А.В. Быков, И.В. Митин, А.М. Салецкий - Оптика. Методика решения задач (1120536), страница 7
Текст из файла (страница 7)
2.6). В направлении (θ, ϕ ) в телесный уголdΩ = sinθ ⋅ d θ ⋅ d ϕ за это время«уносится» импульсdP ( θ, ϕ ) =ΔW d Ωeθ .c Δt 2 πРис. 2.6. Рассеяние падающего на пластинку света в направлении (θ, ϕ)Суммируя проекции dP нанаправление нормали n , получим:2π π 2ΔP =∫ ∫00π2dP ⋅ cos θ =∫01 ΔWΔW.sin θ ⋅ cos θ ⋅ d θ =c2 c( ϕ ) ( θ)Следовательно, при рассеянии света сила «отдачи» равнаfr =ΔP 1 ΔW=Δt 2 cΔtи направлена вдоль нормали n к пластинке.Теперь для получения ответа на вопрос, сформулированный взадаче, рассмотрим элемент поверхности шара, ориентированныйпод углом θ к вектору I0 (см. рис. 2.7).
Площадь этого элемента равнаd σ = R 2sinθ ⋅ dθ ⋅ d ϕ .Так как элементом dσ за время Δt рассеивается энергияΔW = I 0 ⋅ dσ ⋅ cosθ ⋅ Δt , то на него действует сила:df = df0 + dfr ,причемdf0 =I0dσ cosθ ⋅ eI ,c52ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ1 I0dσ cosθ ⋅ en .2 cОчевидно, что результирующая всех df0 равнаIF0 = 0 πR 2eI .cdf r =Рис. 2.7. Рассеяние энергии элементом поверхности шара, ориентированномпод углом θ к вектору I 0Силу Fr найдем, суммируя проекции сил dfr на направлениеI 0 по всем элементам освещенной поверхности:2π π 2Fr =∫ ∫2π π 2df r ⋅ cosθ = ∫ ∫0 00 0I0 2I1R sin θ ⋅ cos 2 θ ⋅ d θ ⋅ d ϕ = πR 2 0 .2c3cТаким образом,F = F0 + Fr =Ответ: F =4 2 I0.πRc34 2 I0πR.3c2.3. Задачи для самостоятельного решенияЗадача 2.3.1.
Электрический пробой в воздухе наступает, еслинапряженность электрического поля достигает 3 МВ/м. При какойминимальной плотности потока энергии плоской электромагнитной волны можно наблюдать появление искры в воздухе?Ответ: 1,2 ⋅ 1010 Вт/м2.Гл. 2. Уравнения Максвелла.
Электромагнитные волны.53Задача 2.3.2. Найти амплитуды напряженностей электрического и магнитного полей в плоской линейно-поляризованной волне,если плотность потока энергии равна 1 Вт/м2.Ответ: 27,45 В/м; 0,073 А/м.Задача 2.3.3. Найти давление р изотропного излучения с плотностью энергии w на идеальное зеркало.Ответ: p = w 3 .Задача 2.3.4. В вакууме распространяется плоская электромагнитная волна с частотой ν = 100 МГц и амплитудой электрическойсоставляющей E0 = 50 мВ/м. Найти средние по времени значениямодуля плотности тока смещенияjсми плотности потока энер-гии S .Ответ: jсм = 4ε0νЕ0 = 0,18 мА/м2; S = 3,3 мкВт/м2.Задача 2.3.5.
Найти проекцию вектора Пойнтинга на ось х и еесреднее (за период световых колебаний) значение для плоскойэлектромагнитной волны Е = Е0 cos kx cos ωt в вакууме.Задача 2.3.6. Лазерный импульс длительностью τ = 0,13 мс сэнергией W =10 Дж падает нормально на плоскую поверхность скоэффициентом отражения ρ = 0,5. Найти среднее значениедавления р лазерного импульса на поверхность, если диаметрсветового пятна равен d = 10 мкм.4 (1 + ρ )WОтвет: p =≈ 5,0 МПа.πd 2 cτЗадача 2.3.7. Короткий световой импульс с энергией W = 7,5 Джпадает под углом θ = 30° на пластинку с коэффициентомотражения ρ = 0,6. Найти импульс Р, переданный пластинке.W1 + ρ 2 + 2ρ cos 2θ = 35 нН⋅с.Ответ: Р =сЗадача 2.3.8. На оси круглой, зеркально отражающей пластинки находится точечный изотропный источник света с мощностью54ОПТИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧизлучения Р. Расстояние между источником и пластинкой в η разбольше ее радиуса. Найти силу f светового давления на пластинку.PОтвет: f =.2c (1 + η2 )Литература1. Ландсберг Г.С. Оптика. − М.: Физматлит, 2003, гл. II.2. Матвеев А.Н. Оптика. − М.: Высш. шк., 1985, §§1.1, 1.3–1.4,3.5.3. Бутиков Е.И. Оптика. − М.: Высш. шк., 1986, раздел I.4. Гинзбург В.Л., Левин Л.М., Сивухин Д.В., Четверикова Е.С.,Яковлев И.А.
