Лекционный курс в ПДФ (1119925), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Брошены две игральных кости. Число очков, выпавшее напервой кости, – случайная величина x. Число очков, выпавшее на второй кости213– случайная величина h. Считаем, что все исходы ((x = i)∩(h = j)) (i = 1,2,¼,6;j = 1,2, ¼,6) равновероятны, всего их 36, поэтомуP((x = i)∩(h = j)) =13611и P(h = j)) = , очевидно, что по определению x и h –66независимые случайные величины.Так как P(x = i) =Пример 2. Даны две независимые случайные величины x и h с заданнымизаконами распределения0112xh1213РР3344Определим случайные величины a и b следующим образом: a = x + h,b = xh. Выясним, являются ли независимыми случайные величины a и b.Составим закон распределения a. Наименьшее значение a равняется 1.Вероятность события a = 1 равна вероятности события (x = 0)∩(h = 1), которая1 1 1в силу независимости x и h равна × = .
Событие a = 2 совпадает с3 4 12событием ((x = 0)∩(h = 2)) 7 ((x = 1)∩(h = 1)). Его вероятность равна1 3 2 1 5× + × = .3 4 3 4 121. Таким образом,2закон распределения случайной величины a можно представить таблицей123a156Р121212Закон распределения b представляется таблицей012b151Р3122Рассмотрим события a = 3 и b = 0. Очевидно, чтоМаксимальное значение a, равное 3, имеет вероятностьР(a = 3) Р(b = 0) =1 1 1× =2 3 6224С другой стороны, событие (a = 3)∩(b = 0) – невозможное, так как a = 3только при x = 1, а b = 0 лишь при x = 0. Отсюда следует, чтоР((a = 3)∩(b = 0)) = 0,и теперь ясно, что, по крайней мере, в одном случае условие определениянезависимости для случайных величин a и b не выполняется.
Отсюда следует,что эти случайные величины зависимы.Математическое ожидание случайной величины.Пусть задан закон распределения случайной величины x.х1х2х3хnx¼Pp1p2p3pn¼Математическое ожидание Мx (или М(x)) случайной величины x определяетсяформулойnMx = å xi pii =1Рассмотрим пример. Пусть в некотором магазине, торгующем электробытовойтехникой, получены статистические данные о числе проданных холодильниковв каждый день месяца (условно считаем, что месяц состоит из 30 рабочих дней).Эти данные собраны в таблицуКоличество проданныххолодильников012345Число дней, в которые былопродано столько холодильников378921По этой таблице легко подсчитать число холодильников, проданных в магазинеза месяц: 0*1+1*7+2*8+3*9+4*2+5*1 = 63.
Чтобы подсчитать среднее числохолодильников, продававшихся в один день месяца, нужно эту сумму разделитьна 30, в результате получим 2,1. Если в приведенной таблице каждое числовторой строки поделить на 30, то получится последовательность дробей1 7 4 3 1 1; ; ; ; ; ,10 30 15 10 15 30каждая из которых представляет собой так называемую относительнуючастоту, с которой в данный месяц появлялся приведенный в верхней строкеобъём продаж. Очевидно, что если просуммировать все произведения чисел,стоящих в первой строке таблицы, на их относительные частоты, то получитсято же среднее число продававшихся в один день холодильников:2350×117431+ 1 × + 2 × + 3 × + 4 × + 5 × = 2,1103015101530Если бы в последней формуле относительные частоты рассчитывались не дляодного месяца, а для существенно большего срока, то при некоторых условиях(например, при отсутствии кризисных явлений, существенно влияющих наспрос населения на дорогостоящие товары) эти относительные частоты можнобыло бы считать довольно близкими к вероятностям соответствующихзначений объёма продаж.
Таким образом, приходим к выводу, чтоматематическое ожидание случайной величины – это в некотором смысле еёсреднее значение. Следует отметить, что случайная величина может вообще непринимать значения, равного её математическому ожиданию. Так, например,случайная величина, принимающая только значения 1 и –1, каждое – свероятностью 0,5, имеет математическое ожидание, равное нулю.Пример. Найти математическое ожидание случайной величины, заданнойзаконом распределения10xРpqЗдесь p + q = 1.Mx = 1×р + 0×q = рСвойства математического ожидания.1. Если случайная величина x принимает одно и то же значение при всехисходах случайного эксперимента, то есть x º С, то её математическоеожидание равно С.2.
