А.В. Быков, И.В. Митин, А.М. Салецкий - Оптика. Методика решения задач (1120536), страница 3
Текст из файла (страница 3)
1.12 а). Полагая в формуле(1.3) xS = b и xS = − a , получим:21n 1+ = Φ1 ,(1.22)b aгде Φ1 = (n − 1) R1 > 0 − оптическая сила первой преломляющейповерхности ( R1 = R > 0 ).Гл. 1. Геометрическая оптика и простые оптические системы17Рис. 1.12. а – принятые обозначения;б – положение кардинальных точекоптической системыабПодставляя в (1.22) значения a, R и n , получаем:b=a⋅n⋅R= 30 см.a ⋅ (n − 1) − RДля второй преломляющей поверхности с вершиной в точкеО2:1 n− = Φ2 ,b' a'илиb′ =a′,Ф 2 a′ + n(1.23)где b′ = O 2S* , a′ = O 2S′ = O1S′ − d = b − d = 25 см (S' – мнимый поотношению ко второй преломляющей поверхности источник),1− nΦ2 => 0 – оптическая сила второй преломляющей поверхноR2сти ( R2 = − R < 0 ).В соответствии с (1.23) изображение S* точечного источника Sнаходится на расстоянии b′ = 6, 25 см от задней поверхности линзы.2-й способ.
Найдем положения кардинальных точек оптической системы (рис. 1.12 б).18ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧПоскольку оптические силы преломляющих плоскостей равныΦ1 = Φ 2 = (n − 1) R = 10 дптр, то согласно (1.13) оптическая сила Фтолстой линзы толщиной d = 5 см из стекла ( n = 1,5 ) равнаd⋅ Φ1 ⋅ Φ 2 = 50 3 дптр.nСогласно (1.14) расстояния от главных плоскостей Н1 и Н2 соответственно до вершин О1 и О2 равны (рис.
1.12 б):Φ = Φ1 + Φ 2 −xO1 = H1О1 = −d Ф2⋅= − 2 см,n Ф′ = Н 2О 2 =xО2d Ф1⋅= 2 см.n ФиВ соответствии с (1.6) передний (F1) и задний (F2) фокусы отстоятот соответствующих главных плоскостей (Н1 и Н2) на расстоянииnf1 = − 0 = − 6 смФиnf 2 = 0 = 6 см,Фто есть O1F1 = − 4 см, O 2 F2 = 4 см.Зная положения кардинальных точек оптической системы,можно найти положение b′ = S∗O2 изображения S∗:11−= Ф , гдеа) в соответствии с формулой (1.12): ∗SHS Н21SН1 = − a + Н1О1 = − 26 см, S∗Н2 = О2Н2 + b′, и b′ = 6,25 см;б) по аналогии с (1.8), для центрированной оптическойffсистемы: ∗ 2 + 1 = 1 , и b′ = SH 2 − O 2 H 2 = 6,25 см;SHS H21в) по аналогии с формулой (1.9): SF1⋅ S∗F2 = f1 ⋅ f 2 , но тогдаb′ = F2 O 2 + S∗ F2 = 4 + 2,25 = 6,25 см.Ответ: 6,25 см.Задача 1.2.6.
С помощью построений найти положение тонкойстеклянной линзы в однородной среде и ее фокусов, если известны19Гл. 1. Геометрическая оптика и простые оптические системыположения сопряженных точек S и S* относительно оптическойоси ОО' (см.
рис. 1.13 а).РешениеПроведем через точки S и S∗ прямую 1 до пересечения с осьюОО' в точке О1 (рис. 1.13 б). Так как для тонкой линзы воднородной среде узловые (N1 и N2) и главные (Н1 и Н2) точкисовпадают с центром линзы, то точка О1 и является таковым.абРис. 1.13. Положение сопряженных точек S и S* относительно оси ОО' (а);ход лучей при преломлении в тонкой стеклянной линзе (б)Поскольку источник S и его изображение S∗ находятся по однусторону от линзы и, кроме того, расстояние от источника до линзыбольше, чем от изображения до линзы, поэтому линза −рассеивающая.
Лучу 2, параллельному оси ОО', соответствуетпреломленный луч 2', продолжение которого проходит через точкуS* и пересекает ось ОО' в заднем фокусе F' линзы. Для определенияположения переднего фокуса F проведем через точку S∗параллельный оси ОО' луч 3', а через источник света S − луч 3,продолжение которого пересекает ось ОО' в точке F.
