L_pr1-7 (1120165)
Текст из файла
Конспект лекций по теории вероятностейВ приведенном ниже конспекте в краткой форме излагается материал лекций по теории вероятностей, прочитанных на 2 потоке 3 курса Физического факультета в 2001 году. Из-за краткости и схематичности изложения этот материал не претендует на учебник.
Изложение, за исключениемнекоторых вопросов, соответствует учебнику Ю.П.Пытьеваи И.А.Шишмарева «Курс теории вероятностей и математической статистики для физиков», МГУ, 1983. Автор заранее приносит свои извинения за возможные опечатки.Теория вероятностей есть математический анализ понятия случай- Лекция 1.ного эксперимента. Событие и вероятность являются основными понятиями этой теории (аксиоматика Колмогорова, 1929, альтернативный, эмпирически-статистический подход — Р.Фишер, Р.Мизес.)Предполагается, что результат или исход случайного экспериментане может быть определен заранее. Однако сам эксперимент долженобладать свойством статистической устойчивости или устойчивостичастот ( ).— множество всех исходов и есть некоторое соПустьбытие, связанное с экспериментом.
Естественно считать, что по исходу эксперимента можно сказать, осуществилось событие или нет.Для наших дальнейших целей событие можно отождествить с некоторой совокупностью исходов, то есть считать, что есть подмножество элементов из . Сами элементы мы будем называть элементарными событиями (предполагается, что их «нельзя» разбить на болеемелкие).Вероятность — числовая характеристика класса событий. Онаимеет свойства, аналогичные относительной частоте события ( ), ноне сводится к ней (не равна ей).Примеры.1. Бросаниекости — однородного куба.
игральной Выпадениеграней,,...,—элементарныесобытия., ! ,— события, вероятности которых легко подсчитать: , , .2. Геометрические вероятности.Вероятность того,&%('(*+что' точка, науда*%, ,чу брошенная на отрезок "$#попадет в отрезок "$), #-,.)/,@ ;BA:<;@ ;BA %98:<; =86 .1 61#-0 , равна 136 254, где52752774?4>>C разВероятность того, что точка, наудачу брошенная в 25квадратмером DFE-D , попадет в заданную область с площадью GIH равна J KML , вчастности, если область определяетсяусловием N OPRQINS0UT , где O и Q@ A K L K L [8 :\;F:\] ^8 @a` (b A: ` : bKL2W K L 25XZY— координаты точки, то V .H1H_ >2@ ; ]Ac@a` (b AЗдесь— невырожденное преобразование.>плотность вероятности.e]bCfffffT—efff@a` (b AfffffhgfDC g;d`dВ этих примерах элементарные события — точки, множество— либо отрезок, либо квадрат.Алгебра событий.
(Алгебра множеств — это кольцо множеств сединицей).Кольцо множеств — это класс множеств, замкнутый относительноопераций jilk (объединение) и nm<k (вычитание).Рассмотрим отношения между событиями, операции над событиями и некоторые специальные события1.1. k oU — k влечет ( k — подмножество ).2. k , если koU и po.k .3. — противоположное событие ( не происходит).r4.
q — невозможное и — достоверное события, q.5. /stk — произведение (пересечение множеств) — события происходят одновременно.q события несовместны (не могут произойти одновре6. Usukменно).7. Rivk объединение (происходит либо , либо k ). Если они несов-z~местны, то условимся писать jwxk (вместо }{ | y писать {}| y ).p[n[ p 8.
nm<k Ak — вычитание. @A @9. ? k—симметрическаяразность.nm<k i kRmНекоторые свойства операций над событиями.а) @ , A m@ , m<k A @ js k AkRm @ . A @A @Aб) li k/slik s li , s kisk i ls— взаимная дистрибутивность.1Их удобно иллюстрировать с помощью диаграмм Эйлера-Венна.3в) [iks k , jski k — принцип двойственности, верентакже для любого числа элементов2.г) po.k ko .Алгеброй событий называется класс событий (система множеств), замкнутый относительно операций jik и , то есть следует jilk ,1) из k2) из следует .Пример конечномерного множества.Пустьсостоит из несовq и ).