Если Мx = а, и k – константа, то М(kx) = kMx (математическоеожидание случайной величины, умноженной на число, равноматематическому ожиданию случайной величины, умноженному наэто число).3. Если Мx = а, и k – константа, то М(k + x) = k + Mx (математическоеожидание суммы случайной величины и числа равно сумме этогочисла и математического ожидания случайной величины).Выведем формулу для математического ожидания суммы двух случайныхвеличин x и h, определённых на одном и том же пространстве элементарныхисходов и заданных законами распределенияxРМ(x + h)х1p11¼¼=(х1 + у1)Р((x = х1) ∩ (h = у1))+ (х2 + у1)Р((x = х2) ∩ (h = у1)) +¼xnp1nhРy1p12¼¼ykpk2+(хi + уj)Р((x = хi) ∩ (h = уj)) + ¼ + (хn + уk)Р((x = хn) ∩ (h = уk))246Очевидно, что сумма в правой части последней формулы содержит nkслагаемых.
Преобразуем эту сумму следующим образом:М(x + h) = х1 Р((x=х1)∩(h=у1)) + х1 Р((x=х1)∩(h=у2)) +¼+х1 Р((x=х1)∩(h=уk)) ++ х2Р((x=х2)∩(h=у1)) + х2Р((x=х2)∩(h=у2)) +¼ + х2Р((x=х2)∩(h=уk)) + ¼+ хnР((x=хn)∩(h=у1)) + хnР((x=хn)∩(h=у2)) +¼ + хnР((x=хn)∩(h=уk)) ++ у1Р((x=х1)∩(h=у1)) + у1Р((x=х2)∩(h=у1)) +¼ + у1Р((x=хn)∩(h=у1)) ++ у2Р((x=х1)∩(h=у2)) + у2Р((x=х2)∩(h=у2)) +¼ + у2Р((x=хn)∩(h=у2)) + ¼+ уkР((x=х1)∩(h=уk)) + уkР((x=х2)∩(h=уk)) +¼ + уkР((x=хn)∩(h=уk)) == х1(Р((x=х1)∩(h=у1)) + Р((x=х1)∩(h=у2)) +¼ + Р((x=х1)∩(h=уk))) ++ х2(Р((x=х2)∩(h=у1)) + Р((x=х2)∩(h=у2)) +¼ + Р((x=х2)∩(h=уk))) +¼ ++ хn(Р((x=хn)∩(h=у1)) + Р((x=хn)∩(h=у2)) +¼ + Р((x=хn)∩(h=уk))) ++ у1(Р((x=х1)∩(h=у1)) + Р((x=х2)∩(h=у1)) +¼ + Р((x=хn)∩(h=у1))) ++ у2(Р((x=х1)∩(h=у2)) + Р((x=х2)∩(h=у2)) +¼ + Р((x=хn)∩(h=у2))) + ¼+ уk(Р((x=х1)∩(h=уk)) + Р((x=х2)∩(h=уk)) +¼ + Р((x=хn)∩(h=уk))) == х1Р(x=х1) + х2Р(x=х2) +¼+ хn Р(x=хn) ++ у1Р(h=у1) + у2Р(h=у2) +¼+ у1Р(h=у1) = Mx + MhПри выводе этой формулы использован очевидный факт, что, например,событие x=х1 можно представить в виде объединения несовместных событий(x=х1)∩(h=у1), (x=х1)∩(h=у2), ¼, (x=х1)∩(h=уn).Пример.Заданы n одинаково распределённых случайных величин x1, x2, ¼, xn с закономраспределения10xiPpqНайти математическое ожидание суммы этих случайных величин.Решение.nM( å x i ) =i =1nå Mx i = npi =1Теорема.Если случайные величины x и h независимы, тоМ(xh) = Мx×МhДоказательство.Если заданы законы распределения двух независимых случайных величинxиh257xх1¼xi¼xnhy1¼yj¼ykРp11¼p1i¼p1nРp12¼p2j¼pk2то математическое ожидание произведения этих случайных величин можнопредставить следующим образом:М(xh) =nkå å хi y j pi1 p 2j=i =1 j =1=х1 p11kåj =1y j p 2j+х2 p12kåj =1y j p 2j+¼+хi p1ikåj =1y j p 2j¼+хn p1nkå y j p 2j=j =1n= х1 p11 Mh + х2 p12 Mh + ¼+ хi p1i Mh¼+ хn p1n Mh = Mh å xi pi = Мx×Мhi =1Дисперсия случайной величины.Дисперсия Dx случайной величины x определяется формулойDx = M(x – Mx)2Дисперсия случайной величины — это математическое ожидание квадратаотклонения случайной величины от её математического ожидания.