Так как по обестороны от линзы среда одна и та же, то F′O1 = F O1 .Задача 1.2.7. С помощью построений найти ход луча 2 послепреломления в собирающей тонкой линзе, находящейся воднородной среде, если известно положение линзы (и ееоптической оси ОО') и задан ход луча 1 (рис. 1.14 а).РешениеПроведем через оптический центр О1 линзы вспомогательныйлуч 3, параллельный лучу 1. Луч 3 проходит через линзу, непреломляясь, и пересекается с лучом 1' в задней фокальнойплоскости F′ (рис.
1.14 б). Для нахождения луча 2' построим20ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧвспомогательный луч 4, параллельный лучу 2 и проходящий черезоптический центр линзы О1. Луч 4 пересечет фокальную плоскостьF ′ в точке, через которую должен проходить и луч 2'.абРис. 1.14. Положение тонкой собирающей линзы и ход луча 1 (а); построение хода луча 2 за линзой (б)Задача 1.2.8. Две тонкие симметричные линзы с одинаковымирадиусами кривизны преломляющих поверхностей R = 5 см (одна –собирающая, из кронгласа SK1 с показателем преломленияn1 = 1, 61 , а другая − рассеивающая, из кварцевого стекла сn2 = 1, 46 ) прижали вплотную друг к другу и погрузили в воду сn0 = 1,33 . Найти фокусное расстояние f этой оптической системы.РешениеВ соответствии с формулой (1.19) оптическая сила каждой изтонких линз в воде:2 ⋅ (n1 − n0 ), Φ 2 = − 2 ⋅ (n2 − n0 ) .Φ1 =RRСогласно (1.20):dΦ = Φ1 + Φ 2 − ⋅ Φ1 ⋅ Φ 2 .n0Полагая d = 0 , для оптической силы системы получаем:Φ=2(n1 − n2 ).RВ соответствии с (1.6):f =n0n0 ⋅ R== 22,2 см .Φ 2( n1 − n2 )Ответ: f = 22,2 см.Задача 1.2.9.
Труба Галилея представляет собой телескопическую систему и состоит из собирающей (объектив) и рассеивающейГл. 1. Геометрическая оптика и простые оптические системы21(окуляр) линз. При установке на бесконечность труба имеет длинуl = 70 см и дает 15-кратное угловое увеличение. Определить: а) фокусные расстояния объектива и окуляра трубы; б) на какое расстояние ∆l надо передвинуть окуляр трубы, чтобы четко видетьпредметы, находящиеся на расстоянии a = 50 м?Решение′ объектиа) При установке на бесконечность задний фокус Fобва совмещен с передним фокусом Fок окуляра (см.
рис. 1.15 а). Если l – длина трубы, тоl = f об − f ок .(1.24)абРис. 1.15. Оптическая схема трубы Галелея (а) и к вопросу об определении углового увеличения трубы Г (б)Угловое увеличение трубы (см. рис. 1.15 б)Г=tg α′ f об=tg α f ок(1.25)равно отношению фокусных расстояний объектива и окуляра.Из (1.24) и (1.25) получаем:f ок =1= 5 см,Γ −1f об = Г ⋅ f ок = 75 см.б) Положение даваемого объективом изображения предмета,находящегося от объектива на расстоянии а, можно найти с помощью формулы (1.9):1 11.+ =x a fоб22ОПТИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧОтсюда расстояние х равноa ⋅ f ок= 83,1 см.a − f обСледовательно, чтобы четко видеть предмет, необходимоотодвинутьокуляротобъективанарасстояниеΔl = x − f об = 13, 1 см.Ответ: а) f об = 75 см , f ок = 5 см;б) Δl = 13,1 смx=Задача 1.2.10. Зрительная труба Кеплера состоит из двухсобирающих линз − объектива и окуляра (рис. 1.16). НайтиувеличениеГ,даваемоетрубой при установке набесконечность, если диаметрD оправы объектива идиаметрdизображенияоправы, которое дает окуляр,соотносятся как d = 0,05 D.РешениеПри установке трубыКеплера на бесконечностьзадний фокус объектива Fоб′ совпадает с передним фокусомокуляра Fок. Согласно (1.25) увеличение трубы равноfГ = об .Рис.
1.16. Оптическая схема трубы КеплераfокКак видно из рис. 1.16,Г=Ответ: Γ = 20.D= 20.dЗадача 1.2.11. Две тонкие линзы из стекла с показателем преломления n = 1,5 и радиусами кривизны сферических поверхностейRоб = 1 см и Rок = 5 см используются в качестве соответственнообъектива и окуляра микроскопа, дающего увеличение Γ = 50. После изменения расстояния между объективом и окуляром на Δlувеличение стало равным Γ′ = 60 .
