А.Н. Матвеев - Оптика (1120557), страница 66
Текст из файла (страница 66)
е. фазовая скорость полностью определяется направлением вектора В. Тгавя возможных волн. Уравнение (40.1з! булет уловлетворено, если в его левой части имеются члены с различна!вы знаками. Поэтому пт не может быль ни больше, ни меньше всех оз. Для нахождения корней уравнения (40.1з! построим график функции и' Лр)= Е ск — с' (40.19) О в каким случаем векторы впектрнческою снещеммл м напрвыеннастн влектрнческого полв Копны в анмватропной среде совпадают! Почену вобщем случае в анмвотроанай среде нормане к поверкностн волнового франта не совпадает с направленное потока внергмн волне|! Когда онн совпадают! Этот график представлен на рис.
218. Вертикальные пунктирные линии проведены через точки по На рисунке видно, что имеются два действительных значения р1, удовлетворягощих уравнению (40.15). Это означает, что в заданном направлении могут раатростраляться воз!вы с двумя' раз- личными фазовыми скоросгямн ьг н о", заключеннымя между наименьшей и средней, средней . и наибольшей нэ скоростей сн Докажем, что векторы В' и Р" этих волн взаимно перпендикулярны. Для этого умножим соотношение (40.8) для В' и Е' скапярно на В" и вычтем гп него почленно это же соотношение для В", Е", умноженное скалярно на Р'.
В результате получаем (В' Е" — В".Е') — р ( "— "')В' В" =0. (40.20) Учтем, что В' ' Ен = Е ей Дг Ь7 = Е еуг Ег' Ц = В" Е' . !,) Заключенная в первые скобки разность в (40.л)) равна нулю, а разность о' — о" не равна ,г „г нулю и поэтому В' В" =О, (40.22) г. е, векторы В двух полл, распространяющихся в данном направлении, взаимно перпендикулнрны. Отсюда следует, что для каждо~о направлении в перпендикулярной ему плоскости сугцествуют два взаимно перпендикулярных направления, коллинеарно которым могут колебаться векторы В.
Фазовые скорости соотвегстнующнх волн различны. Других волн, которые распространялись бьгв том же направлении, но имели другое направление колебаний вектора Р, не сущеспует, ! 8 41 Ход лучей в ипнзотроппсй среде С псмстлвю лучевого зллипсоида анализируется ход лучей в аннзотропнсй срслс и дастся опрслслснис опноосных и лвуссных «ристаллсв Зависимость лучевой сиоростя от направлеииа. Все результаты о направлении движения фронта волны и фазовой скорости были получены при анализе уравнений (40.2), в которые входят волновой вектор й и частота оу, характеризующие фазовую скорость, н нормаль в к по- верхности фронта волны. Чтобы проанализировать вопрос о лучах спета и групповой скорости т„необходимо эти уравнения преобразовать так, чтобы в формулы вошли т и о,.
Для нахожде- ния групповой скорости о, заметкм, что фронт волны раснрсстраняется в направлении п, а энергия — в направление т Поэтому «фронт потока знергивн расположен перпендикулярно т. Отсюда заключаем (см. рис 217), что групповая н фаровая скорости света р анизотропной среде связаны между собой соотношением о, = о соя (в, т) = о(п т), (41.1) где (и,'с) — угол между в и т, Умножая уравнения (402 а, б) слева векторно на т, получаем (ж)г)Н = оттх В, (а) (т й)Е = — гпрстх Н.
(б) (41.2) Вычисляя выражение ддя Н из (41.2а) и подсшвляя его в (41.2б), находим (т й)Е = — ы рс(т(т'В) — В)/(т й). (41.3) Принимая во ннимание, что )г=н)г, о=го/)с, о, = о(и т), уравнение (41 3) перепишем ввиде т(с В) — В+ [1/()ьгогг))Е О. (41.4) Оно подобно уравнению (40.8), если в последнем произвести замены п -+ с, Е-чВ, Р- Е, рсел — 1/аоот). Поэтому все результаты, полученные на основании (40,8) для волн, могут быть переформулированы для лучей с учетом указанной замены величин. Пусть вектор Е направлен вдоль любой из главных осей тензора диэлектрической проницае- мости (например, оси Х). Поскольку в этом случае Р параллельно Е, получим для о„выраже- х, Хз т, ( г О) -э- Рг (1 — рл/ рт) = 0 . (41.5) Уравнение Френеля (40.15) принимает для лучевых скоростей вид 22Р Эллннсонл' лучевма саврас са (41.6) Если единичный вектор в направлении Е обозначить 1=Е/Е, то уравнение, соответствующее (40.18), для лучевой скорости будет иметь вид 1/рг ч Р/ 2 (41.7) Докажем, по скорость в направлении луча является действительно групповой.