Рассмотрим случайную величину x с законом распределения123x111Р623Вычислим её математическое ожидание.Mx = 1× 1 + 2× 1 + 3× 1 = 136236Составим закон распределения случайной величины x – Mxx– Mx5-7-1666111Р623а затем закон распределения случайной величины (x – Mx)225491(x– Mx)2363636111Р236Теперь можно рассчитать величину Dx :268Dx =1 125 1 49 1 17× +× +× =36 2 36 3 36 6 36Используя определение дисперсии, для дискретной случайной величиныформулу вычисления дисперсии можно представить в таком виде:Dx =nå xi - Mx 2i =1piМожно вывести ещё одну формулу для вычисления дисперсии:Dx =nå xi - Mx 2i =1=npi = å xi 2 - 2 xi Mx + M 2 x pi =i =1nnni =1i =1i =12å xi pi - 2Mx å xi pi + M 2 x å pi = Mx 2 - 2Mx × Mx + M 2x == Mx2 – M2xТаким образом, дисперсия случайной величины равна разности математического ожидания квадрата случайной величины и квадрата её математического ожидания.Пример.Найти дисперсию случайной величины, заданной законом распределенияxР1p0qВыше было показано, что Mx = р.
Легко видеть, что Mx2 = р. Таким образом,получается, что Dx = р – р2 = pq.Дисперсия характеризует степень рассеяния значений случайнойвеличины относительно её математического ожидания. Если все значенияслучайной величины тесно сконцентрированы около её математическогоожидания и большие отклонения от математического ожидания маловероятны,то такая случайная величина имеет малую дисперсию.
Если значения случайнойвеличины рассеяны и велика вероятность больших отклонений отматематического ожидания, то такая случайная величина имеет большуюдисперсию.Свойства дисперсии.1. Если k – число, то D(kx) = k2 Dx.Доказательство.279D(kx) = M(kx – M(kx))2 = M(kx – k Mx)2 = M(k2 (x – Mx)2) = k2M(x – Mx)2 == k2 Dx2. Для попарно независимых случайных величин x1, x2,¼, xn справедливоравенствоnni =1i =1D å x i = å Dx iЭто свойство оставим без доказательства. Рекомендуем читателю рассмотретьследующий пример.Пусть x и h – независимые случайные величины с заданными законамираспределения:xР00,2510,75hР10,720,7Показать, что D(x + h) = Dx + Dh.281Биномиальный закон распределения.Пусть заданы числа n Î N и p (0£ p £ 1).
Тогда каждому целому числу изпромежутка [0; n] можно поставить в соответствие вероятность, рассчитаннуюпо формуле Бернулли. Получим закон распределения случайной величины(назовём её b)b0¼k¼nР¼¼Cnk p k (1 - p ) n - k¼¼Будем говорить, что случайная величина b распределена по закону Бернулли.Такой случайной величиной является частота появления события А в nповторных независимых испытаниях, если в каждом испытании событие Апроисходит с вероятностью p.Рассмотрим отдельное i-е испытание. Пространство элементарныхисходов для него имеет видW = {A, A}Определим на этом пространстве случайную величину xi следующим образом:xi = 1, если происходит событие А;xi = 0, если происходит событие AЗакон распределения случайной величины xi рассматривался в предыдущемпараграфе.10xiРpq = 1–pMx = ×р; Dx = рqДля i = 1,2,¼,n получаем систему из n независимых случайных величин xi,имеющих одинаковые законы распределения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
