И.М. Капитонов - Введение в физику ядра и частиц (1120452), страница 5
Текст из файла (страница 5)
уравнения Шредингера для системы А частиц. Гамильтониан ядра Н может быть записан в виде я л а Й='~ Т.+'~ '1 9.~, .««1 а«1 Д>а (2.6) либо л я я ='.У.Т:+ ЕЕ: ««1 « 1дееа 4. Модель жидкой капли. О ядерных моделях Свойство насыщения ядерных сил, вытекающее, в свою очередь,Ъэ их короткодействня и оттелхнвания на малых расстояниях, делает ядро похожим на жидкость. Силы, связывающие молекулы жидкости, тоже насыщаются, а энергия испарения линейно увеличивается с увеличением массы. На этой основе был создан способ описания ядра в мое?еаи лсидкоб капли (Вайпзеккер, 1935 г.).
Зачем вообще нужны модели ядра, заранее навязывающие ему определенные свойства? Можно ли решить задачу без моделей, строго? Ядро — совокупность нуклонов, каждый нз которых сохраняет свою структуру и свойства. Нействительно,масса нуклона ж 940МэВ/сэ, а для перевода нуклона в первое возбужденное состояние нужна энергия в ЗООМзВ. В то же время средняя кинетическая энергия нуклона в ядре где Т„ = р~,/2щ, — оператор кинетической энергии нуклона; Ч Л вЂ” потенциал взаимодействия нуклонов а и р (парный цотенциал) и вьппеприведенные два варианта записи энергии взаимодействия исключают учет энергии взаимодействия олной и той же пары нуклонов дважды.
Р„л близок к потенциалу элементарного нуклон-нуклонного (гцс) взаимодействия. Последний уточняется в физике высоких энергий (физике частиц), а на долю теории ядра остается решенке задачи многих тел. Трудности решения уравнения Йф = Еф лля япра: 1) Юй'-взаимодействие до конца не изучено; 2) проблема А сильно взаимодействующих тел строго не реше- на для А ) 4. Последнюю и главную трудность можно обойти, используя для упрощения модели ядра, в которых уже задаются (угадьгваются) некоторые наиболее существенные его свойства. Одна из первых и простейших моделей ядра — модель жидкой капли, откуда следует формула Вайцзеккера для энергий связи ядер.
5. Формула Вайцзеккера. Объемная, поверхностная и кулоновская энергии Ниже полУчаетск фоРмУла и (г) Мэб для энергии связи ядра в основном состоянии в модели жидкой капли — формула Вайцзеккера. Схцдство жидкой капли и яд- 1,б г,фм ра основано на следующих двух пунктах: 1. В обоих случаях энергия связи пропорциональна чис- Ркс. ЗА лу составляющих частиц. 2. Радиальная форма й а-потенциала (рис.
2.4) аналогична (если не учитывать разницу в масштабах) потенпиалу ЛеннардЛжонса для двух молекул. В формулу для энергии связи ядра входит ряд членов. Объемная энергия. Энергия связи ядра тем больше, чем больше в нем нуклонов или объем ядра. Поскольку этот объем пропорционален А, энергяю ядра в первом приближении можно записать в виде так называемой обьеэсноб энергии Есе = +а„А, (2.7) где а„> 0 — константа.
Лекция 8 32 Если этим ограничиться, то мы имеем дело с бесконечной ядерной материей (поверхностные эффекты не существенны), лишенной заряда (пренебрегаем кулоновским отталкиванием). Поверхностная энергия. Нуклоны на поверхности связаны менее сильно, чем внутри, так как взаимодействуют с меньшим числом своих партнеров, чем внутренние нуклоны. Если в бесконечной ядерной материи провести поверхность, ограничивающую ядро, и отбросить нуклоны вне ее, то оставшиеся у поверхности вуклоны ядра потеряют половину своих связей.