Определить расстояние Δl .23Гл. 1. Геометрическая оптика и простые оптические системыРешениеПри наблюдении с помощью микроскопа малоразмерных объектов предмет AB располагают вблизи переднего фокуса объективаFоб (рис. 1.17). Объектив даетувеличенноедействительноеперевернутоеизображениеA′ B′ вблизи фокуса окуляраFок. В свою очередь окуляр переводит A′ B′ в увеличенноемнимое изображение А∗В∗, которое находится на расстоянииРис. 1.17. Ход лучей в микроскопенаилучшего зрения от окуляра(глаза): O′B∗ = L0 = 25 см.
Рас′ и Fок называют оптической длинойстояние Х между точками Fобмикроскопа. При расчетах принимается, что расстояние от предмета АВ до объектива приближенно равно фокусному расстояниюобъектива fоб, а расстояние от изображения A′ B′ до окуляра равнофокусному расстоянию окуляра fок.Из подобия треугольников AOB и OA′B′ следует, что даваемоеобъективом увеличение равноГоб ≈A′B′ f об + X≈= 1 + X ⋅ Φ об ,f обAB(1.26)где Φ об = 1 f об – оптическая сила объектива.Из подобия треугольников A′O′B′ и A*O′B* находим увеличение, даваемое окуляром:Г ок =B*A*LL= 0 ≈ 0 = L0 ⋅ Φ ок .B′A′ O′B′ f окСледовательно, исходное увеличение Г микроскопа равноГ = Г об ⋅ Гок = (1 + X ⋅ Φ об ) ⋅ L0 ⋅ Φ ок .При изменении расстояния между объективом и окуляром на Δlувеличение микроскопа становится равнымГ′ = [1 + ( X + Δl ) ⋅ Φ об ] ⋅ L0 ⋅ Φ ок = Г + Δl ⋅ L0 ⋅ Φ об ⋅ Φ ок .24ОПТИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧТаким образом,Δl =Γ′ − Γ.L0 ⋅ Фоб ⋅ Ф ок(1.27)Согласно (1.19), оптические силы каждой из тонких линзравны соответственно2 ⋅ ( n − n0 )Фоб =(1.28)Rоби2 ⋅ ( n − n0 )Фок =.(1.29)RокС учетом (1.27)−(1.29) окончательно получаем:( Γ′ − Γ ) Rоб RокΔl ≈= 2 см.24 L0 ( n − n0 )Ответ: Δl = 2 см.Задача 1.2.12. Найти с помощью геометрических построенийположения фокусов и главных плоскостей для толстой выпукловогнутой линзы толщиной d = 4 см с показателем преломления n =1,5, если оптические силы преломляющих поверхностей линзы ввоздухе равны Φ1 = 50 дптр, Φ2 = −50 дптр (рис.
1.18, а).РешениеТак как по условию Φ1 = −Φ 2 , то в соответствии с (1.5)nn −1= 1 см , а в соответствии с (1.6) f1 = f 2′ = − 0 = 2 см,R1 = R2 =Φ1Ф1nf1′ = f 2 = 0 = 3 см. Положение фокусов сферических преломляюФ1щих поверхностей 1 и 2 показано на рис. 1.18 а.Положение переднего F и заднего F′ фокусов линзы найдем спомощью лучей, падающих на линзу параллельно главной оптической оси ОО′. Положение главных плоскостей Н и Н′ будем искать,исходя из того, что они − сопряженные, а коэффициент поперечного увеличения для них равен 1.Гл.
1. Геометрическая оптика и простые оптические системы25Рис.1.18. а – оптическая схема толстойвыпукло-вогнутой линзы;б – ход лучей через толстую выпукловогнутую линзуабНаправим луч 1 (рис. 1.18 б) параллельно главной оптическойоси. После преломления на поверхности 2 он переходит в луч 1',который как бы выходит из фокуса F2. Параллельно лучу 1' построим луч 2′, который пересекает оптическую ось в фокусе F′1 и послепреломления на поверхности 1 переходит в луч 2″, параллельныйоптической оси. Так как лучи 1' и 2' − параллельные, поэтомуа) луч 1″ пересекается с лучом 2″ в фокальной плоскости F1, а сглавной оптической осью – в фокусе F линзы;б) луч 2 (а точнее − его продолжение) пересекается с оптической осью в фокусе F′, с продолжением луча 1 − в фокальной плоскости F′2, а с продолжением луча 2″ − в главной плоскости Н′. Таким образом, плоскости Н′ и F′2 совпадают.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
