Б.С. Ишханов, И.М. Капитонов, Н.П. Юдин - Частицы и атомные ядра (1120562), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Бесцветность адронов означает, что в них кварки разного цвета представлены с равными весами. О таких бесцветных состояниях говорят как о цветовых синглетах. Они инвариантны относительно преобразований в трехмерном цветовом пространстве. Если цветовой индекс кварка принимает три значения а = 1, 2, 3, то такие преобразования имеют внд 3 33« = ~ и«РЬР (4.5) при условии ортонормированности цветовых состояний 3 Е и«ри = брт, (4.б) «=3 (4.7) Ф = здс»3«»Ф, гле Ф вЂ” часть волновой функции адрона, куда входят пространственные (зрасе), спиновые (зр1п) и ароматовые (йатог) степени свободы кларков. Установим вид 373,«3„.
Он различен для мезонов и барионов. Кварковая структура мезонов 37д. Для того чтобы мезон был бесцветным, все возможные цвета кварка (антнкварка) в нем должны быть представлены с одинаковым весом, что дает цветовую структуру мезона: (кк+зз+се). Поэтому, независимо от типа (кваркового состава) мезона 32 З»к. 39 где (») означает комплексное сопряжение, а дрт — символ Кронекера. Итак, в отличие от цветных кларков. их наблюдаемые комбинацни— адроны — всегда бесцветны. В них все кварковые цвета представлены с олинаковыми весами.
В этом аналогия между оптическим и квантовым цветом. И в том и другом случае равномерная смесь трех базовых цветов дает бесцветную (белую) комбинацию. Рассмотрим вопрос о том, как цветовые степени свободы кварков должны быть учтены в волновых функциях адронов Ф. Поскольку эти степени свободы не зависят от других кварковых степеней свободы— пространственных коорлинат, спина и аромата, то цветовая часть полной ВОЛНОВОЙ фуНКцИИ адраиа МОжЕт бЫтЬ ВЫдЕЛЕНа В ВИДЕ МНОжИтЕЛя 333,аы3 162 Глава 4. Адроны цветовая часть его волновой функции с учетом нормировки имеет вид 1 фемы (мезон) = — (кк+ зз+ сс).
3 (4.8) Если в качестве примера взять я -мезон, кварковый состав которого Ий, то для него ароматово-цветовое волновая функция будет иметь вид 1 ф«ы (барион) = — (кзс + зск + скз — коз — сзк — зкс). (4.10) б Такая цветовая функция автоматически обеспечивает выполнение прин- ципа Паули, запрешаюшего сушествование бариона, содержашего кварки одного и того же аромата в полностью одинаковых квантовых состояниях. Араматово-цветовое волновая функция Л++-резонанса имеет вид д++ 1 ф„„, „,, = =(и„и,и,+и,и,и„+и,и„и,-и„и,и,-и,и,и„-и,и„и,).
(4.1!) ч/6 Требуемая антисимметризация волновой функции Ь++-резонанса получена. Она антисимметрична по цвету, симметрична по пространственным координатам (орбитальные моменты кварков нулевые) и спинам ((1л ). ! ф. ыли (к ) = — (д„их+ д,йт+д,йе). (4.9) ,Гз При установлении вида цветовой волновой функции бариона необходимо учесть принцип Паули. Дело в том, что в состав бариона могут вхолить тождественные кварки, а поскольку кварки являются фермионами, то в таких барионах зти кварки не должны находиться в одинаковых квантовых состояниях. В случае мезонов такого ограничения нет, так как они содержат только различные частицы — кварк и антикварк, Это означает, что волновая функция бариона, содержашего кварки одинакового аромата, должна быть антисимметричной при перестановке этих кларков, Рассмотрим ситуацию на примере ьь+~ -резонанса, состояшего из трех и-кларков.
Его спин-четность г" = 3/2ь. Эксперименты показали, что его волновая функция симметрична по пространственным координатам кларков и не имеет узлов. Следовательно, орбитальный момент кварков Ь = 0 и полный момент в = 3/2 целиком обусловлен спинами кварков, направленными в одну сторону (111). Такое спиновое состояние симметрично.
Следовательно, пространственно-спаново-ароматовап волновая функция Ь++-резонанса Ф симметрична по этим трем переменным. Как показывает опыт, это утверждение справедливо для всех барионов, т. е. все барионы имеют волновые функции, полностью симметричные к одновременной перестановке пространственных координат, свинов и ароматов любых двух кварков. Таким образом, для того чтобы быть антисимметричной в целом, полная волновая функция Ф любого бариона должна содержать антисимметричную цветовую функцию ф„ы,. Нормированная антисимметричная цветовая волновая функция бариона имеет вид !63 в 3. Ь)ультиллеты сдрояов Таким образом, волновая функция Ь++-резонанса Ф антисимметрична в целом, как и лолжно быть лля систем, содержащих тождественные фермионы.
