Лекционный курс в ПДФ (1119925), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Найти вероятность вытащить туза или червовую масть при случайномотборе одной карты из колоды в 32 листа.Р( ТУЗ ) = 4/32 = 1/8; Р( ЧЕРВОВАЯ МАСТЬ ) = 8/32 = 1/4;Р( ТУЗ ЧЕРВЕЙ ) = 1/32;Р(( ТУЗ ) U (ЧЕРВОВАЯ МАСТЬ )) = 1/8 + 1/4 - 1/32 =11/32Того же результата можно было достичь с помощью классического определениявероятности, пересчитав число благоприятных исходов.Условные вероятности.Рассмотрим задачу. Студент перед экзаменом выучил из 30 билетов билеты сномерами с 1 по 5 и с 26 по 30.
Известно, что студент на экзамене вытащил билет сномером, не превышающим 20. Какова вероятность, что студент вытащил выученныйбилет?9Определим пространство элементарных исходов: W=(1,2,3,...,28,29,30). Пустьсобытие А заключается в том, что студент вытащил выученный билет:А = (1,...,5,25,...,30,), а событие В — в том, что студент вытащил билет из первыхдвадцати: В = (1,2,3,...,20)Событие А∩В состоит из пяти исходов: (1,2,3,4,5), и его вероятность равна 5/30.Это число можно представить как произведение дробей 5/20 и 20/30. Число 20/30 - этовероятность события B. Число 5/20 можно рассматривать как вероятность события Апри условии, что событие В произошло (обозначим её Р(А/В)). Таким образом решениезадачи определяется формулойP(А∩В) = Р(А/В) Р(B)Эта формула называется формулой умножения вероятностей , а вероятностьР(А/В) — условной вероятностью события A.Пример..Из урны, содержащей 7 белых и 3 черных шаров, наудачу один задругим извлекают (без возвращения) два шара.
Какова вероятность того, что первыйшар будет белым, а второй черным?Пусть X — событие, состоящее в извлечении первым белого шара, а Y —событие, состоящее в извлечении вторым черного шара. Тогда X∩Y - событие,заключающееся в том, что первый шар будет белым, а второй — черным. P(Y/X) =3/9=1/3 — условная вероятность извлечения вторым черного шара, если первым былизвлечен белый. Учитывая, что P(X) = 7/10, по формуле умножения вероятностейполучаем: P(X∩Y) = 7/30Событие А называется независимым от события В (иначе: события А и Вназываются независимыми), если Р(А/В)=Р(А). За определение независимых событийможно принять следствие последней формулы и формулы умноженияP(А∩В) = Р(А) Р(B)Докажите самостоятельно, что если А и В — независимые события, то A и Bтоже являются независимыми события.Пример.Рассмотрим задачу, аналогичную предыдущей, но с однимдополнительным условием: вытащив первый шар, запоминаем его цвет и возвращаемшар в урну, после чего все шары перемешиваем.
В данном случае результат второгоизвлечения никак не зависит от того, какой шар - черный или белый появился припервом извлечении. Вероятность появления первым белого шара (событие А) равна7/10. Вероятность события В - появления вторым черного шара - равна 3/10. Теперьформула умножения вероятностей дает: P(А∩В) = 21/100.Извлечение шаров способом, описанным в этом примере, называется выборкойс возвращением или возвратной выборкой.Следует отметить, что если в двух последних примерах положить изначальныеколичества белых и черных шаров равными соответственно 7000 и 3000, то результатырасчетов тех же вероятностей будут отличаться пренебрежимо мало для возвратной ибезвозвратной выборок.10Лекция 3Формула полной вероятности.Пусть имеется группа событий H1, H2,..., Hn , обладающая следующимисвойствами:1) Все события попарно несовместны: Hi ∩ Hj =Æ; i, j=1,2,...,n; i¹j2) Их объединение образует пространство элементарных исходов W:W=H1U H2U ...
U Hn.В этом случае будем говорить, что H1, H2,...,Hnобразуют полную группу событий. Такиесобытия иногда называют гипотезами.Пусть А - некоторое событие: А Ì W(диаграмма Венна представлена на рисунке 8).Тогдаимеетместоформулаполнойвероятности:Рис.8nP(A) = P(A/ H1)P(H1) + P(A/ H2)P(H2) + ...+ P(A/ Hn)P(Hn) ==å P( A / Hi )P( Hi )i =1Доказательство. Очевидно: A = (A∩H1) U (A∩H2) U...U (A∩Hn), причем всесобытия A∩Hi (i = 1,2,...,n) попарно несовместны. Отсюда по теореме сложениявероятностей получаемP(A) = P(A∩H1) + P(A∩H1) +...+P(A∩Hn )Если учесть, что по теореме умножения P(A∩Hi) = P(A/Hi) P(Hi) (i = 1,2,...,n), тоиз последней формулы легко получить приведенную вышеформулу полнойвероятности.Пример. В магазине продаются электролампы производства трех заводов,причем доля первого завода - 30%, второго - 50%, третьего - 20%. Брак в их продукциисоставляет соответственно 5%, 3% и 2%.
