L_pr1-7 (1120165), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

­Частный случай — независимые испытания ( {$­).>>{$W ­ YПереход за ” шагов. Обозначим через > y вероятность переходаиз – -го в -е состояние за ” шагов. Легко предположить (однородность!), что она не зависит от абсолютного номера шага (речь идет опереходе из состояния – на -м шаге в состояние на w.” -м шаге).По формуле полной вероятности имеем« ™{$W ­ Y {­WYW2Y 111илиWYWYW2yy Y> y> y | > 1 и11 1 2 (в данном случае этоОтсюда следует, что 1 W Yyyyy(3)просто степень матрицы).Отметим, что 1 — тоже стохастическая матрица (Доказать!).yЭргодичность.Рассмотримабсолютнуювероятность~# { {$W ­ Y (нахождения системы в состоянии на ” -м шаге | > yߝàá{$­ ­ .от начала) и предположим, что7> y>yâÁ~ߝà›á ­ ߝà›á ~Тогда# { {$­# { ­ — финальное распределе | > y | >> yyâ Áyâ Á~ ­—{ние вероятностей. Из равенства | 2 {²­((3), ”ÞP ) при > y >y>­> y7Далее опустим скобки у верхнего индекса.12c~­ .

Это значит, что финальное распределеследует | { {$­ > >>ние стационарно (инвариантно) т.е. является единственным решением системы алгебраических уравнений8 с дополнительными условия”~®—ми ­ %.¢ и }{ | {.>>9 —<™™™ \[ÿ, то говорят, что МарковскаяЕсли при этом ­¢ ,>цепь (система) эргодична.Теорема (без доказательства). Пусть — подмножество состояний эргодической системы, c H — время нахождения системы в , c— общее время функционирования системы. Тогдаdߝà›áâ Ác H «{™cÖÔ ÕØ× H >Замечание. Для практики удобен следующий критерий «Марковости».Обозначим буквамиП,A Н@@ и Б@ — Aсобытия:A прошлое, настоящее ибудущее.

Тогда V ПБ N НV П N Н V Б N Н — при фиксированномнастоящем прошлое и будущее независимы. Доказательство следуетиз равенств@@@A A @ A A @A @ A V ПНБV ПБ N Н V НV Б N ПН V П N Н V Н@A @A @ A™V БN Н V ПN Н V НЛекция 4.(Докажите самостоятельно необходимость и достаточность!)Случайная величина.@ ˆ @Ä A©AПусть задано вероятностное пространство.“ V@ A1. СлучайнойвеличинойназываетсявещественнаяфункцияO c e ;(отображениечто для любого вещественного мно[€ @ A ), ; такая,ŠO @ 0 @“ , т.е.

событие.жество A; A gfih @ ;BA2. Вероятность Vназывается функцией расO0пределения случайной величины O .Свойства функции распределения. ; Â; ; ; ’ ; ; 1.Для:0^O0^O0w^O0@@@ ; UÂf @ ; A  f @ ;  A; A ; A; AV @ O; Ý0 ÂV f O @lk 0 A f w’@ ; V A ™O0,; A jVO£0PÂmf @ ;BA Â× ;  e 2.

¢,.f @ ;BAߝà›á f @ ; Af @ ;BA3.непрерывна слева, ? Ÿon ?. ПустьÄÄÄÄÄÄ; ; ;;следует из того,0ߝàá f @ ; A; 0 ‘ z 0 ; 0 f 0@ ;BA . ДоказательствоOl0 y ичто Ol0всилунепрерывности?Ÿn? вероятности для монотонных последовательностей событий.Левый собственный вектор матрицы p , отвечающий собственному значению,равному 1.8134. VO; ÿ®; ÿÂ; ›ß àá f @ ; AoŸ qÄÄÄ ÿ®; ÿ ? ÄÄ? Ä ÿp;f @;Aw˜¢ . В этом случае для  ; … Ê ; O€0 и далееимеем O >yиспользуем непрерывностьвероятности для монотонных последовательностей событий.; ¨Â ; 5.

Выпишем соотношения для: ; Â; ˆjf @ ; A f @ ; A,VOŽ0P ;  ; ˆjf @ ; A f @; A; ; v ;,вчастности,при:V ; >O f @;Ûw¢PA f @ ;BAV Owj¢ P ;  ; ˆjf @ ; , A f @ ; AV0[Oxw¢Pjw¢, ; ; >f @ ; A f @ ; A.V f @ 0[O£0 ߝà›á f @Pjw¢f @ UA ߛàá f @UAAA p—6. P.P , wwˆ”yâ Áyâ ÁСуществованиепределовследуетизмонотонностииограниченности.Равенстваизсоотношения@ UA@ UA— ˆV P0xOŽ0V wP/V P.