Чщло потерянных связей пропорционально числу нуклонов на поверхности, а следовательно и плошади поверхности, которая равна 5 = 4тЯз = 4тгезАз~з (Я = гоА'1в — радиус икра, ге = 1.2 Фм). Итак, за счет поверхности, энергия связи уменьшается на величину а,Азиз, т.е. в формулу для энергии связи необходимо добавить (со знаком «минуса) слагаемое, которое будем называть поееряносгпноб энергией Е„= а,А 3/3 (2.8) где а, > 0 — константа. На нуклон, находящийся на поверхности, действует результирующая сила, направленнак внутрь ядра. Поэтому поверхностные нуклоны стремятся сжать ядра, создавая, как и в капле жидкости, поверхностное натяжение, энергия которого и определяется выражением (2.8).
Кулоновская энергия. Эту энергию легко оценить для заряда, равномерно распределенного по объему сферы с плотностью р = З я'«Ш-;. Тогда энергия кулоновского отталкивания, уменьшающая энергию связи, дается классической электростатической энергией такого распределения 3 г(г — Ц, Я(2 -1) 5 Н Аз уз где 3 ез 3 (4,8 ° 10 1е)з 51о 5 (1 2,10-1з . 1 б. 10-в) Ограничиваясь членами (2Л)-(2.9), нельзя получить правильный ход линии стабильности. Для легких ядер эта линия отвечает приблизительному равенству чисел протонов и нейтронов (Ф а о).
В то же время, из выше рассмотренных трех членов для энергии связи, при фиксированном А от Л зависит лишь кулоновский. Ввиду этого максимум энергии связи достигается при Я = 0 и стабильные ядра должны были бы состоять из одних нейтронов. Очевидно, это не так, и связано это с тем, что не учтена иеонтлоео« природа «деркон капли.
6. Энергия симметрии. Роль принципа Паули. Зависимость 3 от А для стабильных ядер Чтобы получить правильный ход линии стабильности, необходимо учесть принцип Паули (ядро состоит из фермионов, подчиняющихся этому принципу). Вследствие этого ядра, у которых нуклоков одного типа больше, чем другого, имеют меньшую энергию связи, чем ядра с одинаковым числом протонов н нейтронов. Это хорошо видно из рис. 2.5, где показано расположение четырех нуклонов по уровням энергий в прямоугольной потенциальной яме в некоторой условной модели (наподобие модели ферми-газа) для двух случаев: а) 2 протона+ 2 нейтрона (без учета кулоновской энергии); б) 4 нейтрона. 0 а ЬЕ р и Риа 2.Б Предполагаем, что каясдый уровень характеризуется лишь одним набором квантовых чисел и поэтому в соответствии с принципом Паули может быть занят лишь одним нуклоном каждого типа.
Считал, что уровни эквидистантны и расстояние между ними (а также глубина наиболее мелко сидяшего уровня) равны ЬЕ, получаем для левого варианта (а) энергию связи (т. е. энергию, необходимую для того, чтобы <достать» все нуклоны нз потенциальной ямы) И~, = 14ЬЕ, а для правого (б) — Иъе — — 10сзЕ, т.
е. гг', > Юе. Если даже создать ядро из одних нейтронов или 34 Лекция 3 протонов, то оно путем процессов и -+ р (или р -+ и) перейдет в ядро с приблизительно равным числом нейтронов и протонов (эти процессы — не что иное каи ф-распад, см. Лекцию 4). Член в формуле Вайцзеккера, которнй учитывает стремление ядра вметь в основном состоянии симметричное расэуоложение по уровням нейтронов и протонов (зкереия симмепьрев), может быть записан в слелующем виде (вывод дан в Приложении П): (Ф вЂ” И)~ (А — 2Й) Е„„„= а„,„, =а, А А (2.10) Квадратная степень в числителе отражает тот факт, что энергия симметрии должна возрастать при росте относительного числа нухлонов любого типа.
