , k2 = 2mE=~2 . ðÏÓËÏÌØËÕ ÐpÉ x = a=2 ÐÏÔÅÎÃÉÁÌ UÉÍÅÅÔ ËÏÎÅÞÎÙÅ pÁÚpÙ×Ù, ÑÓÎÏ, ÞÔÏ × ÜÔÉÈ ÔÏÞËÁÈ ÆÕÎËÃÉÉ É 0 ÄÏÌÖÎÙÂÙÔØ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙ, ÐÒÉÞ£Í ÐÅp×ÁÑ ÐpÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ 0 ÄÏÌÖÎÁ ÉÍÅÔØ ÉÚÌÏÍ, ÓÔÅÍ ÞÔÏÂÙ ×ÔÏpÁÑ ÐpÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ 00 ÉÍÅÌÁ ËÏÎÅÞÎÙÊ ÒÁÚÒÙ×.
ïÂÝÅÅ pÅÛÅÎÉÅÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (2) ÌÅÇËÏ ÐÏÓÔÒÏÉÔØ, ÓËÌÅÉ×ÁÑ ÒÅÛÅÎÉÑ Ó×ÏÂÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÎÁòÉÓ. 1. ðÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÁÑ ÐÏ- ÏÔÒÅÚËÅ [ a=2; a=2] Ó ÒÅÛÅÎÉÑÍÉ ×ÎÅ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ. ðÒÅÄÐÏÌÁÇÁÑ,ÞÔÏ 0 < E < U0 É ÏÂÏÚÎÁÞÁÑ { 2 = 2m(U0 E)=~2 , ÂÕÄÅÍ ÉÍÅÔØÔÅÎÃÉÁÌØÎÁÑ ÑÍÁ8 {x>x < a=2;<C1e + C2e{x ;(x) = >C3 sin kx + C4 cos kx; jxj < a=2;(3):C5e{x + C6e {x ;x > a=2:x10.25ðïôåîãéáìøîáñ ñíáòÉÓ. 2. tg ka=2 = { =kòÉÓ. 3. ctg ka=2 ={ =kþÔÏÂÙ ×ÙÑÓÎÉÔØ ÈÁpÁËÔÅp ÓÐÅËÔpÁ ÜÎÅpÇÉÊ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÔØ, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÌÉ ÔÁËÏÊ ×ÙÂÏp ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏ× C1 ; : : :C6 ÐpÉ ËÏÔÏpÏÍ pÅÛÅÎÉÑ ÐpÉÎÁÄÌÅÖÁÔ L2 (R) ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏpÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÓÐÅËÔpÁÌØÎÏÇÏÐÁpÁÍÅÔpÁ k (ÄÉÓËpÅÔÎÙÊ ÓÐÅËÔp), ÌÉÂÏ ÄÏÐÕÓËÁÀÔ pÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÅÄÉÎÉÃÙ × ×ÉÄÅ ÉÎÔÅÇpÁÌÁ ÐÏ ÓÐÅËÔpÁÌØÎÏÍÕ ÐÁpÁÍÅÔpÕ (ÎÅÐpÅpÙ×ÎÙÊ ÓÐÅËÔp).
÷ ÏÂÏÉÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÆÕÎËÃÉÉ ÎÅ ÍÏÇÕÔ ÉÍÅÔØ ÎÁ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉÜËÓÐÏÎÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ pÏÓÔÁ, ÐÏÜÔÏÍÕ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÐÏÌÏÖÉÔØ C1 = C5 = 0, ÔÁË ÞÔÏ ÏÓÔÁÀÔÓÑ ÞÅÔÙpÅ ÎÅÏÐÒÅÄÅÌ£ÎÎÙÅ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÅ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÅ. ïÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÎÅÐpÅpÙ×ÎÙÊ ÓÐÅËÔp × ÏÂÌÁÓÔÉ ÜÎÅpÇÉÊ0 < E < U0 ÏÔÓÕÔÓÔ×ÕÅÔ.
äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÎÅÐpÅpÙ×ÎÏÓÔØ É 0 × ÔÏÞËÁÈ x = a=2 ÎÁÌÁÇÁÅÔ ÞÅÔÙpÅÕÓÌÏ×ÉÑ ÎÁ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÅ C2 ; C3; C4; C6, ÐpÉÞÅÍ ÜÔÉ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÐpÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÓÏÏÂÏÊ ÌÉÎÅÊÎÕÀ ÏÄÎÏpÏÄÎÕÀÓÉÓÔÅÍÕ ÁÌÇÅÂpÁÉÞÅÓËÉÈ ÕpÁ×ÎÅÎÉÊ. îÅÔpÉ×ÉÁÌØÎÙÅ pÅÛÅÎÉÑ ÔÁËÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÌÉÛØ ÐpÉ ÏÂpÁÝÅÎÉÉ × ÎÕÌØ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÏÐpÅÄÅÌÉÔÅÌÑ, ËÏÔÏpÙÊ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ k. ðÏÜÔÏÍÕ pÅÛÅÎÉÑ ×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏpÑÍÏÇÕÔ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÔØ ÔÏÌØËÏ ÐpÉ ÎÅËÏÔÏpÙÈ ÄÉÓËpÅÔÎÙÈ k.óËÌÅÊËÕ pÅÛÅÎÉÊ É ÏÔÙÓËÁÎÉÅ ÄÉÓËpÅÔÎÙÈ k ÍÏÖÎÏ ÕÐpÏÓÔÉÔØ ÉÓÐÏÌØÚÕÑ ÓÏÏÂpÁÖÅÎÉÑ Þ£ÔÎÏÓÔÉ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÐÏÔÅÎÃÉÁÌ × (1) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Þ£ÔÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÅÊ, ÔÏ ÏÐÅÒÁÔÏÒ ÉÎ×ÅÒÓÉÉ P ,P (x) = ( x);(4)ËÏÍÍÕÔÉÒÕÅÔ Ó ÇÁÍÉÌØÔÏÎÉÁÎÏÍ, [P; H] = 0, É ÐÏÔÏÍÕ ÍÏÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ×ÅËÔÏÒÙ H ÉÍÅÀÝÉÍÉ ÏÐÒÅÄÅÌ£ÎÎÕÀ ÞÅÔÎÏÓÔØ. ÷ ÏÂÏÉÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÐpÏ×ÅÓÔÉ ÓËÌÅÊËÕ × ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÔÏÞÅË pÁÚpÙ×ÁÐÏÔÅÎÃÉÁÌÁ, ÐpÉÞÅÍ ÄÌÑ ÉÓËÌÀÞÅÎÉÑ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏ× ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÓËÌÅÉÔØ ÌÏÇÁpÉÆÍÉÞÅÓËÕÀ ÐpÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ0 = .
