Лекционный курс в ПДФ (1119925), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Если теперь сравнить законыраспределения двух случайных величин b ивывод: b =nå Ni .i =1nå Ni , то можно сделать очевидныйi =1Отсюда следует, что для случайной величины b, имеющей2закон распределения Бернулли, математическое ожидание и дисперсияопределяются формуламиnMb = M å ξ i =nå Mξ i =nå p = np;i =1i =1i =1nnnDb = D å ξ i =i =1å Dξ i =i =1å pq = npqi =1Найдём оценку величины р — вероятности успеха в одном испытаниинекоторого биномиального эксперимента.
Для этого проведём n испытаний иподсчитаем х – число успехов. Оценку р* неизвестной величины р определимxформулой р* = .nПример.Из 20 отобранных для контроля образцов продукции 4 оказалисьнестандартными. Оценим вероятность того, что случайно выбранный экземплярпродукции не отвечает стандарту отношением р* = 4/20 = 0,2.Так как х случайная величина, р* – тоже случайная величина. Значения р*могут меняться от одного эксперимента к другому (в рассматриваемом случаеэкспериментом является случайный отбор и контроль 20-ти экземпляровпродукции).
Каково математическое ожидание р*? Поскольку х есть случайнаявеличина, обозначающая число успехов в n испытаниях по схеме Бернулли, Мx= np. Для математического ожидания случайной величины р* по определениюæxöполучаем: Mp* = M ç ÷ , но n здесь является константой, поэтому по свойствуènøматематического ожиданияMp* =11Mx = np = pnnТаким образом, “в среднем” получается истинное значение р, чего иследовало ожидать.
Это свойство оценки р* величины р имеет название: р*является несмещённой оценкой для р. Отсутствие систематическогоотклонения от величины оцениваемого параметра р подтверждаетцелесообразность использования величины р* в качестве оценки. Вопрос оточности оценки пока оставляем открытым.Непрерывные случайные величины.Случайная величина, значения которой заполняют некоторыйпромежуток, называется непрерывной.В частных случаях это может быть не один промежуток, а объединениенескольких промежутков. Промежутки могут быть конечными, полубесконечными или бесконечными, например: (a; b], (–µ ; a), [b;µ), (–µ; µ).Вообще непрерывная случайная величина – это абстракция. Снаряд,выпущенный из пушки, может пролететь любое расстояние, скажем, от 5 до 5,3километров, но никому не придёт в голову измерять эту величину с точностьюдо 0,0000001 километра (то есть до миллиметра), не говоря уже об абсолютнойточности.
В практике такое расстояние будет дискретной случайной величиной,у которой одно значение от другого отличается по крайней мере на 1 метр.При описании непрерывной случайной величины принципиальноневозможно выписать и занумеровать все её значения, принадлежащие дажедостаточно узкому интервалу. Эти значения образуют несчётное множество,называемое «континуум».Если x – непрерывная случайная величина, то равенство x = хпредставляет собой, как и в случае дискретной случайной величины, некотороеслучайное событие, но для непрерывной случайной величины это событиеможно связать лишь с вероятностью, равной нулю, что однако не влечёт засобой невозможности события. Так например, можно говорить, что только свероятностью «нуль» снаряд пролетит 5245,7183 метра, или что отклонениедействительного размера детали от номинального составит 0,001059миллиметра.
В этих случаях практически невозможно установить, произошлособытие или нет, так как измерения величин проводятся с ограниченнойточностью, и в качестве результата измерения можно фактически указать лишьграницы более или менее узкого интервала, внутри которого находитсяизмеренное значение.Значениям непрерывной случайной величины присуща некотораянеопределенность. Например, нет практического смысла различать дваотклонения от номинального размера, равные 0,5 мм и 0,5000025 мм.Вероятность, отличная от нуля, может быть связана только с попаданием31величины в заданный, хотя бы и весьма узкий, интервал. Здесь можно привестисравнение с распределением массы вдоль стержня.
Отсутствует масса,сосредоточенная, скажем, в сечении, расположенном на расстоянии 20 см отлевого конца стержня, имеет смысл говорить лишь о массе, заключённой междусечениями, проходящими через концы некоторого промежутка.Пусть x – непрерывная случайная величина. Рассмотрим для некоторогочисла х вероятность неравенства х < x < х + DхP(х < x < х + Dх).Здесь Dх – величина малого интервала.Очевидно, что если Dх ® 0, то P(х < x < х + Dх) ® 0. Обозначим р(х)предел отношения P(х < x < х + Dх) кпри Dх ® 0, если такой пределсуществует:P( x < x < x + Dx)= p( x)DxDx ® 0lim(1)Функция р(х) называется плотностью распределения случайной величины. Изформулы (1) следует равенство, справедливое для малых величин Dх, котороетакже можно считать определением функции р(х):P(х < x < х + Dх) ( p(x)Dх(2)Очевидно, что p(x) – неотрицательная функция.