Появледие множителя 1/А связано с реальным сближением ядерных уровней с ростом А. Слагаемое (2.10) должно быть добавлено в формулу Вайцзехкера со знаком «минус» потому, что отклонение от симметрии уменьшает энергию связи. Итак, с учетом уже нмеющнхся членов (2.7)-(2.10), для энергии связи ядра в модели жидкой капли получаем где хорошую подгонку под зхспериментальные данные дает сле- дующий набор констант: а, = 17.2МэВ, а,„м = 23.6МзВ.
а„= 15.6 МзВ, а, = 0.72 МзВ, Равновесное число протонов Ер„е (линия стабильности) в ядре при фиксированном А определяется минимумом по Л суммы 3-го и 4-го членов в (2.11), откуда легко получить 2а, А А а,Аэуз 4-4а, 0.015Азуз+ 2 Видно, что Ер „( э. При отсутствии иулововской энергии Яр „- Аз. При учете хулововской энергии ливия стабильнос- ти с ростом И все более смещается в сторону большего числа нейтронов. 7. Эффект спаривания. Четно-четные, нечетные и нечетно-нечетные ядра. Вклад различных видов энергии в полную энергию ядра С помощью формулы (2.11) можно описать энергию связи В, ййэй ядер (исключая легкие с А ( 12 74 78 < 20) с точностью ш 1Уа. Од- т 78 ~ нее пако имеются «пульсацииз на 10 ' 4 и 80 82 уровне 1-2М»В, которые объ- ~в(1 ~1> Й 1 ясняются специфическим свой- 8 76 )4 а й' й 8486 ством Ф)т-взаимодействия — в 77 79 81,1 )1 Я 88 основном состоянии ядра возникает дополнительная связь меж- ~83 86 М ду двумя нуклонами одного типа (двумя протонами или дву- 74 78 82 86 мя нейтронами), занимающими число нейтронов один и тот же энергетический уровень.
Этот эффект невелик (яз 1-3 МэВ), т. е. всего ш 0.2% от энергии связи ядра, но четко виден в зависимости энергии связи от А, Я н 1т'. Он продемонстрирован на рис. 2.6 для энергии отделения нейтрона изотопов Се (церна). Видно, что энергия отделения нейтрона возрастает на 2- 3 МэВ, когда их число становится четным.' Это объясняется обсуждаемым особым свойством 1т'1т'-взаимодействия: «воэнинноввнивм в основном состоянии ядра дополнигпельноб связи между двумя нунлонами одного тпипа, назодящимися на одном и том же энергептичесном уровне». Качественно этот эффект иллюстрирует рис. 2.7, где схематически показано, как меняется энергия отделения внешнего нейтрона при последовательном увеличении нх числа.
С точки зрения обсуждаемого эффекта (или, как говорят, сил спаривания) все ядра разбиваются на три типа: — чептно-четпные ядра (все нуклоны в основном состоянии спарены и положительная добавка к энергии связи наибольшая); — нвчептно-нечешные ядра (не спарены в основном состоянии по одному нуклону каждого типа и добавка к энергии связи наименьшая); 38 Рис.
З.7. Спаривание вукнонов в ядре. Эввргпк спарввеник й м Г-З МвВ. В верхней части рисувха пыазаны проекции ноыентов у спариваеыых иукпоиов (поправнев в Лекцпи у) — цромежуточвый случай — нечетпные «дра (один нуклон в основном состоянии не спарен). Спаривательное слагаемое Е„в формуле для рк (А, Я) условилнсь записывать так, чтобы для нечетных ядер оно было равным нулю. В этом случае наилучшее воспроизведение экспериментальных данных дает следующая формула: Есв со 6А зре, (2.13) ек'(А, И) = а„А — а,А — а, з(з Я(Я вЂ” 1) (А — 2И)з А (2.14) Вклад различных членов в формулу для удельной энергии связи иллюстрирует рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
