Б.С. Ишханов, И.М. Капитонов, Н.П. Юдин - Частицы и атомные ядра (1120562), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Возникает условие для устойчивых нуклонных состояний. Будем рассматривать «сферическую» модель оболочек, когда нуклоны находятся в сферически симметричной потенциальной яме (г(у) = у(г). 305 89. Модель ядеряьа оболочек Пренебрегаем кулоновским взаимодействием. Рассмотрим три вида мо- дельного потенциала (рис.6.18): 1. Прямоугольная потенциальная яма —1'ь, т<Л. )г„,(т) = О, т=В. (6.5!) 2. Потенциал гармонического осциллятора ~' „(т) = — $'ь + -Мы г, 2 2 2 (6.52) где М вЂ” масса нуклона, а ьг — осцилляторная частота. 3.
Потенциал Вудса — Саксона )го евс(т) =— 1,. Е1г-Л!га' (6.53) -20 -20 -40 Цт), МзВ 1И, Мэй Рве. 6.18. Аппроксимация ядерного потенциала в легких (сяева) и тяжелых (справа) ядрах. Потенциалы прямоугольной ямы, гармонического осциллятора и Вудса — Саксона показаны соответственно сплошной, пунктирной и точечной линиями. Реалистический ядерный потенциал лучше всего воспроизводится потенциалом Вудса-Саксана. В легких ядрах (А и !0) он бли:ке к осцилляторному, а в тяжелых (А - 200) — к прямоугольному Потенциал Вудса — Саксона наиболее близок к реальному ядерному потенциалу. Он является отражением распределения Ферми (6. ! 8) плотности ядерного вещества.
Такая аппроксимация Формы ядерного потенциала оправдана малым радиусом действия нуклон-нуклонных сил. В потенциале (6,53), как и в распределении Ферми (6.18), а — 0,55 Фм, Что касается глубины ядерной потенциальной ямы 7~, то она увеличивается при переходе от легких ЯдеР к тЯжелым. В легких ЯлРах (А < 40) )гь = 20-30 МэВ, в средних ядрах (А = 40-!00) Ц = 30-40 МзВ и в тяжелых ядрах (А > ! 00) $~ — — 40 — 50 МэВ. 306 Пгава 6. Атомные ядра — связанные системы нукяонов Если выбран молельный потенциал, то далее все сводится к решению уравнения Шредингера для отдельного нуклона.
Пусть Йд — гамильтоннан ядра, а ܄— гамильтониан отдельного нуклона (с индексом а). Тогда имеем ЙоФ = ь'Ф, где (6.54) Уравнение Шредингера для отдельного нуклона Ь. р;(г.) = е; рг(г.) (6.55) Так как гамильтониан Ь одинаков лля всех нуклонов, то запишем Ьр, = суь (6.56) Волновая функция нуклона угаг,„, описывающая его орбитальное движение, имеет вид р=-у =В (г) Уг (й р) (6.
57) где и — радиальное квантовое число (и = 1, 2, 3,...), 1 — орбитальный момент нуклона, гп — его проекция на ось з. При фиксированном 1 энергия е нуклона тем больше, чем больше число и. Состояние нуклона обозначают в виде комбинации и (буква) 1 (число). Последовательность одночастичных уровней зависит от У(г). На рис.6.19 слева показана схема уровней для потенциала Вудса — Саксона. Ядерные оболочки обычно обозначают по уровням гармонического осциллятора: 1в-оболочка, !р-оболочка, 102в-оболочка, 122р, 1у2ИЗв и т.д.
Энергия ядра в модели оболочек является суммой одночастичных энергий нуклонов, а волновая функция ядра может быть представлена с учетом требований симметрии, налагаемых принципом Паули, в виде произведения волновых функций отдельных нуклонов. Заполнение оболочек нуклонами происходит в соответствии с принципом Паули. В основном состоянии должны быть заняты самые нижние уровни.
