L_pr1-7 (1120165), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

V— следствие 4 аксиомы, которую можyно переформулироватькакy непрерывность вероятности@ относительноߝàáA монотонныхV ¢ еслиߝà›ápí предельных переходов, в частности,yq .yУсловная@ ˆ вероятность. @ÆÄ A©A“ V— вероятностное пространство. Пусть известно,Пустьчто в ходе эксперимента произошлособытиеk , после чего мы моïî§k , а вместо любого собыжем сузить множество îUисходовдоUðskтиярассматривать.Таким@ ˆ @ÆÄ A©A @ vî‚ î î @ÆÄ A Aî€ образом,îpмы переходим  от“ V“Vslk , “jsk “ ,к, где@Ajslk ™@ A(1)V kîî @ÆÄ A(Покажите, что “ — À -алгебра, а Vудовлетворяет аксиомам.)î @ î A V Vпространству@ ˆМожно @ÆÄ A©A вернуться к старому вероятностномуî @Ä Aи рассматривать вероятность Vна “ .@Ä В этомслучае ее“ VAназывают условной вероятностью и обозначают VN²k .

Событие kПолезное представление ñò5óôристическая функция множества ú .4õ÷öMøxñêò5ùó , æñ ò ó ôõ÷ö÷ø ñêò ó ù, гдеñæò— характе-7можно рассматривать как параметр. Формула (1) легко интерпретируется в терминах классической вероятности, а в общем случае онаявляется определением.Свойства.@@@@V@VN²kŽN kA ¦—<™A ®—VPŒV@‘N kwŒA™ A™AN²k wjV N k@~@™AA ~V {}Á| { ²N kÁ{Ñ| V { N kNkA VЭти свойства полезны для решения задач. Пример: Вероятностьаварии ракеты 0.1, причем на старте 0.09.

Какова вероятность аварии в случае успешного старта? Пусть событие — авария, ko ,î o k . Искомая вероятность— авария на старте, k @@®—A p—A p—HîüH ®—.îYV ‘N kPŒV £N kPÃû WPpû W YP 25ý©°25ý©° ýµþþû W Yû W YТеоремаумножениявероятностей.@@@@A AAA¨ÿV ŒslkV ‘N²k V k , V k¢ .Длятрехсобытий@@@A A @A @ A A @ AV sŒkžsŒ‰V ‘N kžs/‰ V kÞN ‰ V ‰V rskÞN ‰ V ‰ ,отсюда@@A A @AV ŒslkÞN ‰V ‘N²k.sމ V kÞN²‰ .и kнезависимы5, если@ Независимость.@ A Ä @ СобытияA AV jsÞk @ A V V k .Если V @ , то @и k независимы.¢@ AAïÿA ¢ , то V kÞN V k означает независимость и k ,Если V но в общем случае это не эквивалентно определению независимости.Свойства.1. и независимы.@ A 2. и k , если V ¢ , независимы.3.

Если и k независимы, то и k , и k , и k — также независимы. —† ™™™ 4.~ Если и k { попарно независимы –•” , то независимы% и { (но не– # { ). >Независимостьв совокупности. События { независимы в совокупности, если для любых и любых наборов различных индексов–@ Ê@Z ™™™A A–– имеет место равенство V | { ŸV {Ÿ .| Задача (Пример Бернштейна). Пусть правильный тетраэдр раскрашен так, что на трех его гранях красный, синий и зеленый цвет соответственно, а на четвертой — все три цвета. Проверьте, что события«выпадение разных цветов» попарно независимы, но не независимы всовокупности.Формула полной вероятности.

Формулы@ ˆБайеса. @Ä A©AРассмотрим вероятностное пространство.“ V5стохастически независимы.8ϗ<™ ™™™™Пусть { –— полная группа (необязательно конеч•ная) попарнонесовместных(необязательноравновероятных)@ собыA¨ÿ{­q , – и пусть k“ — некоторое событие, V k¢ .тий, svТогда@Ó~{ A и V @ k A ~ V @ kÞN { A V @ { A — формула полнойkkžs{ {вероятности.@@@A A @ A A @ Aî Ÿ V Ÿ ²N k V k î Ÿ V ŸkÞN V следуетИз V k‡s… @A H î H î H Y Õ û W H Y Õ — формулы Байеса. Yû W Yû Wû W V N²kHHЛекция 3.û W YÕ û WYû W YПример@ построения@ Ý @ÆÄ A©A событий.Z © @Ä A©A независимых“ V“ VПусть, —{ дискретные ­ (для проÝстоты)вероятностныепространства,,,@ @ { A A{ , V ­­ . Рассмотрим множество упоряV { ­ hÝ>>доченных пар, обозначим его— пряEмое произведение.

