Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 161
Текст из файла (страница 161)
Линеарнзованные уравнения 9 4. Единственность. Облзсть зависимости 1. Области зависимости, влияния и определенности 2 Доказательство единственности для линейных дифференциальных уравнений второго порядка 3. Общая теорема единственности для линейных систем первого по рядка 4. Единственность для квазилинейных систем 5. Знергетические неравенства 9 5. Представление решении в форме Римана 1. Задача Коши 2.
Функция Римана 3. Симметрия функции Римана 4, Функция Римана и излучение из точки. Обобщение на зада ш более высокого порядка 5. Примеры 9 6. Решение задачи Коши для линейных и почти линейных гиперболических уравнений с полющью итераций !. Построение решения > равнения второго порядка 2. Обозначения и результаты для линейных и почти линейных систем перного порядка 3. Построение решения 4. Замечания. Зависимость решений от параметров 5 Смешанные начальные и граничные задачи $ 7. Задача Коши для квазилинейных систем 9 8. Задача Коши для одного гиперболического дифференциального урав- пения высшего порядка !.
Сведение к характеристической системе первого порядка 2. Представление оператора Ци) через характеристики 3. Решение задачи Коши 4. Другие варианты решения. Теорема П. Уигара 5. Замечания $9. Разрывы регпеннй. Ударные волны 1. Обобщенные решения. Слабые решения П р и л о ж е н н е 1 н главе Ч.
Применение характеристик в качестве координат $1. Дополнительные замечания относительно общих нелинейных уравне. ний второго порядка 426 427 429 430 431 433 435 435 437 442 445 446 446 447 447 451 452 453 458 458 460 462 467 467 472 474 476 477 479 480 482 482 482 315 Оглавление исчисление Хевисайда . 503 9 1. Регпенпе нестацпонзрных задач с помощью интегральным представленщ1 .
504 !. Пример явного решения. Волновое уравнение .. . .... .. 504 2. Общая формулировка задачи . 507 3 Интеграл Люамеля ., 507 4. Метод суперпозпцпп экспоненциальных решений .. ., . . .. , 510 9 2. Операторный метол Хевисайда . 5!3 1. Г!ростейшпе операторы , 513 2. Примеры операторов и приложения .........., . .., 516 3. Приложение к уравнению теплопроводностп ......, . .., 520 4. Волновое уравнение , 522 5. Обоснование операционного исчисления. Определение дальнейших операторов . 523 9 3. Общая теория нестационарных аадач ... ....
, .... ., 530 1, Преобразование Лапласа 530 2. Решение нестацпонзрных задач с помощью преобразования Лап. лиса 533 3. Пример. Волновое и телеграфное уравиекия ..... ....., 539 шениН 545 9 !. Дифференцнальные уравнения второго порядка. Геометрия характеристик . 545 1, Квазилинейные дифферегшиальные уравнения второго порядка , , 545 2. Линейные дифференциальные уравнения .. ., , .. ., ... 5Э) 3. Лучи нлп бнхарактериствки 1.
Квазилинейное дифференциальное >равнение 2. Общее нелинейное уравнение $2. Исключительный характер уравнения Монжа — Ампера 9 3. Переход в комплексной области от эллиптического случая к гипер. болпческому 9 4. Аналитичность решений в эллиптическом случае !. Замечание нз теории функций 2. Аналитичность решения уравнения Ьн = !(х, у, и, Р. У) 3. Замечание об общем дифференциальном уравнении Р(х, у, и, р, ф г, з, Г) = 0 9 5. Применение комплексных переменных для продолжения ре. шений Приложение 2 к главе )Г. Нестационарные задачи н операционное Глава эг1. Гиперболические уравнения со многими независимыми пере меннымн Введение Ч а с т ь !.
Едннственность, построение н геометрические свойства ре 487 491 492 495 497 497 497 5Г! 50! 826 Оглавление 553 555 . 556 , 558 , 559 . 562 10. Поиерхности пространственного типа. Направления временнбго типа 563 5 2. Уравнения второго порядка, Значение характеристик . . ., .. . 563 !. Разрывы второго порядка 564 2. Дкфференцвальное уравнение на характервстической поверхности 566 3. Распространение разрывов ио лучам .............. 567 575 конус лучей, коноид лучей . 577 5, Фронты волны и построение Гюйгенса. Поверхность лучей и по- верхиость нормалей . 579 5а. Пример , 582 б.
Свойства инвариантности 583 пения временного типа 583 8. Симметрические гиперболические операторы . .... .. , .. . 587 9. Симметрические гиперболические уравнения высших порядков , 588 1О. Кратные характеристические поверхности и приводимость . .. . 590 1!.
Лемма о бихарактеристических направлениях ... . , ... .. 591 й За. Примеры. ! идродинампка, крнсталлооптика, магнитная гидродина. мика 593 1. Введение . 593 2. Система дифференциальных уравнений гидродииамики ..... 594 3. Кристаллооптика 597 599 5. Задача Коши для уравнений кристаллооптики .. . .. .. ., 603 . 606 . 611 1. Введение . 611 2. Разрывы первых производных для систем первого порядка. Уран. некие переноса .