Сборник задач по общему курсу физики. Кн. IV. Оптика/ Под ред. Д.В.Сивухина. − М.: Физматлит; ЛАНЬ, 2006, §10.5. Иродов И.Е. Задачи по общей физике.− М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006, §4.4.6. Ильичева Е.Н., Кудеяров Ю.А., Матвеев А.Н. Методика решения задач оптики/ Под ред. А.Н.Матвеева − М.: Изд-во Моск. унта, 1981, раздел I.Гл. 3. Двухлучевая интерференция. Интерференционные схемы.55Глава 3ДВУХЛУЧЕВАЯ ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ.ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫЕ СХЕМЫ3.1.
Теоретическое введениеИнтерференцией света называется явление возникновения устойчивого, пространственно неоднородного распределения интенсивности волнового электромагнитного поля в области перекрывания световых пучков.Рассмотрим вначале простейший случай − интерференциюизлучения от двух точечных источников. Пусть две когерентные,линейно поляризованные в одном направлении, электромагнитныеволны, интенсивности которых равны I1 и I 2 , возбуждают в некоторой точке пространства световые колебания, фазы которых отличаются на ϕ.
Тогда интенсивность света в данной точке равнаI = I1 + I 2 + 2 I1 ⋅ I 2 cosϕ ,(3.1)илиI = 2 I 0 (1 + cosϕ ) ,(3.2)если I1 = I 2 = I 0 .Для двух лучей от одного точечного источника, приходящих вточку наблюдения с разностью хода Δr = r1 − r2, сдвиг по фазеравен:Δrϕ = 2π,λгде λ – длина волны. При распространении света в среде с показателем преломления n длина волны равна λ′ = λ n иn ⋅ ΔrΔrΔ(3.3)ϕ = 2π= 2π= 2π = k Δ ,λ′λλгде k = 2π λ – волновое число, Δ = n⋅Δr - оптическая разностьхода.С учетом (3.3) формулу (3.2) можно записать в виде:I = 2 I 0 (1 + cosk Δ ) .(3.4)В опытах по двухлучевой интерференции свет от источника Sделится на два пучка, которые разными путями достигают некото-56ОПТИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧрой области пространства (область интерференции). По способуразделения исходного пучка различают: 1) метод деления волновогофронта (задачи 3.2.1−3.2.6) и 2) метод деления амплитуды волны(задачи 3.2.7−3.2.12). В первом случае интерферируют лучи, которые идут от источника к точке наблюдения разными путями (схемыЮнга, Френеля, Бийе, Ллойда). Во втором – сначала луч от источника делится по амплитуде (в результате, например, отражений илипреломлений) на два луча, которые затем приходят в точку наблюдения разными путями (схемы Поля, Майкельсона и др.).3.1.1.
Интерференционная cхема Юнга(метод деления волнового фронта)В качестве примера интерференционной схемы, в которой реализуется метод деления волнового фронта, рассмотрим схему Юнга(рис. 3.1). Если в схеме используется точечный источник света, тоРис.3.1. Интерференционная схема Юнга (метод деления фронта волны) для точечного источника светадля лучей 1 и 2 оптическая разность хода Δξ = SS1 − SS2 (от источника S до щелей S1 и S2 на экране В соответственно) равна (приусловии ξ S << L )Δ ξ ≈ d ⋅ θξ ≈ d ⋅ξS≈ Ωξ S ,L(3.5)Гл.
3. Двухлучевая интерференция. Интерференционные схемы.57где d = S1S2 – расстояние между щелями (база интерференции);Ω = d L – угловая апертура интерференции; θξ = ξS L – угол,под которым источник S виден из центра экрана со щелями.Аналогично, оптическая разность хода Δх = S2P − S1P от щелейS1 и S2 до точки наблюдения P( x ) (при условии, что xP << l ) равнаx(3.6)Δ x ≈ d ⋅ θ x ≈ d ⋅ P ≈ α ⋅ xP ,lгде θ x = xP /l – угол, под которым видна точка наблюдения Р изцентра экрана В со щелями; α ≈ d l – угол схождения интерферирующих лучей 1 и 2 в точке Р.В итоге оптическая разность хода Δ лучей 1 и 2 от источника Sдо точки наблюдения Р равнаx ⎞⎛ξΔ = Δ ξ + Δ x = d θξ + θ x = d ⎜ S + P ⎟ = Ωξ S + αxP .
(3.7)l ⎠⎝ Lа) Точечный источник S –монохроматический (длина волны λ).В соответствии с (3.4) распределение интенсивности света I вдольоси х (рис. 3.2 а) описывается формулой:()I ( x ) = 2 I 0 [1 + cosk Δ ] ,где I 0 – интенсивность света в точке Р, когда одна из щелей закрыта. Если для точки наблюдения Δ = mλ ( m = 0 , ± 1 , ± 2 , …−порядок интерференции), то I = I max = 4 I 0 .