Прн этом одночастичные уровни для протонов и нейтронов заселяются независимо. Число нуклонов одного типа иг на одночастичном уровне дается формулой иг = 2(21+!), (6.58) где (21+ 1) — число ориентаций вектора 1, а 2 — число ориентаций спина нуклона в = -'. г Уровни гармонического осциллятора эквидистантны. Расстояние между ними дается выражением г" 2УаЬ " г, Чг Ьиг= ~ — ) в4! ° А г МэВ -1 з — ~,д~ г) (6.59) при Уа а ЗО МэВ (радиус ядра В рассчитывается по формуле (6.21)). э 9.
Модель ядерных оболочек З02 '~ )/и/ — здз/2 — — ь~ — Зд — < ь 22 /г Е< !/2 — 20 — С л 5~6/ ~чь ц / и <з/г— вл</2 --5Р'/г — 2<6'г 2/г/з ЕлЯА ()6! [)64] — <64 <4)— (2)— <6!— Е(2)— (6)— 00)— «ете[ ~ 04) — [(26] — )26 (г!— <4!— Е6)— ЕВ) — [(00] (/О!— нечетн ! е — (Л ~ '5 -"-55з/ (Ег) [вг] — вг (г)- (4)— <6! [64] <в)— '-5 3 —- 2 .— гпз/) — гд — е[ 2!<з/е (27.ь 4 бы, четв. ()О) — [50] — 50 (2 ! — [40] <б! — [56] (4)— (6)-[26] — 26 <у е! гл /2 52,, ]'-2Р— ~ — /;/, нечетн,'( — )/ ' Р 4 — -!/Рг ггко .[ -2з — .
луз/2 чети'. [ — <Д вЂ” <.'. гз г/2 Ед!4 <4) — [20] — 20 (2 ! — (<6) <6)-[(4] <б, (, --Еруз нечетл ---!Рзь (2) — [В] — В <4) — [6] 0 -!а — — -- Ез</г <2)-[2] — г Из (б.59! видно, что с ростом числа нуклонов А «плотность» оболочек растет (расстояние между оболочками уменьшается). Так, если при А 20 имеем ))<д ез 15 МэВ, то цри А — 200 получаем !ид = 8 МэВ. Этот эффект хорошо виден на рис.
6.20. Уровни гармонического осциллятора характеризуются вырождением по орбитальному моменту нуклона. В потенциале Вудса — Саксона сни- Ряе.6.(9. Схематическое изображение олночастичных уровней в сфернческисимметричном потенциале: слева без учета спин-орбитального взаимодействия, справа — с )истом.
Фигурные скобки объединяют уровни, входяшие в одну осцилляторную оболочку. В круглых скобках лано число вакантных мест иа уровне для нуклонов одного типа, в квадратных скобках привела но суммаргюе число нуклонов одного типа, если заполнены все уровни вплоть ло данного включительно 308 Вава 6. 4толгные ядра — связанные системы нуклоное ел вв гав гео но ме гео гол его Ф Ряс.
6.26. Зависимость энергии нейтронных олиочастичных состояний от массового числа мается вырождение по орбитальному моменту нуклона в пределах одной оболочки и происходит перегруппировка высоких одночастичных уровней. Оболочками в случае произвольного потенциала следует считать группы близко расположенных одночастичных уровней. Пользуясь формулой (6.58), можно найти максимальное число нуклонов одного типа на уровне и максимальное число нуклонов одного типа в ядрах с заполненными оболочками.
Эти последние числа должны отвечать магическим ядрам. Для потенциалов гармонического осциллятора, прямоугольной ямы и ямы промежуточной формы (типа Вудса — Саксона) получаем следуюгцие магические числа: гармонический осяиллятор ахГ, Я .= 2, 8. 20, 40, 10, !! 2, 168; 309 э 9. Модель ядерных оболочек нрямоуеольная яма Х, Я = 2,8,20,34,58,92,138; лотенциол Вудса — Сангина ЛГ, Я = 2,8,20,40,70,92, !38.