Какова вероятность того, что случайновыбранная в магазине лампа оказалась бракованной.Пусть событие H1 состоит в том, что выбранная лампа произведена на первомзаводе, H2 на втором, H3 - на третьем заводе. Очевидно:P(H1) = 3/10, P(H2) = 5/10, P(H3) = 2/10.Пусть событие А состоит в том, что выбранная лампа оказалась бракованной;A/Hi означает событие, состоящее в том, что выбранна бракованная лампа из ламп,произведенных на i-ом заводе. Из условия задачи следует:P (A/H1) = 5/10; P(A/H2) = 3/10; P(A/H3) = 2/10По формуле полной вероятности получаемP( A) =355 32 217×+×+×=10 100 10 100 10 100 50011Лекция 3Формула БайесаПусть H1,H2,...,Hn - полная группа событий и АÌW - некоторое событие.
Тогда поформуле для условной вероятностиP( Hk / A)=P( Hk 1 A)P(A)(*)Здесь P(Hk /A) - условная вероятность события (гипотезы) Hk или вероятностьтого, что Hk реализуется при условии, что событие А произошло.По теореме умножения вероятностей числитель формулы (*) можно представитьв видеP(Hk∩A) = P(A∩Hk) = P(A /Hk) P(Hk)Для представления знаменателя формулы (*) можно использовать формулуполной вероятностиnP(A)=å P( A / Hi )P( Hi )i =1Теперь из (*) можно получить формулу, называемую формулой Байеса:P( A / H k )P( H k )P( H k / A) = nå P( A / Hi )P( Hi )i =1По формуле Байеса исчисляется вероятность реализации гипотезы Hk приусловии, что событие А произошло. Формулу Байеса еще называют формулойвероятности гипотез.Пример.Рассмотрим приведенную выше задачу об электролампах, толькоизменим вопрос задачи. Пусть покупатель купил электролампу в этом магазине, и онаоказалась бракованной.
Найти вероятность того, что эта лампа изготовлена на второмзаводе.Выпишем формулу Байеса для этого случаяP( H 2 / A) =P( A / H 2 )P( H 2 )P( A)Из этой формулы получаем: P(H2 / A) = 15/34Предлагаем читателю решить самостотельно две задачи..№1.В первой урне 7 белых и 3 черных шара, во второй - 8 белых и 2 черных.
Из первойурны случайным образом извлекается шар и перекладывается во вторую урну. Послеперемешивания шаров во второй урне из нее извлекается один шар. Найти вероятностьтого, что извлеченный из второй урны шар — белый.№2.В условие задачи №1 внесем изменение. Пусть после перекладывания шара изпервой урны во вторую из второй урны извлечен белый шар. Найти вероятность того,что из первой урны во вторую был переложен черный шар.12Лекция 3Повторные независимые испытания.
Формула Бернулли.Рассмотрим случай многократного повторения одного и того же испытания илислучайного эксперимента. Результат каждого испытания будем считать не зависящимот того, какой результат наступил в предыдущих испытаниях. В качестве результатовили элементарных исходов каждого отдельного испытания будем различать лишь двевозможности:1) появление некоторого события А;2) появление события A , (события, являющегося дополнением А)Пусть вероятность P(A) появления события А постоянна и равна p (0<.p<1).Вероятность P( A) события A обозначим через q: P( A ) = 1- p=q.Примерами таких испытаний могут быть:1) подбрасывание монеты: А - выпадение герба; A - выпадение цифры.P(A) = P( A ) = 0,5.2) бросание игральной кости: А - выпадение количества очков, равного пяти, Aвыпадение любого количества очков кроме пяти.P(A) =1/6, P( A ) =5/6.3) извлечение наудачу из урны, содержащей 7 белых и 3 черных шара, одного шара (свозвращением): А - извлечение белого шара, A - извлечение черного шараP(A) = 0,7; P( A ) = 0,3Пусть произведено n испытаний, которые мы будем рассматривать как одинсложный случайный эксперимент.
Составим таблицу из n клеток, расположенных вряд, пронумеруем клетки, и результат каждого испытания будем отмечать так: если в iм испытании событие А произошло, то в i-ю клетку ставим цифру 1, если событие А непроизошло (произошло событие A), в i-ю клетку ставим 0.Если, например, проведено 5 испытаний, и событие А произошло лишь во 2 -м и5-м испытаниях, то результат можно записать такой последовательностью нулей иединиц: 0; 1; 0; 0; 1.Каждому возможному результату n испытаний будет соответствоватьпоследовательность n цифр 1 или 0, чередующихся в том порядке, в которомпоявляются события A и A в n испытаниях, например:1; 1; 0; 1; 0; 1; 0; 0; ... 0; 1; 1; 0 """""" """""!n цифрВсего таких последовательностей можно составить 2 n (это читатель можетдоказать сам).Так как испытания независимы, то вероятность P каждого такого результатаопределяется путем перемножения вероятностей событий A и A в соответствующихиспытаниях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
