Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 160
Текст из файла (страница 160)
Каустпкп . .. ... 91 9 4. Полный интеграл 93 9 5. Фокачьные кривые и уравнение Монжа......,,,...., 95 5 6. Примеры . 97 1. Дифференциальное уравнение световых лучей (дгаб и)' 1 .. ° . 97 2. Уравнение Р(им из) = 0 !00 3. Дифференциальное уравнение Клеро ........... °... !01 4. Дифференцизльное уравнение трубчатых поверхностей... ° .. 103 5. Соотношение однородности . !04 9 7. Общее дифференциальное уравнение с л независимыми переменными !05 $ 8.
Полный интеграл и теория Гамильтона — Якоби ......, .. .!11 1. Пастроенве огибающих н характеристические кривые . ... . ° . (11 820 Оглавление 2. Канонический внд характеристических дифференциальных уравнений 113 3. Теория Гамильтона — Якоби 115 4. Првмер. Задача двух тел 117 5, Пример. Геодезические на эллипсоиде .... . .
. ... .., 118 9 9. Теория Гамильтона — Якоби и вариациониое исчисление .. . ,,, 120 1. Дифференциальное уравнение Эйлера в каноническом виде ..., 121 2 Геодезическое расстояние, или эйконал, и его производные. Дифференциальное уравнение Гамильтона — Якоби ...., .. ., 123 3. Однородные подиитегральные функции . ... ... .., .. ., 126 4. Поле экстремалей. Двфференциальиое уравнение Гамильтона— Якоби 128 5 Конус лучей. Конструкция Гюйгенса.............. 132 6.
Инвариантный интеграл Гильберта для представления эйконала 132 7. Теорема Гамильтона и Якоби 134 $10. Канонические преобразования н их приложения...,...,, 135 1. Каноническое преобразование . 135 2. Новое доказательство теоремы Гамильтона — Якоби ...,, . 136 3. Вариация постоянных. (Теория канонических возмущений)...,137 Приложение ! к главе П 138 9 1. Дальнейшее изучение характеристических многообразий,.....
138 1. Замечания о дифференцировании в пространстве а измерений ., 138 2. Задача Коши. Характеристические многообразия ....... 141 $2. Системы квазилинейных двфференциальных уравнений с одинаковой главной частью. 11овое построение теории .. ., . . ., ... . !46 9 3. Доказательство теоремы единственности Хаара .. .... . .... 151 Приложение 2 к главе П. Теория законов сохранения ..
.. . .. 153 Глава П!. Дифференциальные уравнения вмсших порядков ..... 159 $ !. Канонический вид линейных и квазилинейных дифференциальных операторов второго порядка с двумя независимыми переменными 159 1. Эллиптический, гиперболический и параболический канонические виды. Смешанные типы 160 2.
Примеры . 165 3. Канонический вид квазилинейиых дифференциальных уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными....., 168 4, Пример, Минпмальныв поверхности,.........., .. 171 5. Системы двух диффереициальньш уравнений первого порядка , . 173 $2. Общая классификация и характеристики , , ... , ..., .... 174 1. Обозначения 174 2. Системы первого порядка с двумя независимыми переменнымн. Характеристики , . 175 3, Системы первого порядка с и независимыми переменными....
177 Оглавление 821 4. 11нффереициальные уравнения высших поряднов. Гиперболичность ,, . . .. . ... ., . . ., .... . , .. 178 5. )Тополннтельные замечания .. ., ,, 180 б. Примеры. Уравнения Максвелла и Лнрака ... , .. .. ... . 180 5 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными иоэффициентами , 184 1. Канонический вид и классификация уравнений второго порядка 184 2. Фундаментальные решения уравнений второго порядка .. ., .
. 187 3. Плоские волны . 190 4. Плоские волны (продолмсение). Бегущие волны. Дисперсия... 192 5. Примеры. Телеграфное уравнение. Неискажающиеся волны в кабелях .....,...., ..., 196 6. Иилиидрнческие и сферические волны..., ....,..., . 197 5 4. Задача Коши. Задача излучения для волнового уравнения.... 200 !. Задача Коши для уравнения теплопроводностн. Преобразование 201 204 205 208 тета-функции 2. Задача Коши для волнового уравнения 3.
Принцип Дюамеля, Неоднородные уравнения. Запаздывающие по тенцналы За. Принцип Дюамеля для систем первого порядка 4. Задача Коши для волнового уравнения в двумерном пространстве 2. Сопряженные дифференциальные операторы ..
.. ., .... . 238 Приложение 2 к главе ПК Теорема единственности Гольмгрена . 239 Г л а в а !Ч. Теории уравнения потенциала и эллиптические дифференциальные 242 242 $ ! Основные понятия 1, Уравнения Лапласа и Пуассона н связанные с ними уравнения Метод спуска 5. Задача излучения 6. Явления распространения и принцип Гюйгенса $5. Решение задачи Коши с помощью интеграла Фурье !. Метод Коши применения интеграла Фурье 2. Пример 3. Обоснование метода Коши 6 б. Типичные задачи для уравнений математической физики 1, Вводные замечания 2. Основные принципы 3. Замечання о «некорректно поставленных» задачах 4. Общие замечания о линейных задачах Приложение ! к главе П! 8 !. Лемма Соболева $2. Сопряженные операторы 1.