Тогда — множество всех подместных событий (не считаямножеств, считая q и и всего их .yКлассическая вероятность. попарно несовместПусть дана полная группа { , ных равновероятныхсобытий. И пусть некоторое событие имеет{ w w {} . В этом случае (по определению)разложение@ A ¡ (Докажите корректность определения).V yКлассическаявероятность равна отношению числа благоприятных(для данного события) исходов к числу всех возможных исходов эксперимента3.Свойства классической вероятности.@ A1.
¢£,.V , .@ A p@a¤ A 2. V,Vq .@@ A@ AA 3. V ¥w¥kV w¥V k . (См. парадокс Р.Мизеса о теннисисте!)@ A ¦@ A4. V PV .@ A@ A@@ A@ AA 5. §o=k , V ,rV k , V kmV PV k . Следует из п. 3,jwxkm .если учесть k@ @ A@ A@ AAViVwVPVs@ 6.@@¨ A A©A i w m s.Доказать самим формулу для слагаемых:@ V i ªi @ {A « y@ { A @ A @ A « yAV PV ªs w w P y 2 V s ªs {}|{ ¬3yyПримеры.а. «Выборка с возвращением, упорядоченная выборка». Найти вероятность того, что хотя бы у одной пары в группе из человек совпадают дни рождения. @ A ®r·¸\¹P=¯ W ¯ 2 Y±°²°²°²W ¯ 2 y³ Y . Если считать ¶, тоОтвет: V ¯µ´530405060V 0.027 0.706 0.891 0.879 0.9942Формулы де Моргана.Речь идет об определении числа исходов до эксперимента34б.
«Выборка без возвращения, неупорядоченная выборка». Имеется объектов,среди них º отмеченных. Выбирается (без возвращения) объектов. Найти вероятность того, что среди них º отмеченных. V@ A y 2 2 yyy(Это — гипергеометрическое распределение).в.
Еще три примера (из физики). Распределение ¶ частиц по ячейкам.Статистика Максвелла-Больцмана — все частицы разные, запретов никаких нет. Число состояний ¯ , вероятность каждого состояния 2 ¯.> Статистика Бозе-Эйнштейна — частицы тождественны (неразличимы), в каждой ячейке может быть сколькоугодночастиц. Число со»¼ ¼¿¾ ., вероятность каждогостояний ¯¯2Лекция 2.>y³´©½СтатистикаФерми-Дирака — дополнительнок предыдущемудействует принцип запрета: в каждой ячейке можетбыть только одна» ¼ .частица. Число состояний ¯ , вероятность>´yАксиомы теории вероятностей.Пусть — пространствоэлементарных событий, — алгебра событий (подмножеств ).
Следующие условия являются аксиомамитеории вероятностей:1. является À -алгеброй, т.е. алгеброй, замкнутойотноситель < ,но операции счетного объединения событий, ,zy À . Пример алгебры, не являющейся-алгеброй: полу@ 'y @ &%('%hÂÃинтервалыи их конечные системы на ¢.y# , ¢0[#-0@Ä Aфункция V, принимающая число2. На À -алгебре Å определена@ A¨вые значения, V ¢,, называемая вероятностью.@@ A@ AA V wjV k — аксиома сложения (верная также в3. V wk@~@ {AA ~случае конечного разложения, V {}| y 3 {{}| y <V ).Á | @~{ A ~ Á \V @ { A — À -аддитивность.{}Á| }{ |@ A p 5. V@ .
Æ@ Ä A A VТройканазывается вероятностным пространством (ве4. Vроятностной моделью).Аксиомы 1 – 5 непротиворечивы, поскольку существует пример —классическая@Ä вероятность,но не полны, поскольку не задана явно веAроятность V.Задание вероятности на À -алгебре элементарнолишь для простейших случаев, например, в случае, когда конечно или счетно.Этот случай мы рассмотрим чуть позже.5&hПримерами À -алгебрявляются и g — множествоqgвсех подмножеств . Первая из них тривиальна, а вторая — слишком обширна, чтобы на ней можно непротиворечиво задать вероятность.