Для определения вероятноститого, что случайная величина x примет значение из промежутка [a, b] конечнойдлины, нужно выбрать на промежутке произвольные числа x1, х2,¼, хnудовлетворяющие условию а=х0<х1<x2<¼<xn<b=xn+1. Эти числа разобьютпромежуток [a, b] на n+1 частей, представляющих собой промежутки [х0, х1),[х1, х2), ¼,[хn, b]. Введём обозначения:Dх0= х1 – х0, Dх1= х2 – х1, ¼, Dхn = b – хn,nи составим сумму å p ( xi ),xi . Рассмотрим процесс, при котором число точекi =1разбиения неограниченно возрастает таким образом, что максимальнаявеличина Dхi стремится к нулю. Будем считать функцию p(x) непрерывной на32промежутке (а; b), тогда пределом суммыnå p( xi ),xi будетопределённыйi =1интеграл по промежутку [a; b] от функции p(x), равный искомой вероятности:P(a £ x £ b) =bò p x dx(3)aЭто равенство можно также рассматривать как определение функции р(х).Отсюда следует, что вероятность попадания случайной величины в любойинтервал (х1, х2) равна площади фигуры,образованной отрезком [х1, х2] оси х,p(x)графиком функции р(х) и вертикальнымипрямыми х = х1, х = х2, как изображено наx1x2xрисунке 1.ЕсливсевозможныезначенияРис.
1случайной величины принадлежат интервалу(а; b), то для р(х) – её плотности распределения справедливо равенствоbò p( x)dx = 1aДля удобства иногда считают функцию р(х) определённой для всех значений х,полагая её равной нулю в тех точках х, которые не являются возможнымизначениями этой случайной величины.Плотностью распределения может служить любая интегрируемаяфункция р(х), удовлетворяющая двум условиям:1) р(х) ³ 0;2)¥ò p( x)dx = 1-¥Можно задавать случайную величину, задавая функцию р(х), удовлетворяющуюэтим условиям.В качестве примера рассмотрим случайную величину x, равномернораспределённую на промежутке [a; b].
В этом случае р(х) постоянна внутриэтого промежутка:33ìc a £ x £ bp( x) = íî0 x < a; x > bПо свойству 2) функции р(х)¥b-¥aò p( x)dx = ò cdx = c(b - a) = 11. График функцииb-a1р(х) представлен на рисунке 2.c= b-aВомногихпрактическихОтсюда c =p(x)задачахвстречаютсяслучайныеxвеличины, у которых возможныеРис. 2значения не ограничены сверху иснизу. В этом случае кривая распределения располагается над осью х и прих ® ¥ и х ® – ¥ асимптотически приближается к этой оси, как изображено нарисунке 1. Вероятность того, что случайная величина x примет значение,меньшее некоторого числа а, равна площади фигуры, заключённой междукривой распределения и горизонтальной координатной осью слева от точки а.Будем считать, что такая площадь существует.Пусть x – непрерывная случайная величина. Функция F(x), котораяопределяется равенствомF ( x ) = P (ξ £ x ) ,называется интегральной функцией распределения или просто функциейраспределения случайной величины x.
Непосредственно из определенияследует равенствоF ( x) =xò p(t )dt .Формула производной определённого-¥интеграла по верхнему пределу в данном случае приводит к соотношениюF ¢( x) = p ( x) . Плотность распределения р(х) называют дифференциальнойфункцией распределения.Функция распределения F(x) случайной величины x имеет следующиесвойства.1. F(x) — непрерывная возрастающая функция.342.lim F ( x) = 0 ; lim F ( x) = 1x ® -¥x ®¥Свойства 1 и 2 вытекают непосредственно из определения функции F(x).3.
Приращение F(x) на промежутке (х1; х2) равно вероятности того, чтослучайная величина x принимает значение из этого промежутка:F(x2) – F(x1) = P(x1 < x £ x2)Доказательство.F(x2) = P(x £ x2) = P(x £ x1) + P(x1 < x £ x2) = F(x1) + P(x1 < x £ x2)ОтсюдаP(x1 < x £ x2) = F(x2) – F(x1)Заметим, что для непрерывной случайной величины x справедливыравенстваP(x1 < x £ x2) = P(x1 < x < x2) = P(x1 £ x < x2) = P(x1 £ x £ x2)Для равномерного распределения функция F(x) имеет вид:при x £ aì0xïï dtx-aF ( x) = íòпри a < x < b=babaïaïî1при x ³ b1abxГрафик функции F(x) представлен на рисунке 3.Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
