А.В. Быков, И.В. Митин, А.М. Салецкий - Оптика. Методика решения задач (1120536), страница 5
Текст из файла (страница 5)
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧЗадача 1.3.10. Зрительную трубу кеплеровского типа сувеличением Г = 15 погрузили в воду, которая заполнила и еевнутреннюю часть. Чтобы система при тех же размерах стала опятьтелескопической, потребовалось заменить объектив на другой.Найти новое увеличение Г′ трубы в воде.( Г + 1) ( n − n0 )Ответ: Г′ =− 1 = 3,1 .n0 ( n − 1)Задача 1.3.11. В микроскопе объектив с фокусным расстоянием f1=1 см и окуляр с фокусным расстоянием f2=3 см находятся нарасстоянии d = 20 см друг от друга. На каком расстоянии l1 от объектива должен находиться объект, чтобы даваемое микроскопомизображение находилось на расстоянии l2 = 25 см от глаза? Каковопри этом поперечное увеличение Γ микроскопа?Ответ: l1 = f1 +Γ=( f 2 + l2 ) f12( d − f1 )( f 2 + l2 ) − f 2l2= 0,06 см;f1d= 150.d ( l1 − f1 ) − l1 f1Задача 1.3.12. Найти положение главных плоскостей, фокусови узловых точек двояковыпуклой тонкой симметричной стеклянной линзы с радиусом кривизны поверхностей R = 7,5 см, если содной стороны от линзы – воздух, а с другой – вода.Задача 1.3.13.
Найти с помощью построений положения заднего фокуса F′ и задней главной точки H′ оптической системы в воздухе, если известны положенияглавной оптической оси ОО' и сопряженных точек S и S′(рис. 1.27).Рис.1.27. Положение сопряженныхточек S и S′ относительно главнойоптической оси ОО'Задача 1.3.14. Найти с помощью построений положение изображения S' точки S, если для оптической системы задано относительное расположение точек: F',Н', S, Н, F.Гл.
1. Геометрическая оптика и простые оптические системы33Задача 1.3.15. Система состоит из тонкой симметричной собирающей стеклянной линзы (радиус кривизны поверхностей R = 38см) и плоского зеркала, расположенного перпендикулярно оптической оси линзы. Расстояние между линзой и зеркалом l = 12 см.Найти оптическую силу Ф этой системы, если пространство междулинзой и зеркалом заполнено водой.Ответ: Ф = 3,0 дптр.Задача 1.3.16.
При какой толщине d толстая выпукло-вогнутаястеклянная линза в воздухе будет иметь оптическую силу −1 дптр,если радиусы кривизны ее выпуклой и вогнутой поверхностей равны соответственно 10 и 7,5 см?Ответ: d = 3 см.Задача 1.3.17. Найти положение главных плоскостей, фокусные расстояния и знак оптической силы выпукло-вогнутой толстойстеклянной линзы в воздухе, толщина которой равна d, а радиусыкривизны поверхностей одинаковы и равны R.Литература1. Ландсберг Г.С. Оптика.
− М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003, гл. XII.2. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Оптика. − М.: Наука,1980, гл. II.3. Матвеев А.Н. Оптика. − М.: Высш. шк., 1985, §§21-23.4. Бутиков Е.И. Оптика. − М.: Высш. шк., 1986, разд. 7.5. Гинзбург В.Л., Левин Л.М., Сивухин Д.В., Четверикова Е.С.,Яковлев И.А. Сборник задач по общему курсу физики. В 5 т.Кн. IV. Оптика/ Под ред. Д.В.Сивухина. − М.: ФИЗМАТЛИТ;ЛАНЬ, 2006, §1.6. Иродов И.Е. Задачи по общей физике. − М., СанктПетербург, Краснодар, ЛАНЬ, 2005, §4.1.7. Ильичева Е.Н., Кудеяров Ю.А., Матвеев А.Н. Методика решения задач оптики/ Под.
ред. А.Н.Матвеева. − М.: Изд-во Моск.Ун-та, 1981, раздел II.34ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧГлава 2УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕВОЛНЫ. ИНТЕНСИВНОСТЬ И ДАВЛЕНИЕ СВЕТА2.1. Теоретическое введениеОсновные свойства света как распространяющихся в пространстве электромагнитных волн вытекают из фундаментальныхзаконов для электромагнитного поля (уравнения Максвелла) и соотношений, описывающих отклик среды на воздействие электромагнитного излучения (материальные уравнения).В системе СИ уравнения Максвелла (в дифференциальнойформе) имеют вид:∂Brot E = −,(2.1)∂t∂Drot H = j +,(2.2)∂tdiv D = ρ ,(2.3)(2.4)div B = 0 ,где Е и D, Н и В − напряженность и индукция соответственно электрического и магнитного полей, ρ и j − плотности электрическогозаряда и тока проводимости.В соответствии с (2.1) и (2.2) переменное магнитное поле Впорождает вихревое электрическое поле Е, а источником поля Н,наряду с токами проводимости j, может быть и изменяющееся вовремени поле D.В интегральной форме взаимосвязь характеристик электромагнитного поля (в том числе и в среде) отражают следующие законы:закон электромагнитной индукции Фарадея:dv∫ Edl = − dt ∫ BdsLΣ− циркуляция вектора Е по замкнутому контуру L равна с противоположным знаком скорости изменения потока вектора В через поверхность Σ, опирающуюся на этот контур;теорема о циркуляции вектора Н:v∫ Hdl = ∫ ( j + jсм ) dsLΣГл.