Если оптическая разность хода Δ равна нечетному числу λ/2, т.е. лучи приходят в точкуР со сдвигом по фазе ϕ = ±π , то I = I min = 0 . Центр интерференционной картины ( m = 0 ) находится в точке с координатойx0 = −ξ SlΩ= −ξ S .Lα(3.8)Период интерференционной картины определяется как расстояние(или угол) между соседними максимумами (или минимумами):λ ⋅l λΛ = xm +1 − xm ≈≈ ,(3.9)dα58ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧРис.
3.2. Распределение интенсивности в интерференционной картине для точечных источников света: монохроматического (а), квазимонохроматического с непрерывным спектром (б) и со спектром из двух близких спектральных линий (в)λ.(3.10)dб) Если точечный источник S квазимонохроматический и излучает равномерно в диапазоне δλ вблизи некоторой длины волныλ (условие квазимонохроматичности δλ << λ ), то распределениеΔθ x = θm +1 − θm ≈Гл. 3. Двухлучевая интерференция. Интерференционные схемы.59интенсивности I вдоль оси х имеет вид, показанный на рис. 3.2 б, иописывается формулойI ( x ) = 2 I 0 ⎡⎣1 + γ ( Δ ) ⋅ cosk Δ ⎤⎦ ,(3.11)где⎛Δ ⎞⎛ δk ⋅ Δ ⎞γ ( Δ ) = sinc ⎜⎟,⎟ = sinc ⎜ π 2⎝ 2 ⎠⎝ λ δλ ⎠(3.12)иsin x.xКак видно из рис.
3.2 б, по мере увеличения Δ разность междумаксимальным Imax и минимальным Imin значениями интенсивностивблизи точки наблюдения уменьшается. Видность V, характеризующая контрастность интерференционной картины в точке наблюдения, определяется какsinc x ≡V (x ) =I max − I minI max + I min(3.13)и связана с γ ( Δ ) соотношениемV ( x) = γ (Δ) .(3.14)Для рассматриваемого квазимонохроматического источникавидность V ( x ) первый раз обращается в нуль, когдаλ2= lког ,δλгде lког – так называемая длина когерентности излучения. Разности хода Δ = lког соответствует порядок интерференцииlλ.(3.15)mmax = ког =λδλЕсли спектр излучения источника – две узкие спектральныелинии λ1 и λ 2 , причем δλ = λ1 − λ 2 << λ1 , λ 2 , то в формуле (3.11)Δ =γ ( Δ ) = cosδk ⋅ Δ.2(3.16)В этом случае видность интерференционной картины V ( Δ ) периодически изменяется от 1 до 0, первый раз обращаясь в нуль, когдаλ2Δ =,(3.17)2δλ60ОПТИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧчто соответствует порядку интерференцииλm1 =.2δλПроанализируем теперь интерференционную картину в схемеЮнга с протяженным источником света S. Если линейный размеристочника вдоль оси ξ равен D = ξ1 − ξ 2 , а сам источник − совокупность точечных монохроматических, но не когерентных источников (рис.
3.3), тоI ( x ) = 2 I 0 ⎡⎣1 + γ ( Δ D ) cosk Δ⎤⎦ ,(3.18)Рис.3.3. Интерференционная схема Юнга с протяженным источником светагде Δ – оптическая разность хода лучей 1 и 2, выходящих из центральной точки Оξ источника,kΔγ ( Δ D ) = sinc D ,(3.19)2а Δ D = Δ ξ1 − Δ ξ 2 и можно считать, чтоDd(3.20)≈ Ω⋅D ≈ d ⋅Ψ ,Lгде Ψ = D L – угол, под которым виден источник S из центра экрана В со щелями; Δξ задается формулой (3.5). В этом случае видность V интерференционной картины не зависит от х и первый разобращается в нуль, когдаΔD = λ.(3.21)ΔD ≈Гл.
3. Двухлучевая интерференция. Интерференционные схемы.613.1.2. Интерференционная схема Поля(метод деления амплитуды волны)Рассмотрим схему опыта Поля, в котором реализован методделения амплитуды (рис. 3.4). Точечный монохроматический источник S находится над тонкой прозрачной плоскопараллельнойпластинкой. Для любой точки наблюдения Р есть два луча, которыеприходят в нее, отразившись соответственно от верхней и от нижней поверхности пластинки.Рис.3.4. Интерференционная схема Поля(метод деления амплитуды световой волны)Следовательно, область интерференции – все полупространствонад пластинкой, то есть интерференционная картина не локализована. На удаленном экране, параллельном пластинке, можно наблюдать интерференционную картину в виде концентрических колец.Если толщина пластинки h << a + b , то угол α схождения интерферирующих лучей достаточно мал, так же как и угол Ω междуэтими лучами на выходе из источника. Поэтому поперечные размеры источника могут быть в принципе достаточно большими( D ≤ λ Ω) .62ОПТИКА.