На каких же À -алгебрах можно задать вероятность и как этосделать? Решение этого вопроса лежит z на следующемпути. Пусть Ç{ , { ¦p Ç . Ясно, что лю— произвольная системамножеств( бые À -алгебры( и , для которых ¦o. , удовлетворяют услоoÈ g , причем sj — тоже À -алгебра. Пустьвию Ê oÈ gÉ , тогда É — минимальная À -алгебра, содержащая Ç .4ËɪÌ5Í3Î4Если, например, в качестве Ç взять систему интервалов на прямой,то минимальная À -алгебра, содержащая Ç , даст À -алгебру борелевских множеств на прямой. Оказывается, что к этой же À -алгебреприводит система открытых множеств прямой или замкнутых множеств прямой и т.д. Сам процесс построения À -алгебры называетсяборелевским замыканием класса Ç .
Дальнейшая идея заключаетсяв том, чтобы задать вероятность на более простом классе множествÇ (например, на полуалгебре), а затем воспользоваться теоремой оединственном продолжении меры на минимальную À -алгебру, содержащую Ç . (Мера — функция множества — обобщение понятия длины; вероятность — мера, нормированная на единицу).ÏÐ { Дискретное вероятностное пространство. @ÆÄ A — конечно или счетно, — множество всех подмножеств @ , V A достаточно{ { , лишьопределитьдлякаждогоэлементарногособытияV~¦>бы {Ñ| ÓÒ {.>Тогда вероятность для любого события равна V@ A ~{.ÖÔ ÕØ× H >Корректность следует из Леммы о суммировании по блокам:~ G сходится абсолютно и пусть ÚÚ wÛÚ wПусть ряд {}| <Ù {—разбиение множества натуральных чисел Ú .
Обозначим G ~~{{ ×Ü Ù .Тогда ряд Á | G сходится абсолютно и равен G . ÅОбратное, вообще говоря, неверно, но если Ù {¢ , то верно иобратное утверждение.Пример. Бросание монеты до первого выпаденияݦSгерба Ý(герб¦ —единица,,¢ , pаверс — ноль). Элементарные события...,¢<¢.@ A ¨ @ A v @ A Á,V, ..., VV¢ ,~ Вероятности:~®>>>{ÕÁÁ. Событиевозможное, но невероятное!{}| ÓÒ{}| ÓÒ>ÁАксиоматически определенная вероятность обладает всеми свойствами, которые мы отметили для классической вероятности, поскольку первые три фактически повторяют аксиомы, а остальные выводятся из них.6@ A1. ¢£,.V , .@ A p@ A2. V,V q@@A V 3. V jwxk@ A ¦@4.
V P@ V A5. ¦o.krV ,.V@ A6.VÛi@@A A wrVAA¢ . @AwjV k .@. A @@ A@ AA kVRkmVP/Vk @. @@ A @ t A©A©A @ sÛ A iÛ w m sÛV w V xPV sÞ .Однако, есть еще одно свойство, которое вытекает из À -аддитивности и называется непрерывностью вероятности, точнее,непрерывностью относительно предельного перехода.Сначала определим понятие предела последовательности событий (множеств) . Также, как для числовых последовательностей,можно это сделать через верхний и нижний пределы.ßàáßàá9ã©äæåÊzÁ | Á| — событие, заключающееyyÁ произошлоyся в том,y â чтобесконечномногоyсобытий из .çßàá9àèêé z Ê ßàá gÁ | Á | — событие, заключающеyyy â чтоÁ произошли все событияyеся в том,y из за исключением, бытьgможет, конечного их числа4.ßàáßàáßàá¡ßàá . Если o , то говорят,Очевидно, чтоy событийчто последовательность y имеет предел.y Для монотонныхvë y ë поUoUokkkследовательностейсобытий:илиßàápìßàá¦íyyпредел (k @ ) всегда существует.@ ßàáA y ßàáAyV 7.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