Множество всевозможных подмножеств , ко A A @ обозначимA “ . Наконец, введем :À -алгебра,торое,@ { ­ очевидно,@{²­{ V­{ ­ (проверить корректность!).VV>>>Полученное@ ˆ вероятностное @ÆÄ A A @ hZ пространство© @ÆÄ A A @ Ý назовемZ @ÆÄ A Aпрямым произве“ V“VE“Vдением:.¨ h “ ~ , “ , Пусть~в этой схеме{­ иk{ ­ , k  “ .œœ{Ô Õ×H œ{ Ô Õ ×­ Ë Ô L ×­ ËÔ L × H LËË ~ ™Найдемвероятность@ A ~~~${­{­{V { Ô Õ œ × H œ > ­ Ô L × >{ Ô Õœ × H œ >{ Ô Õœ × H œ >­ Ë Ô L ×ËË Ë™Ë@ A ~­Аналогично, V k­ Ô L × H L > ~ @~@ A @ AA Ë ~${­{­V V kНаконец, V jsÞkœœ{ Ô Õ × H œ > ­ Ô L × H L >{Ô Õ×H œ >­ Ë Ô L × H LËËËоткуда следует их независимость.@ ˆ @Ä A©AОпределение 1. Пусть— дискретное вероятностное“ Vпространство.

Последовательностью независимых@ @ÆÄ A©Aиспытаний назы“ Vвается вероятностное пространство, которое являy y пространствyется прямым произведением ” одинаковых(” -й сте@ ˆ @Ä A A@ @Ä A©A @ ˆ @ÆÄ A©A“ V, т.е.“ @ V ™™™ E y A“ V. Подробпенью):{y y {œ y { Lнее:состоит из цепочекдлины ” с необяза´тельно— алгебраподмножеств,“@ {œ y { различными™™™ { A {›œ индексами,™™™{L{ .yyLV>> Бернулли´ 2. > Схемой´y Определениеназывается последовательность ” независимых испытаний, полученная на основе вероятностного пространства, в котором содержитсялишь два элементарныхсобытия (исхода):—успехи—неудача@ A @ A Ð (1— и 0 соответ, Vственно). Обозначив VP , получим>>9@ {œ { ™™™ { A L2 , где º — число успехов в серии из ” ис> y´yпытанийБернулли.Какова вероятность при ” испытаниях получить º успехов? Это@ A ~@ A p— .º‰º2y — биномиальное распределение, |y> y>y>ý yVНа это распределение очень много задач и вы с ними познакомитесьна семинарских занятиях.Отрицательное биномиальное распределение (распределение Паскаля):Вероятность того, что для достиженияв схеме Бернулли@ ” успеховA потребуется ”‘w[º испытаний равна ” ”Žw[º.‰@@ A «Á” w[ºŠPŽÁ” ”Žw[º | > |ý@ A@— A ™™™ ý @ «ÁP ” PPPPŒº wº |ý9¦¿I™™™ Пусть.

Тогда¯@ Z ™™™ A ” ™™™ ¯ > y«>— A @— A2 yA ™™y™ ³ @ A > ”ŽwxºRPj•”º> y@ A @ — A p—<™PP2 y> y> y« ¯ { ”{ œ L ™™™ ¼ > ¯¯ > >— полиномиальноераспределение(общий член разложения полино@ ÄÄÄAма).www>>> ¯ yПредельные теоремы (для биномиального распределения).Теорема Пуассона.Рассмотримпоследовательностьбиномиальных распределений.”‰ ” ).ПустьX (т.е.