счетОтметим еще, что функцияимеет не более, чем[ @ распределенияAное число скачков. (Число скачков размером не более ограничено величиной º ).Функция, удовлетворяющая условиям 1 – 6 является функциейраспределенияслучайной величины). Однако, из равен@ ;BAf-h @ ;BA jf-r (некоторойстване следует совпадения O и Q ; они могут различатьсяс вероятностью единица.I. Дискретные случайные величины. ; ,Множествозначенийконечноилисчетно.VO~— ; > имеем~ любого подмножества значений > j . Для .

Корректность следует из Леммы о суммироOŸ ? ×H >Ëвании по блокам.f @ ;BA ~ полностью определяет¬Ÿ ??>;Ëраспределение: значения — точки разрыва, вероятности — ве>личины скачков.f @ ;BA esФункция распределенияsss;t ;t ;t ;t ;dФункция распределенияII. Случайная величина O называется непрерывной (абсолютнонепрерывной), если8?fih @ ;BA 2>h @ ;BA:\;, где>h @ ;BA— неотрицатель-Áная кусочно-непрерывная функция,которая называется плотностью14вероятности (плотностью распределения вероятности) случайной ве-h @ ;BA :<; ®—8личины O , Á2 Á>.h @ ;BA vuowx ?u ?W Y .> ; Â; ˆjf @ ; A f @ ; A 8? L h @ ;BA:<;VO 0ŽP.? œ >В точках непрерывностиЗамечания.1.

Интеграл понимается в смысле Лебега (в простейших случаях онсовпадает с Римановским).ДляБорелевского (измеримого) множества @ 2. A =@ ;BA8 : f любогоH@ ;BA; ;; 'непрерывна 3.; ЕслиÂ;>; @ ;BA на @ " ;BA wzy , то по теореме о среднемVOŽ0wyw y. ; t{f @ ; > A f @ ;BA w¢ P¢  для непрерывных случайных4. V Oÿвеличин, поэтому для них неравенства , % можно заменить на 0 ,Vи наоборот.III. Сингулярные случайные величины. Для них множество точек роста функции распределения имеет (Лебегову) меру нуль.

Пример — КанторовскаяОбщая длина отрезков стационарно лестница.œ¾~®—сти стремится к Á | ´.´y чтоПоказано,случайныевеличиныисчерпываютсяэтимисмешанные типы:@—f @ ;BA тремяf|h @ ;BA типами,—A f-h @но;BA существуютL , ¢R0U)0 .) œwPŒ)@ ˆ@Ä A AМногомерные случайные величины. Пусть задано“ V.Векторнойназывается векторная@ A @ @ случайной ™™™ ; A @ A ™™™Zвеличиной @ A©A; Z ; функция,такая,чтодлялюбых:O OOO@@@ A; Z A; ™™™ A; yyO ; Z 0 ; ™™™O “ . ; 0 x f @ ; ZO ; ™™™ 0 ; AyV O 0O 0O 0—y ” -мернаяyyфункция распределения.

yДалее рассмотрим случай ”f @ ; ]æA Свойства.VOR0; Qt0] • ..f @ ; ]æA;]не убывает по и по .f @ ; ]æA2.непрерывна слева по каждому аргументу.f @ UA p— f @ ]A >f @ ; UA wP¢ .3. w, P ; nÂ;  ] Â] ¥}f @ ; ] A f @ ; ] A f @ ; ] AQð0PPw4.f V @ ; ] A O‹0.w1.15f-h @ ;BA ~f @ ; w5.деления.VДля@; ; |«; OR0«; nO£0 |Á; O£0V8?Á82Áвеличини далее:@ ; ]æA :\]>,r @ ]æA >ÁУсловные распределения.Пусть—событие,N²kслучайных>]2 A Á ~2 € Á L w ? € ? W €  @ Y в точках непрерывности.‚ A =8 @ ;BA:<; ;  eeoO(,).ƒ >y ]Â;; ] Â] y uOx0w„yQ‡0w„y>OŠ0—†Q-0.º w2 Áнепрерывных@ ; ]æA :<;F:\]8h @ ;BA ;º— маргинальные распре-2 Áf @; — A f @ ; A 'Fjf @ ; UA ™"º wPº3.

Vокрестности точки непрерывности.4. ]æAw,абсолютноf @ ; ]æA 1.> @2. V OUA f-r @ ]æA ~f @n4f|h @ ;NkA 8?>h @;V8Á2 ÁN²k@ ; ]A:<;>kA :<;@ ; ]æA>@ ; ]æAw„ y yв..¢ .Тогда@ ; ]æA 2Áзадана f @—@ Пустьpраспределения ]  величиныA]]сл.; плотностьA>O Q . Рассмотрим £O 0 N k , где kQt0w…y: @ ; ]æA :\]8 ? :<; 8³‡†; ] Â]]  >f @ 2; A V OR0Q¥0wy ] ÂO£0k]]  ÁVQ¥0w…y@ ; ]æA :\]8 :<; 8³‡†Á >2 Á?8@ ; ]A:<; ]@ ]æAy w y™2 Á > r @ ]æA ]@ ]Ay w… y>]]Rc¢ , получаемРазделив на yи переходя к пределу при y8 ? @ ; ]æA :<;@ ; ]æA™h9 r @ ; ]æA f-h\ r @ ; ]æA >Nи> r @ ]A2 Á r @ ]AN>>>Наконец, на основе этой формулы можно записать>h @ ;BA 72 ÁÁh\ r @ ; ] A r @ ]æA :\] ™N>>16Лекция 5.(аналог формулы полной вероятности). Аналогичные формулыможно написать и для дискретного случая.Назависимость случайных величин.™š™š™›Случайные величины O ; Z™šO ™›™š ; называются независимыми( & в совоyкупности (попарно), если ˆсобытия O O , ..., O Oнезависимы в совокупности (попарно).y Пусть теперь ”•.

y y(4)f @ ; ]æA V; OR0Q-0] hVOR0(5) ; ; V;  ] ] nV4f @ ; ,U O£ ] Q¥ A 0 f @ ;  ] A f @ ; Z ]] 0 A f @ ; Z,U4f|h @ ; A f-r @ P ] A f-h @ ; A P f-r @ ] A f-h w @ ; A f|r @ ] @ f-h @ ; A f-h @ P; A A @ f-r @ ] A f-P r @ ] A©A P ] S™ ; P; ] V,9O£0V,UQt0; Z ] c Формулы (4)эквивалентны(@ и (5)@ ; A @ ; ]­A величин V OQV OV QQ‘0] ˆ4f-h @ ;BA f|r @ ]A ™A A f h @ ; A f|r @ ] A w).] Длядискретных сл.­ A .

Впрочем индексыможно опустить.h+r @ ; ]A h @ ;BA r @ ]æAв точках непрерывности этих функций.> Вернемся к> (4). Верно>ли обратное?f-h+r @ ; ]æA ‰f @ ;BA Ä f @ ]æAf @ UA Теорема.Пусть,причемf @ ;BA jf|h @ ;BA f @ ]æA 4f-r @ ]æA—.,.ТогдаДоказательство следует из свойств двумерной функции распределения.Q называются эквивалентными, есливеличины O@ Случайные A V OŠ Q¢ (совпадают почти всюду).Функции от случайных величин.j‹ @ A‹ @Ä Ae c eПусть Q— измеримая функция,O , где . ОбычноyŒтребуется найти распределение Q , если известно распределение O .] Ž‹ @ ;BAПример. Пусть— невырожденноепреобразованиеh @ ;BAr @ ]A (биекция).. Найти плотность, если„‹ @ A Пусть дана плотность >>QO .Для произвольной области имеем:7ƒr @ ]A:S] >V@Q A @ ‹ @ A ‚ A @ ‹ @  A©A VOV O2@ ;BA@]A A D:\] ™@ ]æA DD2DDDƒ >‘ ¾ œ ƒ >D“’DW YОтсюда в силу произвольностиполучаем, что’r @ ]æA h @ ‹ @ ]æA©A € ? :\]N€ W Y N .2h @ ; Z ; A>>W YПример. Задана плотность.

Найти распределение O wO .>Пусть7h @ ;BA:\; 7h @‹17‚Q ¨ ] ; ; ; ] O Œw O] Ý; w ; ÝQOr @ ]A h @ ] ] ] APиТогдаr œ @ ] A > 8 >h @ ] ] ] A :\] ÁP.>>2 Ár @] A 8 hœ @]ÁЕсли O и Q независимы, то œ>2 Á >ка!).] P ] € ? ¦—N€ W Y N.W Y] A h @ ] A:\] L(сверт>PНезависимость функций от независимых сл. величин. Рассмотрим дискретныйO и Q — независимые сл. величины,‹\ @ A ‹ @ A случай.‹\ Пусть‹ тогдаO и Q (где и — измеримые функции); { также независимыесл. величины.