2. Уравнения Максвелла. Электромагнитные волны.35− циркуляция вектора Н на замкнутом контуре L равна сумме токовпроводимости и смещения через поверхность Σ, опирающуюся на∂Dэтот контур ( jсм =− плотность тока смещения);∂tтеорема Гаусса для вектора D:v∫ Dds = ∫ ρdVΣV− поток вектора D через замкнутую поверхность Σ равен заряду вобъеме V, ограниченном поверхностью Σ;аналог теоремы Гаусса для вектора В:v∫ В d s = 0Σ− отражает факт отсутствия в природе магнитных зарядов (линиимагнитной индукции B всегда замкнутые).Материальные уравнения обычно записывают в виде:D = ε 0E + P ,В = μ0 ( H + J ) .(2.5)(2.6)В этих уравнения отражена связь между характеристиками электромагнитного поля в среде и откликом среды (поляризация Р инамагниченность J) на воздействие со стороны поля.Если магнитные свойства среды проявляются намного слабее,чем электрические, то в первом приближении можно считать, чтоJ = 0, и тогдаВ = μ0Н .(2.7)Как известно, на движущийся со скоростью v точечный заряд qсо стороны электромагнитного поля действует сила Лоренца:f = q(E + [v, B]) .Пусть среда − электрически нейтральная (ρ = 0, div D = 0 ).Под действием электрического поля в такой среде могут индуцироваться поляризационные (связанные) заряды с объемной плотностью ρсв.
Плотность ρсв и электрический дипольный момент этихзарядов в расчете на единицу объема (вектор поляризации Р) связаны соотношением:ρсв = −div P .36ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИзменение плотности ρсв во времени определяет плотность токасвязанных зарядов jсв :∂Pjсв =.∂tСвязь между jсв и ρсв описывается уравнением непрерывности:∂ρdiv jсв + св = 0 .∂tПо характеру зависимости Р(Е) различают среды линейные инелинейные, изотропные и анизотропные, диспергирующие и бездисперсии, однородные и неоднородные и т.д.Среда называется линейной, если ее отклик Р(Е) ∼ Е, илиР = ε0 χ Е,(2.8)где χ – линейная диэлектрическая восприимчивость среды, не зависящая от Е. В этом случае уравнения Максвелла линейны по Е иН, и их решения удовлетворяют принципу суперпозиции. Особыйинтерес представляет случай, когда Е(r,t) и H(r,t) зависят от времени по гармоническому закону.В сильных световых полях (например, лазерного излучения)восприимчивость среды χ может зависеть от Е (такие среды называют нелинейными).В простейшем случае, когда линейная среда − изотропная иоднородная, ее восприимчивость χ − скалярная величина, не зависящая от r.
Для изотропных сред (2.5) может быть записано в видеD = ε0ε E ,(2.9)( ε = 1 + χ − диэлектрическая проницаемость среды), то есть Р || Е ||D.Если отклик среды Р(r,t) зависит только от Е(r,t) в той же точке r ив тот же момент времени t (отклик локальный и мгновенный), тосреда − недиспергирующая.1. Волновые уравнения для Е и НПродифференцируем обе части уравнения (2.2) по времени t:⎛ ∂H ⎞ ∂j ∂ 2 D.rot ⎜⎟= +⎝ ∂t ⎠ ∂t ∂t 2Гл.
2. Уравнения Максвелла. Электромагнитные волны.37Согласно (2.1),∂H1= − rot E ,∂tμ0поэтому⎡ ∂j ∂ 2 D ⎤− rot rot E = μ 0 ⎢ + 2 ⎥ .⎣ ∂t ∂t ⎦Пусть ε не зависит от r, и ρ = 0. Учитывая, чтоrot rot E ≡ grad div E − ΔE (Δ – оператор Лапласа), а div E = 0 , получаем уравнение:1 ∂2D1 ∂jΔE −=,(2.10)22ε 0 c ∂tε 0 c 2 ∂t1где учтено также, что μ 0 =. Если ε не зависит от времени t, тоε 0с 2среда называется стационарной, и в этом случаеε ∂ 2Е1 ∂jΔE − 2 2 =.(2.11)c ∂tε 0 c 2 ∂tАналогично, дифференцируя по t уравнение (2.1), получимуравнение:ε ∂2HΔH − 2 2 = − rot j ,(2.12)c ∂tгде учтено, что для немагнитной среды div H = 0 .Уравнения (2.11) и (2.12) называются волновыми уравнениямидля векторов Е и Н в линейной, однородной, изотропной, стационарной, электрически нейтральной, немагнитной среде.2.