612 4. Характеристика как фронт волны 5. Инвариантность характеристик 6. Конус лучей, конус нормалей, кононд лучей 7. Связь с римановой метрикой 8. Двойственные преобразования 9. Построение фронта волны по Гюйгенсу 4. Пример Решение задачи Коши для волвового уравнения с тремя пространственными переменными 9 3. Геометрия характеристик для операторов высших порядков 1. Обозначения 2.
Характеристические поверхности, формы и матрицы 3. Интерпретация характеристического уравнения во времени и пространстве. Конус нормалей и поверхность нормалей, Характери стнчесиие нуль.векторы и собственные значения 4 Построение характеристических поверхностей или фронтов. Лучи 7. Гиперболвчность. Многообразия пространственного типа, направ- 4. Форма поверхности нормалей и поверхности лучей б. Магнитная гидродинамика 9 4.
Распространение разрывов и задача Коши 569 571 571 573 Оглавление 827 3. Разрывы начальных значений, Введение обобщенных функций. Бегущие волны , 614 4. Распространение разрывов для систем первого порядка , . .. . 618 5. Характеристики постоянной кратности , .. .. , ..., .. ., 620 5а. Примеры распространения разрывов вдоль многообразий более чем одного измерения.
Коническая рефракция . .. .. . . , .. 621 б. Устранение начальных разрывов и решение задачи Коши ... , 622 ба. Характеристические поверхности как фронты волны ... , . .. 625 7. Решение задачи Коши с помощью сходящегося разложения на волны . 625 8. Системы второго и высших порядков,...,...,..... 626 9. Дополнительные замечания. Слабые решения. Ударные волны, . 628 5 5. Колеблющиеся начальные значения.
Асимптотическое разложение решения Переход к геометрической оптике.......,..., 629 1. Предварительные замечания. Бегущие волны высшего порядка .. 829 2. Построение аспмптотпческих решений ............., 630 3. Геометрическая оптика .. . , , . 834 $ б. Примеры теорем единственности и области зависимости для задачи Коши . 636 1.
Волновое уравнение , 636 а 2, Дифференциальное уравнение иа — Аи — — иг О (уравнение Дарбу) ...,,....,...,,,639 3, Уравнения Максвелла в вакууме , . . . . 640 $ 7, Области зависимости для гиперболических задач ..., .. .,, 642 1. Введение , 642, 2. Описание области зависимости...., ..... 643 $8. Интегралы энергии и теоремы единственности для линейных симметрических гиперболических систем первого порядка ... ., . .., 645 1, Интегралы энергии н единственность решения задачи Коши ... 645 2.
Интегралы энергии первого и высших порядков .. ., ... ., 647 3. Энергетические неравенства для смешанных задач .. . ,, . .. 650 4. Интегралы энергии для одного уравнения второго порядка .. ., Я4 9 9. Энергетигеские оценнн для уравнений высших порядков , . .. . , 656 1. Введение , 656 2. Энергет1шескне тождества и неравенства для решений гиперболических уравнений высших порядков. Метод Лере и Гординга ..
656 3. Лругие методы , 660 5 ! О, Теорема существования . 663 1, Введение , 663 2. Теорема существования .. .. . . , , 665 3. Замечания о сохранении свойств начальных значений и о соответствующих цолугруппах. Малый принцип Гюйгенса ....,... 667 4 Фокусирование. Пример несохранения дифференцируемости.... 669 5.
Замечания о квазилинейнык системах.....,,......, 670 828 Оглавление 6. Замечания о задачах высших порядков н о несимметрических системах . 671 Ч а с т ь П. Представление решений 672 $ 1!. Введение 672 1, Общие понятия. Обозначения , 572 2. Некоторые интегральные формулы. Разложение функций на плоские волны 673 $12. Уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами . .. 677 1. Задача Коши . 677 2.
Построенве решения для волнового уравнения . .... .. .. , 679 3. Метод спуска . 682 4. Дальнейшее изучение решения. Принцип Гюйгенса...,.... 684 5, Неоднородное уравнение. Интеграл Дюамеля ......... 687 6. Задача Коши для общего линайиога уравнения второго порядка п88 7. Задача излучения 611 6 13. Метод сферических средних. Волновое уравнение и уравнение Дарбу 694 1, Дифференциальное уравнение Дарбу для средних значений... 69! 2. Связь с волновым уравнением 696 3. Задача излучения для вочтнового уравнения ....
... , .. . 698 4. Обобщенные бегущие сферические волны .. ..,, . .. ... 699 6 !За. Решение задачи Коши для уравнения упругих волн с помощью сферических средних 701 9 14. Метод плоских средних значений. Применение к общим гиперболическим уравнениям с постоянными коэффициентами , ... . 705 1. Общий метод 706 2. Применение к решению волнового уравнения........, . 7!0 5 14а. Применение к уравнениям кристаллооптики и к другим уравнениям четвертого порядка ..
.. .. . . 712 1. Решение задачи Коши 2. Дальнейшее исследование решения. Область зависимости. Лакуны $15. Решение задачи Коши как линейный функционал от начальных данных. Фундаментальные решения 1. Описание. Обозначения 2. Построение функции излучения с помощью разложения б-функции 3. Регулярность матрицы излучения За Обобщенный принцип Гюйгенса 727 4. Пример. Системы с постояннымн коэффициентами частного вила Теорема о лакунах 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