Пусть O принимает значения , а Q — значения]­. Для любых и имеем:««K‹\ @ A \‹ @ A nOQVV{ ‘œ ?Õ | Ë W Y ; {O«­ ‘ L  |”Ë W YV ; { ] ­ nQO{ ‘œ Õ | ­ Ë ‘ L W ?  Y |”Ë W Y ] ­ ˆK‹< @ A Ä K‹Ö @ A S™V QVOVQЧисловые характеристики случйных величин. Моменты.Начальный момент порядка º :8 ; h @ ;BA :<;8 ; h @ ;BA:\;Á, если Á N N0.w>>~ ; { 2 Á {• 2 ~ Á ; { {.O0 w{}Á| > , если {}Á| BN N > 9•O Математическое•Oожидание8 F; : f-h @ B; AÁ.2 Áилиилисреднее„‹ @ A• O . Тогда9 QТеорема. Пусть сл. величина Q8значение:2Á‹ @ ;BA : f-h @ ;BA.Доказательство (для дискретных случайных величин)Á «Á ] V | • @~Следствие:‰ O•• @• @'–Q@ ] A « Q~ A ЦентральныйOnP•OA 2O£POA•‰ O .момент8 @;• A : f-h @ ;BAÁPO.ÁЦентральный•«{ ‘ ?Õ | Ÿ >Ë W Y«{ º -го‹ @; {A {™{>порядкамоментвторогопорядка8 @;• A : f-h @ ;BA Ž–ÁPOO носит название дисперсии,2 Áотклонение.O — стандартное9 ] если момент существует18 • @–A ••A@•OOnPOO PO .Свойстваматематическогоожиданияи дисперсии.• @A ••O wQ1.

O wŒQ72 ÁÁ Q h r @“Q A : Q > ³7Á @;w7]A Á707Á@ ; ]æA :<;F:\] >@ ; ]A:\;F:\];>w2 Á2 Á2 Á77] @ ; ]A:\;F:\] Á ; h @ ;BA :<;Á ] r @ ]æA :\] ™ww>>>2 Á2 Á2 Á(Аналогичнодля дискретныхсл. величин.)•• @ A •••‰ Onw9‰ Q‰Oˆw9‰Q и O O ( — матрица, O2.— сл. вектор).• @ A • ••3.Еслиинезависимы,то.(При,†OQOQ˜O0OQ•• @ A.

Заметим, что O†Q в этом случае существует.)Q¥0Обратноесл. ве • Пусть, например,• неверно!• @ A O и Q • — независимыеличины и QO¢ . Тогда O†Q OO Q¢ . но отсюда неследует, что O†Q и Q независимы. В самом деле,707ÁQm3Oно Vp—<O<QOP-12-124/9 2/9 ,2/9 1/9—†ˆ ®—† —†n V O†QV OPþo — ˜ ™Примеры моментов Бернулли.в Ä – ?O{ —ÄÄ ? число®—p— Ä -м испытании– { • Пусть• успехов{O, O, O.PPwj¢wj¢>>>>>>>РаспределениеПуассонаŸŸ¾ œ~Á | º X o 25X = T.Á | º X š 25X = • yy – ýT w[T @иœ O AŠприемом получаем OНормальноераспределение@ ;BA @œ› À :) +*ž L-Ÿ; å P ¡ž L ; P A .>—77• Á ; @ ;BA :<; Á ; Ÿ; O>•21+À2 Á2—7 Á' Á @ ] w œ A Ÿ; å P•21+À2 Á'Аналогично——7œ A– Á @;å @; P œOPŸ= P• À•21 À2 Á'™O~T 25X uT .å —P•3ÀuX = T .

АналогичнымX—•3À @ ; P œ A :<; ] :S] œ ™A :\; À'•2172 ÁÁ L : ™LÀ2-¢ 194. Неравенства.••а/ O£%‡QRO£%Q (Следствие 2.) • б/ • • @ Нер-воA Коши-Буняковского•O P/TQO Pj•†T • O†@ QnwxT A Q .% ¢ Если равенство, то ¤T , OnPjTQ¢ .в/ Неравенство Маркова.VNO NПустьÿ ÂI•I@•O†QA  •O •Q . N O N ¦—< ™›™š™›™º•  ¢ NO N ÿ ™Q3NO N Iÿ ŠI  •  IТогда N QIN.NBONVNBONNONII10При.– º • — неравенство Чебышёва– = —¢ . Обратно:O¢VO5. ‰если,тоconst. До ÿÿказательство. ˆ ¢V N OBN ¢ . Рассмотрим последоваI N OÞP • OBN ÿ I .

Характеристики

Список файлов лабораторной работы