TŸ>c> @ A cТогда приy ”:º>yДоказательство.>@ A ”º‰y 2> y>y— @—A ™™ ™ @Py@ — P Xy@”tP@ A º> Á— A ™™™ @X ! 25X .”P/º w— A "º A "P 2 T—T y cPA y º” #— @—AP Xy @—AP yX ™ yT325X ºT” #$Замечание. Теорема, очевидно, справедлива и в случае, когда величина ” не постоянна, но стремится к T .—Â×>Теорему практически можно применять6 при ”&% ¢<¢ , T¢ . ÿ Муавра-Лапласа. (В этом случае ” > велико, так чтоÿ Теорема¢ и¢ — фиксированны).6Аккуратную оценку погрешности можно посмотреть в книге Боровков А.А.

Теория вероятностей. — М.: Наука, 1976.10Локальная.”ß›àá@A@®—<——.L L 2 ,P/” ™>”> y•21 ”>>'' болееИнтегральная. Эта теорема будет' полученакак следствие из > > y .L) +* 2-, Ly â (Á 'A0/;общей, так называемой Центральной Предельной Теоремы.—76L :<; ™%65 /P/”L> 032 ,”•21>7''А локальную можно вывестииз интегральнойследующимобразом.%v % )2 ,))Положим #.³ 2 y<8 , так что PŒ#y98:8=:y98;:Тогда, используяy98;теоремуоy<среднем,получимV43# @ A  çP۔%65 /> 0ºV ºV>3‚#”> y——LŸ> —L@%™/A L × 6 /L, 32PŒ# 32 , N ?'÷W;7@Y”•21A•1 c>c Замечание.' Если ”,”применять обе¢ ,' то можно'>>приближенные формулы.Пример.

Сколько раз нужно бросить монету, чтобыс вероятностью 0.99 частота появления герба отличалась от не более, чем на0.01?Решение. Согласно интегральной теореме Муавра-ЛапласаP™ G— FÞD 0U¢ ¢V" Dˆ P” D> D 0DD ”D ””JIK#> DD> DD ”D IDDD>D— 7L :\; ®@—P™NOæO™/A'PŒ•NM P¢2 ,LI•A1 L2L :\;@Q A ' +*S8 R)Здесь M— интеграл ошибок (табулирован).2L , LUT™ — ™÷¹W2 V Á @ — O A ®—¸<¸WX既¢••(из таблиц), откуда ”.yI8=:Цепи Маркова.VCBEDDPD 0CH >DVРассмотрим последовательностьгде элементарным {œ { ™š™›™² испытаний,{ .

Согласно теореме умножеLсобытием является цепочка@ { œ { ™›™š™² { A ´ @ { { œ ™š™›™² { œ A ™š™›™ @ { œ ALния вероятностей, V.VN¾>´´"минимально"зависимы:´Пустьпоследовательныеиспытания@@ {ZY ™š™›™² { Y œ A AV @ {ZY N A {œVN { Y ¾ œ и не зависит от , то есть¾­ N {{²­V@ { A > { . Пусть известно начальное распределение вероятностей V# . Тогда(2)V@ { œ { ™›™š™² { A { œ { œ { š™ ™š™ { œ { ™LL#¾>> ´ ´´11Определение. Пусть задано вероятностноес конеч çпространство—<™š™›™š\[ным набором элементарных событий { , –. Конечной однородной цепью Маркова называется вероятностное пространство, в@ {œ { ™š™›™² { A LкоторомопределяEy , “E/y “ , а вероятность V´yyyется формулой (2).Для вычисления (2), в частности, должны быть заданы переходныевероятности {$­ или переходная матрица>µ a ™™™ `aa©µ ™™™ ]^ ™> ™™™™™> ™™™™™™™™™™> ™™™™_^1>>>b ™™™>>~ > à —Это так наз.

стохастическая матрица ( ­ {). Отсюда следует>корректность задания (2) — сумма по всем индексам равна 1. (Проверить!) Марковскуюцепь можно интерпретировать как модель си[стемы ссостояниями и вероятностями перехода {$­ из – -го в -е>состояние.Примеры: случайное дискретное блуждание по прямой.

Характеристики

Список файлов лабораторной работы