äÌÑ Þ£ÔÎÙÈ ÓÏÓÔÏÑÎÉÊ (C = C ; C = 0) ÓËÌÅÊËÁ × ÔÏÞËÅ x = a=2 ÄÁ£Ô ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÎÁ26 3ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ:tg ka=2 = { =k;(5)ÇÒÁÆÉÞÅÓËÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ËÏÔÏÒÏÇÏ ×ÙÇÌÑÄÉÔ ËÁË ÐÏËÁÚÁÎÏp ÎÁ pÉÓ. 2. æÉÎÉÔÎÏÍÕ Ä×ÉÖÅÎÉÀ ÏÔ×ÅÞÁÀÔ ÚÎÁÞÅÎÉÑ 0 k {0, {02 = 2mU0 =~2 , ÐÒÉ ÜÔÏÍ { = {02 k2 . éÍÅÅÔÓÑ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÔÏÞÅË ÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑkn+ ; n+ = 0; 1; 2; : : : ; nmax+ ÇÒÁÆÉËÏ× ÐÒÁ×ÏÊ É ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÅÊ ÕpÁ×ÎÅÎÉÑ × pÁÓÓÍÁÔpÉ×ÁÅÍÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ ÜÎÅpÇÉÊE = (~k)2 =(2m) < U0 , ÐÒÉÞ£Í ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ ËÏÒÅÎØ k0 ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ k0 a < É ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÐpÉ ×ÓÅÈ U0 . äÌÑ ÎÅÞ£ÔÎÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ (C2 = C6 ; C4 = 0) ÕÓÌÏ×ÉÅ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÓÔÉ ÌÏÇÁÒÉÆÍÉÞÅÓËÏÊÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ ÐÒÉ x = a=2 ÄÁ£Ô ÕpÁ×ÎÅÎÉÅctg ka=2 ={ =k;(6)ÇÒÁÆÉÞÅÓËÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ËÏÔÏÒÏÇÏ k = kn ; n = 1; 2; : : : ; nmax ÐÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ËÁË ÐÏËÁÚÁÎÏ ÎÁ ÒÉÓ.
3. ìÅÇËÏ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ ËÏpÅÎØ ÎÅÞÅÔÎÏÇÏ pÅÛÅÎÉÑ ÂÏÌØÛÅ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÇÏ ËÏpÎÑ ÞÅÔÎÏÇÏ pÅÛÅÎÉÑ, ÔÁËÞÔÏ ÏÓÎÏ×ÎÏÅ ÓÏÓÔÏÑÎÉÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÞÅÔÎÙÍ. ðpÉ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÍÁÌÏÊ ÇÌÕÂÉÎÅ ÑÍÙ ÎÅÔ ÎÉ ÏÄÎÏÇÏ ÎÅÞÅÔÎÏÇÏÕpÏ×ÎÑ.éÔÁË, ÍÙ ÐÏÌÕÞÉÌÉ, ÞÔÏ ÓÐÅËÔp ÜÎÅpÇÉÊ ÞÁÓÔÉÃÙ, ÓÏ×ÅpÛÁÀÝÅÊ ÆÉÎÉÔÎÏÅ Ä×ÉÖÅÎÉÅ × ÐÏÔÅÎÃÉÁÌØÎÏÊÑÍÅ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÉÓËpÅÔÎÙÍ, En = (~kn )2 =(2m), ÇÄÅ ÔÅÐÅpØ ÉÎÄÅËÓ n ÎÕÍÅpÕÅÔ ×ÓÅ ËÏpÎÉ × ÐÏpÑÄËÅ ÉÈ×ÏÚpÁÓÔÁÎÉÑ, ÎÁÞÉÎÁÑ Ó n = 0. ÷ÎÕÔpÉ ÑÍÙ ×ÏÌÎÏ×ÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÏÓÃÉÌÌÉpÕÅÔ É ÉÍÅÅÔ ÔÁÍ pÏ×ÎÏ n ÎÕÌÅÊ.÷ÏÌÎÏ×ÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÏÔÌÉÞÎÁ ÏÔ ÎÕÌÑ É ×ÎÅ ÑÍÙ, Ô.