Электромагнитные волны в диэлектрическойнепроводящей средеЕсли среда − непроводящая (j = 0), то волновые уравнения(2.11) и (2.12) принимают вид:ε ∂ 2EΔE − 2 2 = 0 ,(2.13)c ∂tε ∂2HΔH − 2 2 = 0 .(2.14)c ∂tРешениями этих уравнений могут быть, в частности, плоскиемонохроматические волны D(r,t), E(r,t) и H(r,t) типа38ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧA(r,t) = A0(r)cos(ωt − kr + ϕ)(2.15)с не зависящей от времени амплитудой А0, круговой частотой ω и2πеk (λ − длина волны, еk – единичныйволновым вектором k =λвектор). Если амплитуда А0 = соnst, то есть не зависит от r, то волна (2.15) называется однородной.
Волновой вектор k перпендикулярен фронту волны (поверхности одинаковой фазы) и, как и λ,характеризует пространственную периодичность поля волны. Плоский фронт волны перемещается в направлении вектора k с фазовой скоростьюωv = еk.(2.16)kЗамечание. Уравнения (2.13) и (2.14) допускают также и решения в виде, например, сферических гармонических волн:A(r,t) = A0(r)cos(ωt − kr + ϕ),где A0(r) = A0(1)/r.Плоские гармонические волны D(r,t), E(r,t) и H(r,t) типа (2.15)являются решениями уравнений (2.13) и (2.14) лишь при условии,2πчто k =и ω удовлетворяют дисперсионному уравнению:λω2k2 = 2 ε ,(2.17)cилиωk = n,(2.18)cгде n = ε – показатель преломления среды.
С учетом (2.18) фазовая скорость волны зависит от n:с(2.19).v = еk.nЭтим, в частности, можно объяснить отражение и преломлениеволн на границе двух сред с разными показателями преломления(см. гл. 7).Чтобы найти связь между D, Е и Н в плоской гармоническойэлектромагнитной волне с частотой ω , подставим решения волновых уравнений D(r,t), E(r,t) и H(r,t) в виде (2.15) в уравнения Максвелла (2.1)−(2.4). При j = 0 получим:Гл. 2. Уравнения Максвелла. Электромагнитные волны.[k, E] =ωε0c 239H,[k, H ] = −ωε 0E ,(k, E) = 0 ,( k, H ) = 0 .Согласно этим формулам, векторыЕ, Н и k (а также D, Н и k) в рассматРис.
2.1. Направления векториваемой среде взаимно ортогональныров E, H и k в бегущей(образуют так называемую "правуюэлектромагнитной волне (в ватройку", см. рис. 2.1), а фазы D(r,t),кууме)E(r,t) и H(r,t) совпадают.Амплитуды волн Е0 и Н0 в линейной изотропной среде связанысоотношением:ε 0 ε Е0 = μ 0 Н 0 .(2.24)Плотность потока энергии в поле электромагнитной волны характеризует вектор ПойнтингаS = [ E , H] .(2.25)Для рассматриваемой средыS = ε 0 εE 2 v ,(2.26)поэтому интенсивность равнаε 0 εE02υ.(2.27)2Плотность потока импульса G, переносимого электромагнитной волной, и вектор Пойнтинга связаны соотношением:S.(2.28)G=I= S=TυЕсли среда − вакуум (ε = 1), то для плоской гармоническойволны с амплитудой Е0:ε0 Е0 = μ0 Н 0 ,(2.29)илиcε0 E0 = H 0 ,(2.30)а интенсивность волны равна40ОПТИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧε0 E02c.(2.31)T2В среде с дисперсией ε = ε ( ω) фазовая скорость гармоничеI= S=c(см. гл. 8). Это позволяетn ( ω)на практике осуществлять пространственное разделение световыхволн по частоте (например, с помощью призмы). Однако в такойсреде по мере распространения волны ее амплитуда должнауменьшаться. Если дисперсия среды не очень большая, то затухание волны − слабое, и среда относительно прозрачная.Если диэлектрическая среда линейна, но анизотропна, то Р =ε0 χ Е, где χ − тензор оптической восприимчивости.
В такой среденаправление Р зависит от направления Е (см. гл. 9).3. Электромагнитные волны в проводящей среде (ε = 1)В этом случае уравнения Максвелла имеют вид:∂Hrot E = −μ 0,∂t∂E,rot H = j + ε 0∂tdiv E = 0 ,div H = 0 .Полагая, что применим локальный закон Ома:j = σE ,(2.32)где σ – удельная электрическая проводимость среды, получим волновые уравнения:1 ∂ 2Eσ ∂EΔE − 2 2 =,c ∂tε 0 c 2 ∂tской волны зависит от частоты: υ =ΔH −1 ∂2Hσ ∂H.=22c ∂tε 0 c 2 ∂tУравнения такого типа называют телеграфными уравнениями.Если интересоваться решениями в виде гармонических волн, тоуместно ввести в рассмотрение комплексную диэлектрическуюпроницаемость:ε ( ω) = ε′ − iε′′(2.33)41Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