В уравнение (40.15) подставим р= в//с, тогдй т. Л2/(ыз р282) — О (41.8) 2Ю К аналнэу кола лучей саста с но- новэвнэ эллннсонда лучеаега ско- ростей Рассматривая (41.8) как уравнение, которое в неявном воде определжт го ы(к), и вычисляя из него р„,=да/д)г„можно убедиться, что эти скорости удовлетворяют уравнению (41.6). Таким образом, входящие в (41.6) скорости действительно групповые. Две волны, распространяющиеся в данном направлении с двумя различными групповыми скоростями, имеют взаимно перпендикулярные направления поляризапви Е''Е" =О, (41.9) что доказывается аналогично выводу формулы (40.22). Эллипсоид лучевых скоростей. Произвспем в уравнении (39.14) замену переменньгх: х, -о,/ро х„ хы Эдлннсанд лу оса ага скоростей да- эосног крнствлла 1А С' н дн'— онтнчсскне асн) (41.10) в результате имеем х1/р1+хт/р1+х1/р) = 1, (41.11) где рг = 1/ ч/аэро, рг = 1/ эггеаро, из = 1/ з/я~а .
Уравнением (41.11) описынается эллипсоид .(рис. 219), идентичный эллипсоиду (см. рис: 215), описьааемому уравнением (39.14), но в других переменных. Эллипсоид, точки поверхности которого удовлетворяют уравнению (41.11), называется эллипсоидом лучевых скоростей (х; в (41.11) имеют размерносуь шорости).
Аваев хода лучей с помощью эллигжопда лучевых скоростей. Решение уравнений (41.5) и (41.6) может быль выполнено с помощью геометрического построенить базируклцегося на эллип- А' 222 Зллннсовд лучонка скнросгей олнооснога кристалла 1АА' — онтнчсскан осе). тйа ние совпадающие с (40.10). т. е. главные групповые скороспп — совпадают с главнььмн фазойьйки скоростями (см.
(40,12)). В Следовательно, их можно обозначить не р„о а р,. Вместо (40.13) получаем соиде лучевых скоростей (рис. 220), уравнение которого (4!Л 2) 223 Зллипсоил лучсвыв скаросты оп тически изетропиоа срелы 224 Сечевви лучевая повсртностн плоскестып Хз = О нрп зз < т < аз Хз 225 Сечении лучевая нонертиостн нлоскостып Хз = О вра п < аз < сз Х 22б Сечении лучевая повервпастн плоскостью Хз = В луиз < а» < сз где па '" "- главные лучевые скорости. Направление луча задается едиушчным вектором с. Через центр лучевого эллипсонла проведем плоскость, перпендикулярную т.
В сечении зллипсоида этой плоскостью образуется эллипс (рис. 220), главные полуоси которого аз, ит. Вектор Е световой волны, распространяющейся по лучу, может колебаться только параллельно главным осям этого,эллипса„ соответствующие групповые (лучевые) скорости равны длинам его главных полуосей аз и ат. Таким обриэом, в произвольном направлении х возможно распросхранение лишь двух линейно поляризованных волн с различными лучевыми (групповыми) скоростями. Если сечение зллипсоида вырсждается в окружность, то и| = пт и поэтому любой радиус окружности является главной погсуосью. В этом случае вектор Е может колебаться в 'зтюбом направлештгз ерпенднкулярном с. Опптческая ось.
В пацривгенпн, перпендикулярном плоскости круговопу сечения эллипсоида лучевых скоростеух всем лучам соответствует одна и та же лучевая скорость, а векторы Е волн могут колебаться в любом таправлении плоскости кругового сечения. Это означает, что для этих лучей анизотропия среды не проявляется и среда ведет себя как изотропная, На правлезие, перпендикулярное круговому сечению, называешься оптической осью анизотропной среды.
Двуосиые в однзюеаые кристаллы. В аналитической геометрии доказывается, что эллипсоид с тремя различными по значению главными осями имеет два круговых сечения (рис. 221). Это означает, по если у эллипсоида лучевых скоростей нсе главные скорости агп пьл аз различны, то соответствующая среда имеет две оптические осн: АА' и ВВ'. Обычно анизотропия наблюдается в кристаллах, поэтому говорят об оптических осях кристалла. Кристаллы с двумя оптическими осаьш называются двуосными.
Если у эллипсоцпа лучевых скоростей две главные скорости равны межпу собой, то он яшшется эллипсоидом вращения вокруг третьей оси. В этом случае имеется голыш одна оптическая осгч совпадающая с осью вращения (т.е. с третьей главной осью эллипсоида). Такие кристаллы называются ос и (рис. 222). Если у зллипсоидв лучевых скоростей все главные скорости Равны, то он превращаетса в сфеРУ. В этом слу )ае все направления эквивалентны и соответствующий кристалл оптически нзотпопен (Рис. 223).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