Å. × ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÉ ÎÅÄÏÓÔÕÐÎÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ, ÇÄÅ ÏÎÁ ÜËÓÐÏÎÅÎÃÉÁÌØÎÏ ÓÐÁÄÁÅÔ. ôÁËÉÍ ÏÂpÁÚÏÍ, ÉÍÅÅÔÓÑ ÍÁÌÁÑ, ÎÏ ÏÔÌÉÞÎÁÑ ÏÔ ÎÕÌÑ ×ÅpÏÑÔÎÏÓÔØ ÏÂÎÁpÕÖÉÔØ ÞÁÓÔÉÃÕ26çìá÷á 3.ïäîïíåòîïå ä÷éöåîéå×ÎÅ ÏÂÌÁÓÔÉ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÇÏ Ä×ÉÖÅÎÉÑ. ÷ÓÅ ËÏÜÆÉÃÉÅÎÔÙ Ci × (3) ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ×ÙÂpÁÎÙ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ (ÓÕÞÅÔÏÍ ÕÓÌÏ×ÉÊ ÓËÌÅÊËÉ); ÔÁËÉÍ ÏÂpÁÚÏÍ ×ÏÌÎÏ×ÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÄÉÓËpÅÔÎÏÇÏ ÓÐÅËÔpÁ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙ (Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÊ ÆÁÚÏ×ÙÊ ÍÎÏÖÉÔÅÌØ). îÅÔpÕÄÎÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ ÄÌÑ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ×ÏÌÎÏ×ÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ ÐÌÏÔÎÏÓÔØ ÔÏËÁ ×ÅpÏÑÔÎÏÓÔÉ (8.5) ÏÂpÁÝÁÅÔÓÑ × ÎÕÌØ, ÜÔÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÔÏÍÕ ÆÁËÔÕ,ÞÔÏ ÐÌÏÔÎÏÓÔØ ×ÅpÏÑÔÎÏÓÔÉ × ÔÁËÉÈ ÓÏÓÔÏÑÎÉÑÈ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ×pÅÍÅÎÉ, É, × ÓÉÌÕ (8.6), ÐÌÏÔÎÏÓÔØ ÔÏËÁ ×ÅpÏÑÔÎÏÓÔÉ ÄÏÌÖÎÁ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÅÔØ ÏÔ x. ðÏÓËÏÌØËÕ ÄÌÑ ÓÔÁÃÉÏÎÁpÎÙÈ ÓÏÓÔÏÑÎÉÊ ÆÉÎÉÔÎÏÇÏ Ä×ÉÖÅÎÉÑÎÁÐpÁ×ÌÅÎÉÑ ×ÄÏÌØ É ÐpÏÔÉ× ÏÓÉ pÁ×ÎÏÐpÁ×ÎÙ, ÐÌÏÔÎÏÓÔØ ÔÏËÁ ÄÏÌÖÎÁ ÏÂpÁÝÁÔØÓÑ × ÎÕÌØ.ïÓÏÂÅÎÎÏ ÐÒÏÓÔÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ ÄÌÑ ÓÐÅËÔÒÁ ÜÎÅpÇÉÊ ÐÏÌÕÞÁÅÔÓÑ × ÐÒÅÄÅÌÅ U0 ! 1, E ËÏÎÅÞÎÏ.
ðÒÉ ÜÔÏÍ× ÏÂÌÁÓÔÑÈ ×ÎÅ ÑÍÙ, jxj > a=2, × (3) { ! 1 É ! 0. ôÁËÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÖÅ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÉÍÅÔØ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÊÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ 0 ÎÁ ÇÒÁÎÉÃÁÈ, × ÔÏ ×ÒÅÍÑ ËÁË ÐÏ-ÐÒÅÖÎÅÍÕ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁ É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,( a=2) = (a=2) = 0:(7)ïÔÓÀÄÁ ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÐÒÉ jxj 6 a=2= C sin k(x + a=2) ; ka = n; n = 0; 1; 2; : : :(8)É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ~n 21En = 2m a :(9)ôÁËÁÑ ÐÏÔÅÎÃÉÁÌØÎÁÑ ÑÍÁ ÏÔ×ÅÞÁÅÔ ÎÅÐÒÏÂÉ×ÁÅÍÙÍ ÓÔÅÎËÁÍ: ÏÔÒÁÖÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÐÒÉ ÌÀÂÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÜÎÅÒÇÉÉ. ÷ÏÌÎÏ×ÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÐpÉ ÜÔÏÍ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏ pÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ ×ÎÅ ÑÍÙ. þÉÓÌÏ ÎÕÌÅÊ ×ÏÌÎÏ×ÏÊÆÕÎËÃÉÉ ×ÎÕÔpÉ ÑÍÙ (ÎÅ ÓÞÉÔÁÑ ÎÕÌÅ×ÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÎÁ ÇpÁÎÉÃÁÈ) ÐÏ-ÐpÅÖÎÅÍÕ pÁ×ÎÏ n, É ×ÏÌÎÏ×ÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÔÁËÖÅ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÁ.äÒÕÇÏÊ ÐÒÏÓÔÏÊ ÐÒÅÄÅÌØÎÙÊ ÓÌÕÞÁÊ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÕÚËÁÑ É ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÇÌÕÂÏËÁÑ ÑÍÁ:U0 ! 1, a ! 0, ÐÒÉÞÅÍ aU0 = = const. üÔÏ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÐÏÔÅÎÃÉÁÌÕU(x) = (x):(10)õÒÁ×ÎÅÎÉÅ ûÒ£ÄÉÎÇÅÒÁ ÔÅÐÅÒØ ÓÌÅÄÕÅÔ ÒÅÛÁÔØ ÐÒÉ x 6= 0 É ÓËÌÅÉ×ÁÔØ ÒÅÛÅÎÉÑ × ÔÏÞËÅ x = 0. ÷ÏÌÎÏ×ÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÐÏ-ÐÒÅÖÎÅÍÕ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁ, Á ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ 0 ÉÍÅÅÔ ÓËÁÞÏË, ËÏÔÏÒÙÊ ÎÅÔÒÕÄÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ,ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ûÒ£ÄÉÎÇÅÒÁ (2) × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ x = 0:0 +0 + 2m (0) = 0:(11)0~2åÓÌÉ E < 0 (ÞÁÓÔÉÃÁ × ÑÍÅ), ÔÏ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÅ É ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÅ ÐÒÉ x = 0 pÅÛÅÎÉÅ ÂÕÄÅÔ ÉÍÅÔØ ×ÉÄ(kx(x) = C ekx ; x > 0;e ; x < 0:éÚ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÓËÌÅÊËÉ (11) ÎÁÈÏÄÉÍ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÄÏÐÕÓÔÉÍÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ×ÏÌÎÏ×ÏÇÏ ÞÉÓÌÁk = m ;~2(12)(13)(ÄÉÓËÒÅÔÎÙÊ ÓÐÅËÔÒ, ÓÏÓÔÏÑÝÉÊ ÉÚ ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÉ), Á ÐÏÓÔÏÑÎÎÁÑ C ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÉÚ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÎÏÒÍÉÒÏ×ËÉ.éÔÁË, ÄÅÌØÔÁÏÂpÁÚÎÁÑ ÐÏÔÅÎÃÉÁÌØÎÁÑ ÑÍÁ ÍÏÖÅÔ ÕÄÅpÖÉ×ÁÔØ ÞÁÓÔÉÃÕ ÌÉÛØ Ó ÆÉËÓÉpÏ×ÁÎÎÙÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍÜÎÅpÇÉÉ.
úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÉÎÔÅÇpÁÌØÎÁÑ ×ÅpÏÑÔÎÏÓÔØ ÏÂÎÁpÕÖÉÔØ ÞÁÓÔÉÃÕ ×ÎÅ ÑÍÙ pÁ×ÎÁÅÄÉÎÉÃÅ, ÐÏÓËÏÌØËÕ ×ÏÌÎÏ×ÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ËÏÎÅÞÎÁ × ÔÏÞËÅ x = 0, Á ÛÉpÉÎÁ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ pÁ×ÎÁÎÕÌÀ.÷ÅpÎÅÍÓÑ ÔÅÐÅpØ Ë ÇÁÍÉÌØÔÏÎÉÁÎÕ (1) ÐpÉ ËÏÎÅÞÎÙÈ U0 É pÁÓÓÍÏÔpÉÍ ÓÌÕÞÁÊ ÜÎÅpÇÉÊ E > U0 . ôÏÇÄÁ×ÍÅÓÔÏ (3) ÂÕÄÅÍ ÉÍÅÔØ8 iqx><C1e + C2e(x) = >C3eikx + C4 e:C5eiqx + C6eiqx ;ikx;iqx ;x < a=2;jxj < a=2;x > a=2;(14)ÇÄÅ ~2 q2 = 2m(E U0 ). üÔÏ pÅÛÅÎÉÅ ÚÁ×ÅÄÏÍÏ ÎÅ ÐpÉÎÁÄÌÅÖÉÔ L2 (R), ÎÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÇpÁÎÉÞÅÎÎÙÍ, É ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÐÌÏÓËÉÈ ×ÏÌÎ, ËÏÔÏpÙÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÏÂÏÂÝÅÎÎÙÍÉ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ÆÕÎËÃÉÑÍÉ ÏÐÅpÁÔÏpÁ ÉÍÐÕÌØÓÁ,x11.27ðïôåîãéáìøîùê âáòøåòÐpÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÍÉ ÎÅÐpÅpÙ×ÎÏÍÕ ÓÐÅËÔpÕ.
óËÌÅÊËÁ É 0 × ÔÏÞËÁÈ a=2 ÄÁ£Ô ÞÅÔÙpÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ, ËÏÔÏÒÙÅÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÅÎÙ ÐÒÉ ÌÀÂÙÈ k, Ô.Å. ÓÐÅËÔÒ ÜÎÅÒÇÉÊ E = (~k)2 =(2m) ÔÁËÖÅ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÅÎ. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ k ÉÍÅÀÔÓÑ Ä×Á ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ ÒÅÛÅÎÉÑ, ËÏÔÏÒÙÅ ÕÄÏÂÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ, ÐÏÌÁÇÁÑC6 = 0, ÌÉÂÏ C1 = 0. ÷ÓÐÏÍÉÎÁÑ, ÞÔÏ ×ÒÅÍÅÎÎÁÑ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ ÓÔÁÃÉÏÎÁÒÎÏÇÏ ÓÏÓÔÏÑÎÉÑ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑÍÎÏÖÉÔÅÌÅÍ e iEt=~ , ÌÅÇËÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ × ÐÅp×ÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÓÐÒÁ×Á ÏÔ ÔÏÞËÉ a=2 ÉÍÅÅÔÓÑ ÔÏÌØËÏ ×ÏÌÎÁ, Ä×ÉÖÕÝÁÑÓÑ × ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÍ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÉ ÏÓÉ x, Á ×Ï ×ÔÏpÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÓÌÅ×Á ÏÔ ÔÏÞËÉ a=2 ÉÍÅÅÔÓÑ ÔÏÌØËÏ×ÏÌÎÁ, ÒÁÓÐÒÏÓÔÒÁÎÑÀÝÁÑÓÑ ÐÒÏÔÉ× ÏÓÉ x. ðÏÜÔÏÍÕ pÅÛÅÎÉÅ Ó C6 = 0 ÏÐÉÓÙ×ÁÅÔ Ä×ÉÖÅÎÉÅ ÓÌÅ×Á ÎÁÐpÁ×Ï Ó ÞÁÓÔÉÞÎÙÍ ÏÔpÁÖÅÎÉÅÍ ÎÁÚÁÄ, Á ÒÅÛÅÎÉÅ Ó C1 = 0 | Ä×ÉÖÅÎÉÅ ÓÐpÁ×Á ÎÁÌÅ×Ï ÔÁËÖÅ Ó ÞÁÓÔÉÞÎÙÍÏÔpÁÖÅÎÉÅÍ.ðÏÓËÏÌØËÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ûÒ£ÄÉÎÇÅÒÁ (2) ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ, ÔÏ ÔÁËÖÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉÅÍ.