Легко проверить выполнение принципа Паули лля состояния (4. !!). Пусть зеленый и-кварк стал красным: и, — и„. Тогда в за++-резонансе имеем два красных и-кварка в одном и том же состоянии. При этом функция (4.11) обрашается в нуль. Пример. Построить ароматово-цаетовую волновую функцию протона.
Решение. эта функция получается из (4. !!) замеиов третьего и-каарка а каждом слагаемом на Ы-кварк: «г" з„',"„,, — — — (и„и.,г)„+ и„и,д«+ ц,и„д, — и,и,д, — и,и,̈́— и,и„д,). (4.12) зг'б Резюмируем содержание данного параграфа. Поскольку аароны бесцветны, то в них цветные кварки должны быть скомпанованы в бесцветные состояния. Так как сушествуют адроны двух типов — мезоны и барионы, то возникает два варианта «бесцветной компановки . В первом (мезоны) цвет кварка и компенсируется цветом антикварка гг, т.е. ароматово-цветовая структура дая всех мезонов выглядит следующим образом 1 а-а (Мезон)са!«ааа«а = к (з)! Дх ) !3 4- а=! (4.!3) Вторая бесцветная компановка (барионы) получается в результате полностью антисимметрнчной смеси цветов. Для всех барионов это реализуется ароматово-цветовой волновой функцией вида з !Барион)„зк«а,„„= — ~~! (еадт д, дада! ), ~/6 ад,т=! (4.14) гле каждый из цветовых индексов а,)),Т принимает значения !,2,3, а е,дт — полностью антисимметричный тензор: ецз = егз! = езы = 1, ез!з = еззг = езг! = — 1, Числа — - и -„— нормировочные множители.
Легко убедиться, что при! 73 ~6 веденные выше ароматово-цветовые волновые функции я -мезона (4.9), Ь++ -резонанса (4.11) и протона (4.12) непосредственно следуют из формул (4.13) и (4.14). ф 3. Мультиплеты йдронов Уже первые исследования адронов выявили группы частиц, имеющих близкие массы и похожие свойства по отношению к сильному взаимодействию.
Протон и нейтрон, объединяемые термином «нуклон», были !64 Глава 4. Адроны (4.!5) я=21+ !. Протон и нейтрон образуют изоспиновый дублет: р= пил (1 = !/2, 1» =+!/2), и = и~И (1 = !/2, 1з = -!/2). (4. ! б) в -мезоны образуют изоспиновый мультиплет с 1 = ! (триплет): я+: — гнХ (Х = !, Хз = -ь!), я~=ий или (Й (1 —.. !, Хз=б), (4.!7) я =цг! (1= ! 1з= — !) Группирование адронов в изоспиновые мультиплеты отражает симметрию сильных взаимодействий относительно преобразований (поворотов) в изоспиновом пространстве. С открытием кварков и признанием того, что адроны состоят либо из трех кварков (антикварков), либо из кварка и антикварка, возникает возможность ответить на вопрос о том, какие именно трехкварковые (барионы) и кварк-антикварковые (мезоны) комбинации возможны и сугцествуют ли какие-либо симметрии в системах барионов и мезонов относительно замены в них одних кварков на другие.
Оказалось, что такие симметрии сушествуют и наиболее полно проявляются при использовании теории групп, которая служит основой для описания симметрий. Зля того чтобы избежать дополнительных усложнений, будем рассматривать лишь наименее массивные алроны, состояшие из самых легких кварков и, г! и в (исторически кварковая модель появилась именно как модель этих трех кварков).
Возникает задача рассмотреть симметрии адронов, в состав которых могут входить только эти три «строительных блока». Подобного рода симметрии называют ЯХз-симметриями. Сочетание ЯХ происходит от начальных букв английского термина прес!а! !3пйагу Огоцр — специальная унитарная группа. Группа ЯХз образована преобразованиями, переводяшими друг в друга состояния, построенные из трех элементов. Преобразования, переводящие друг в друга комбинации, построенные из двух элементов (например, только из кварков и и г! или только из протонов и нейтронов), образуют группу ЯХз. Это уже обсуждавшаяся выше симметрия в пространстве изоспина, которой первым примером. Близость свойств протона и нейтрона, как мы теперь знаем, является следствием их кваркового состава — близости свойств пи д-кларков, из которых состоят протон и нейтрон. Кварки и и д имеют одинаковое квантовое число, являюшееся характеристикой сильного взаимодействия — изоспин 1.
Частицы, имеюшие одинаковые 1 и различаюшиеся проекцией изоспина Хз на ось 3 изоспинового (зарядового) пространства, образуют изоспиновые мультиплеты — группы частиц, одинаково проявляюшие себя в сильном взаимодействии. Число частиц и в изоспиновом мультиплете определяется числом проекций 1з, т.е. 165 З 3. Мультинлеты адронов соответствует изоспиновая инварнантность. Полезность подобного рода симметрий зависит от того, насколько при замене одних элементов, образующих состояние, другими сформированное новое состояние окажется физически идентичным прежнему.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