Матричные операторы , 208 . 210 . 211 . 213 .. 213 . 215 . 218 . 224 . 224 . 228 . 232 .. 233 . 234 . 236 . 236 822 Оглавление 2. Потенциалы распределения масс , 247 3. Формула Грина и ее применения 253 4. Производные потенциалов распределения масс .. .. .., ,, 259 $2. Интеграл Пуассона и его приложения....., ...,..... 262 1. Краевая задача п функция Грина ...
, . ... ., .. .... 262 2. Функция Грина для круга и шара. Интеграл Пуассона для шара и полупространства . г65 3. Следствия формулы Пуассона 269 5 3. Теорема о среднем значении н ее приложения ...,....... 276 1. Теорема о среднем значении для однородного и неоднородного уравнения , 276 2. Обращение теорем о среднем зиачешш ..... .., .. .,: 277 3. Уравнение Пуассона для потенциалов пространственных распределений 284 4. Теоремы о среднем значении для других эллиптических уравнений 286 9 4. Краевая задача , 290 1. Предварительные замечания. Непрерывная зависимость от граничных значений и от области , 290 2.
Решение краевой задачи с помощью альтернпрующего метода Шварца , 293 3. Метод интегральных уравнений для плоских областей с достаточно гладкой границей 298 4. Замечания о граничных значениях .. ..., ... . . ... . 302 4а. Емкость и выполнение граничных условий . .......... 304 5. Метод субгармонических функций Перрона .. ..,, ... .306 8 5. Приведенное волновое уравнение. Рассеяние . ..... , . ... 312 1. Предмет изложения..., ..., .... 312 2. Условие излучения Зоммерфельда ......,,...,.... 313 3. Рассеяние 317 $6.
Краевые задачи для более общих эллиптических уравнений. Единственность решеш1я 319 1. Линейные дифференциальные уравнения . .., .. ......, 319 2. Нелинейные 1равненпя 321 3. Теорема Реликта для дифференциального уравнения Монжа — Ампера 322 4. Принцип максимума и его прпменешш.......,......324 $7. Априорные оценки Шаудера и пх приложения...,...... 329 1. Оценки Шаудера ....,...,,, 330 2, Решение краевой задачи 334 3.
Сильные барьеры и их приложения.........,..... 339 4. Некоторые свойства решений уравнения Ци~ = 7, ....,... 342 5. Лальиейшие результаты, касающиеся эллиптических уравнений; поведение вблизи границы 345 й 8. Решение уравнений Бельтрами , 348 4 9. Краевая задача для некоторого специального квазилинейного уравиеквя, Метод неподвижной точки Лере — Шаудера ........ 355 Оглавление 823 $ 1О. Решение эллиптических дифференцнальных уравнений с помощь.о интегральных уравнений ..... ., ...
, .. . , . . ., 360 1. Построение частных решений. Фундаментальные решеаня. Параметрикс , 361 2. Дальнейшие замечания 365 П р вложение к главе 1Ч. Нелинейные уравнения...,....,, 365 1. Теория возмущений , 366 2. Уравнение би - )(х, и) , 367 До пол иена е к главе 1Ч. Теоретико-функциональная точка зрения на эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными 372 1. Определение псевдоаналптпческих функций . ... . , ... , . 373 $ 2. Одно интегральное уравнение , 375 $ 3. Принцип подобия , 376 4. Прплозкенпя принципа подобия , 380 5. Формальные степени 383 $6.
Дифференцирование и интегрирование псевдоаналитнческих функций 384 9 7. Пример. Уравнения смен~зикого типа..........,..., 387 9 8. Общее определение псевдоаналптическнх функций,......, 389 9 9. Квазиконформные отображения и общая теорема о представлении 390 9 1О. Одна нелинейная краевая задача , 393 $11. Обобщение теоремы Римана об отображениях , ... .., .. .
397 9 12, Две теоремы о минимальных поверхностях . . ..., ... . . 398 9 !3. Уравнения с аналитическими коэффициентами . .... ., . 399 9 !4. Доказательство теоремы Привалова .. ., . .. . , ... .. . 400 8 15. Доказательство теоремы Шаудера о неподвижной точке . . .... 401 Г л а в а Ч. Гиперболические дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными , 405 Введение ...............,...,....,,, 405 9 !.
Характеристики дифференциальных уравнений ! в основном второго порядка) , 406 1. Основные понятия. Квазилинейные уравнения ........,, 406 2, Характеристики на интегральных поверхностях...,....,412 3, Характеристнни как линии разрыва. Фронт волны. Расцространение разрывов . 414 4. Общие дифференциальные уравнения второго порядка ..... . 417 5. Дифференциальные уравнения высших порядков ..., .... .419 6.
Инвариантность характеристик при преобразовании координат . , 421 7. Сведение к квазнлинейным системам первого порядка .. . ,, . 421 $ 2. Характеристическая нормальная форма для гиперболических систем первого порядка . 422 1. Линейные, почти линейные и квазилинейные системы .. .. , , 422 2. Случай й = 2, Линеаризация с помощью преобразования годографа 425 824 Оглавление 2.
Разрывы в квазялинейных системах, выражающих законы сохранения, Ударные волны ...,................., 484 487 487 9 3. Прнложение к динамике сжимаемой жидкости 1. Одномерное изэнтрооическое течение 2. Сферпчески симметричное течение 3. Стационарное безвихревое течение 4. Системы трех уравнений для иеизэнтропического течения 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