éÚ ÐÏÓÔÏÑÎÓÔ×Á×ÒÏÎÓËÉÁÎÁW ( ; ) = 0 0(15)(ÞÔÏ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÓÏÈÒÁÎÅÎÉÀ ÔÏËÁ (8.5) × ÓÔÁÃÉÏÎÁpÎÏÍ ÓÏÓÔÏÑÎÉÉ) ÎÁÈÏÄÉÍjC2j2 + jC5j2 = jC1j2:(16)÷×ÏÄÑ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ ÏÔÒÁÖÅÎÉÑ r = jC2=C1j2 É ÐÒÏÈÏÖÄÅÎÉÑ d = jC5=C1j2 ËÁË ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÐÌÏÔÎÏÓÔÅÊÔÏËÁ ×ÅpÏÑÔÎÏÓÔÉ (8.5) ÄÌÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÞÁÓÔÅÊ ×ÏÌÎÏ×ÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ (ÐpÉ C6 = 0), ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÉÚ (16)r + d = 1:(17)áÎÁÌÏÇÉÞÎÙÍ ÏÂpÁÚÏÍ ÍÏÖÎÏ pÁÓÓÍÏÔpÅÔØ ×ÔÏpÏÅ pÅÛÅÎÉÅ C1 = 0, ÏÔ×ÅÞÁÀÝÅÅ ÉÓÈÏÄÎÏÍÕ Ä×ÉÖÅÎÉÀÐÒÏÔÉ× ÏÓÉ x. ðÅpÅÏÐpÅÄÅÌÑÑ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ ÐpÏÈÏÖÄÅÎÉÑ É ÏÔpÁÖÅÎÉÑ ËÁË r = jC5=C6j2, d = jC2=C6j2 ÍÙÐÏÌÕÞÉÍ ÄÌÑ ÎÉÈ ÔÅ ÖÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ, ÞÔÏ É ×ÙÛÅ; × ÜÔÏÍ ÎÅÔpÕÄÎÏ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ, ÐpÉpÁ×ÎÉ×ÁÑ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ×pÏÎÓËÉÁÎÁ ÏÔ ÐÅp×ÏÇÏ É ×ÔÏpÏÇÏ pÅÛÅÎÉÊ ÐÒÉ x < a=2 É x > a=2. ôÁËÉÍ ÏÂpÁÚÏÍ, × ÓÌÕÞÁÅ ÎÅÐpÅpÙ×ÎÏÇÏÓÐÅËÔpÁ ÕÄÁÅÔÓÑ ÏÐpÅÄÅÌÉÔØ ÌÉÛØ ×ÅpÏÑÔÎÏÓÔÉ ÐpÏÈÏÖÄÅÎÉÑ É ÏÔpÁÖÅÎÉÑ, pÁÓÓÍÁÔpÉ×ÁÑ ÐÌÏÔÎÏÓÔØ ÔÏËÁ×ÅpÏÑÔÎÏÓÔÉ ÄÌÑ Ä×ÕÈ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ × ×ÏÌÎÏ×ÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ, ÏÐÉÓÙ×ÁÀÝÉÈ Ä×ÉÖÅÎÉÅ ×ÄÏÌØ É ÐpÏÔÉ× ÏÓÉ x.òÁÚÕÍÅÅÔÓÑ, × ÓÌÕÞÁÅ ÎÅÎÏpÍÉpÕÅÍÙÈ ÓÏÓÔÏÑÎÉÊ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÇÏ×ÏpÉÔØ Ï ÐÌÏÔÎÏÓÔÉ ×ÅpÏÑÔÎÏÓÔÉ ÏÂÎÁpÕÖÅÎÉÑ ÞÁÓÔÉÃÙ × ÔÏÊ ÉÌÉ ÉÎÏÊ ÔÏÞËÅ, ÄÌÑ ÜÔÏÇÏ ÓÌÅÄÏ×ÁÌÏ ÂÙ pÁÓÓÍÏÔpÅÔØ Ä×ÉÖÅÎÉÅ ×ÏÌÎÏ×ÏÇÏ ÐÁËÅÔÁ.þÁÓÔÉÞÎÏÅ ÏÔpÁÖÅÎÉÅ ÐpÉ Ä×ÉÖÅÎÉÉ ÞÁÓÔÉÃÙ ÎÁÄ ÐÏÔÅÎÃÉÁÌØÎÏÊ ÑÍÏÊ ÐpÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÞÉÓÔÏ Ë×ÁÎÔÏ×ÏÅ Ñ×ÌÅÎÉÅ.
äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÁÑ ÞÁÓÔÉÃÁ ÉÓÐÙÔÙ×ÁÅÔ ÕÓËÏpÅÎÉÅ × ÍÏÍÅÎÔ ÐÅpÅÓÅÞÅÎÉÑ ÐÅp×ÏÊÇpÁÎÉÃÙ ÑÍÙ É ÚÁÍÅÄÌÅÎÉÅ × ÍÏÍÅÎÔ ×ÙÈÏÄÁ ÉÚ ÏÂÌÁÓÔÉ ÎÁÄ ÑÍÏÊ, ÎÏ ÐpÏÄÏÌÖÁÅÔ Ä×ÉÇÁÔØÓÑ × ÉÓÈÏÄÎÏÍÎÁÐpÁ×ÌÅÎÉÉ. ë×ÁÎÔÏ×ÁÑ ÞÁÓÔÉÃÁ × ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÂÕÄÅÔ ÉÓÐÙÔÙ×ÁÔØ ÏÔpÁÖÅÎÉÅ, ÞÔÏ ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ pÅÚÕÌØÔÁÔÏÍ ÉÎÔÅpÆÅpÅÎÃÉÉ ×ÏÌÎ ÄÅ âpÏÊÌÑ, ÍÏÄÕÌÉpÕÅÍÙÈ ÐÏÔÅÎÃÉÁÌÏÍ. ÷ ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ pÁÚÄÅÌÅ ÍÙ ÐÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÐpÉ ÜÔÏÍ ÍÏÖÅÔ ×ÏÚÎÉËÁÔØ ×ÏÌÎÏ×ÏÊ pÅÚÏÎÁÎÓÎÙÊ ÜÆÆÅËÔ.ïÐÉÓÁÎÎÙÅ ÚÁËÏÎÏÍÅpÎÏÓÔÉ ÓÏÈpÁÎÑÀÔÓÑ É ÄÌÑ ÏÄÎÏÍÅpÎÏÇÏ Ä×ÉÖÅÎÉÑ × ÐÏÔÅÎÃÉÁÌØÎÏÍ ÐÏÌÅ ÂÏÌÅÅÏÂÝÅÇÏ ×ÉÄÁ. éÍÅÎÎÏ, × ÄÉÁÐÁÚÏÎÅ ÜÎÅpÇÉÊ, × ËÏÔÏpÏÍ ÞÁÓÔÉÃÁ ÎÅ ÕÈÏÄÉÔ ÎÁ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔØ, ÓÏ×ÅpÛÁÑÆÉÎÉÔÎÏÅ Ä×ÉÖÅÎÉÅ ÍÅÖÄÕ Ä×ÕÍÑ ÔÏÞËÁÍÉ ÐÏ×ÏpÏÔÁ, ÓÐÅËÔp ÜÎÅpÇÉÊ ÄÉÓËpÅÔÎÙÊ, ÐpÉ ÜÔÏÍ ÞÉÓÌÏ ÎÕÌÅÊ×ÏÌÎÏ×ÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ ×ÎÕÔpÉ ÑÍÙ pÁ×ÎÏ ÎÏÍÅpÕ ÕpÏ×ÎÑ, ÅÓÌÉ ÏÓÎÏ×ÎÏÍÕ ÓÏÓÔÏÑÎÉÀ ÐpÉÓ×ÏÉÔØ ÎÏÍÅp ÎÕÌØ(ÏÓÃÉÌÌÑÃÉÏÎÎÁÑ ÔÅÏpÅÍÁ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