Лишь первые три числа (2, 8, 20) совпадают с экспериментально установленными магическими числами. Для объяснения всего набора магических чисел, как оказалось, необходимо учесть спин-орбитальные силы, т. е. ту часть ядерного потенциала, которая зависит от взаимной ориентации орбитального и спинового моментов нуклона. Спин-орбитальные силы играют существенную роль в атомных ялрах. С учетом спин-орбитальной добавки ядерный потенциал имеет вид (6.60) У(г) = У~(г) + Уг(г) . !я", где Уг(г) ( О, как и У1(г).
В потенциале (6.60) снимается вырождение по полному моменту г' нуклона в пределах одной оболочки, который при данном ! в зависимости от ориентации спина нуклона принимает 2 значения: 7' = ! ж 1/2. Происходит расщепление состояния с данным ! на два состояния с разной взаимной ориентацией ! и я, Таким образом, каждый одночастичный уровень расщепляется на два. Глубже опускается уровень с г = ! + 1/2, так как в этом случае нуклон сильнее взаимодействует с остальными. Схема ялерных одночастичных уровней с учетом !я-расщепления показана на рис.б.!9.
В обозначение одночастичных уровней вводится нижний индекс, указывающий величину г. Так, вместо уровня !р появляются два уровня 1рцг и !рггг. Величина расщепления, очевидно, тем больше, чем болыпе ! (это следует уже из вида выражения !я). Начиная с уровня ! о (рис.6.19), затем !Ь и т.д., !я-расщепление становится сравнимым с расстоянием межлу соседними осцилляторными оболочками. Расщепление уровней с ! > 4 настолько велико, что нижний уровень оболочки с максимальным г н ! сильно опускается вниз и оказывается в предыдущей оболочке (это относитсЯ к УРовнЯм !Вз7г, !Ьн7г, !г~згг и 111ггг, котоРые попалают соответственно в 4-ю, 5-ю, 6-ю и 7-ю оболочки).
Количество нуклонов одного сорта на одночастичном уровне равно и, — числу проекций г на ось гн (6.61) и =2!+1. Состояния ядра в одночаеминной модели обагочек определяются расположением нуклонов на олночастичных уровнях и называются конфигурациями. Основное состояние ядра отвечает расположению нуклонов на самых нижних одночасгичных уровнях. Так, в ядре 'ьО в основном состоянии нуклоны полностью заполняют уровни 1яцг, !рцг и 1рцг.
Кулоновское взаимодействие протонов увеличивает энергию протонных одночастичных уровней по сравнению с нейтронными и видоизменяет потенциальную яму для протонов (она мельче нейтронной и за прелелами ядра выходит на асимптотику кулоновского потенциала), С учетом этого 310 Глава 6. Атомные ядра — связанные сисгяемы нухланав Рис. 6.21. Нейтронные н протонные олночастичные уровни в ядре "О 2е = ~2, Ц(2 — 1), ~(2 — 2), ..., х1/2. Например, если уровень имеет з = 3/2, то на нем мо:кет находиться 4 нуклона одного типа (4 протона и 4 нейтрона) и заполненный уровень с этими четырьмя нуклонами можно изобразить так, как на рис. 6.22.
Четность запояненного уровня положительна, так как она содержит четное число (2/+ 1) нуклонов одинаковой четности. Поэтому для заполненного уровня (оболочки) ,7 = 0~. (6.62) Рие. 6.22. Нукяоны одного типа на уровне с з = 3/2 2. Ядра с адиим нуклаяам сверх заяаляенных уровней. Остов заполненных уровней имеет характеристики 0~, поэтому момент и четность апре- расположение нуклонов по олночастичным уровням в основном состоянии ядра мО показано на рис.6.21.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
