Лекционный курс в ПДФ (1119925), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Так, например, для написанного выше результата найдемP = p×p×q×p×q×p×q×q×...×q×p×p×q13Лекция 3Если в написанной нами последовательности единица встречается х раз (этозначит, что нуль встречается n-x раз), то вероятность соответствующего результатабудет pnqn-x независимо от того, в каком порядке чередуются эти x единиц и n-x нулей.Все события, заключающиеся в том, что в n испытаниях событие A произошло xраз, а событие A произошло n-x раз, являются несовместными. Поэтому длявычисления вероятности объединения этих событий (или суммы этих событий), нужносложить вероятности всех этих событий, каждая из которых равна pnqn-x .
Всего такихсобытий можно насчитать столько, сколько можно образовать различныхпоследовательностей длины n, содержащих x цифр "1" и n-x цифр "0". Такихпоследовательностей получается столько, сколькими способами можно разместить xцифр "1" (или n-x цифр "0") на n местах, то есть число этих последовательностей равноCnx = Cnn- xОтсюда получается формула Бернулли:Pn(x) = Cnx p x qn - xПо формуле Бернулли рассчитывается вероятность появления события A "x"раз в nповторных независимых испытаниях, где p - вероятность появления события A водном испытании, q - вероятность появления события A в одном испытании.Сформулированные условия проведения испытаний иногда называются "схемойповторных независимых испытаний" или "схемой Бернулли"Число x появления события A в n повторных независимых испытанияхназывается частотой.Пример.
Из урны, содержащей 2 белых и 6 черных шаров наудачу выбирается свозвращением 5 раз подряд один шар. Подсчитать вероятность того, что 4 разапоявится белый шар.В приведенных выше обозначениях n=8; p=1/4; q=3/4; x=5. Искомуювероятность вычисляем по формуле Бернулли:æ 1 ö 4æ 3ö 15P8 (5) = C54ç ÷ ç ÷ =è 4ø è 4ø 1024По формуле Бернулли можно подсчитать вероятности всех возможных частот:x=0,1,2,3,4,5.Заметим, что если в этой задаче считать, что белых шаров было 20000, а черных60000, то очевидно p и q останутся неизменными.
Однако в этой ситуации можнопренебречь возвращением извлеченного шара после каждой выборки (при не слишкомбольших значениях x) и считать вероятности всех частот: x=0,1,2,... по формулеБернулли.Формула Бернулли при заданных числах p и n позволяет рассчитыватьвероятность любой частоты x (0 £ x £ n). Возникает естественный вопрос: какой частотебудет соответствовать наибольшая вероятность?Предположим, что такая частота существует, и попытаемся ее определить изусловия, что вероятность этой частоты не меньше вероятности "предыдущей" и"последующей" частот:Pn(x) ³ Pn (x-1); Pn(x) ³ Pn (x+1)(1)Первое неравенство (*) представляется в виде:14Лекция 3Cnx p x qn- x ³ Cnx -1 p x -1qn- x +1 ,что эквивалентноpq£или qx £ pn - px + p .
Отсюда следует:x n- x +1x £ np + pРешая второе неравенство (1), получимx ³ np - qТаким образом, частота, имеющая наибольшую вероятность (чем вероятнейшаячастота), определяется двойным неравенствомnp - q £ x £ np + pЕсли np + p – целое число (тогда и np – q – целое число), то две частоты: x=np –1q и x=np + p обладают наибольшей вероятностью. Например, при n = 7; p = ,2наивероятнейшие частоты: x = 3; x = 4.Случайная величина, распределенная по закону Бернулли.При двух заданных числах:1) n - количестве повторных независимых испытаний,2) p - вероятности события A в одном испытанииможно по формуле Бернулли подсчитать значение вероятности каждого целого числа x0 £ x £ n , где x – число появлений события A в n испытаниях (частота появлениясобытия A).Таким образом, каждому исходу случайного эксперимента, заключающегося всерии из n испытаний по схеме Бернулли, соответствует определенное число x,рассматриваемое как случайная величина, принимающая значения 0, 1, 2,...n.Соответствие между значениями x и их вероятностями (рассчитанными по формулеБернулли) называется законом распределения Бернулли.
Строгое определениеслучайной величины и закона распределения будет дано позже.Можнопостроитьграфикзаконараспределения Бернулли (зависимости Pn x ) дляконкретных значений n и p. Так как аргумент xпринимаетлишьцелыезначения,графикпредставляется в виде точек на плоскости x, Pn x .Для наглядности точки соединяются ломанойлинией, и такой график называется полигономраспределения.15Лекция 3При p = 0,5 , как показано на рисунке 9,полигон симметричен относительно прямой x=np(если p близко к 0,5, то полигон близок ксимметричному)При малых p полигон существенноасимметричен, и наивероятнейшими являютсячастоты, бизкие к нулю. На рисунке 10 изображенполигон распределения для p=0,2 при числеиспытаний n,равном 6-ти.При больших p, близких к 1, наиболеевероятны максимальные значения.
На рисунке 11показан полигон распределения, для p=0,8 и n=6.Одругихсвойствахбернуллиевскогораспределения будет говориться позже.16Лекция 4Асимптотические формулы для формулы Бернулли.В практических задачах часто приходится вычислять вероятностиразличных событий, связанных с числом успехов в n испытаниях прибольших значениях n. В этих случаях вычисления по формуле по формулеБернулли становятся затруднительными. Трудности возрастают, когдаприходится суммировать вероятности Pn x . К суммированию сводитсявычисление вероятностей событий вида k £ x£ l, как, например, в такойзадаче:Проводится 70 испытаний по схеме Бернулли с вероятностьюпоявления события А в одном испытании, равной 0,4. Найти вероятностьтого, что событие А произойдет от 25 до 35 раз, то есть найтиPn(25£ x £ 35).В отдельных случаях при больших n удается заменить формулуБернулли приближенными формулами.
Такие формулы, которыеполучаются при условии n ® ¥ называются асимптотическими.Если n достаточно велико, а p - величина очень малая, для формулыБернулли имеет место приближенная (асимптотическая) формулаPn x =cnx p x q n - xlx -1» ex!Здесь l = np ( l - греческая буква "лямбда"). Эта формула называетсяформулой Пуассона. По формуле Пуассона вычисляются вероятностичисла появлений очень редких событий в массовых испытаниях.Задача. Телефонная станция обслуживает 1000 абонентов. В течениечаса любой абонент независимо от остальных может сделать вызов свероятностью 0,05. Требуется найти вероятность того, что в течение часабыло не более 7 вызовов.Здесь l = np = 5. Пусть x - число вызовов.
Нас интересуют значенияx, равные 0, 1, K ,7.50 - 55 -157 - 7P0 = e ;P1 = e ;KP7 = e0!1!7!-5 æ5 2 53 5 4 555657 öç÷÷ » 0,867P0 £ x £ 7 = e ç1 + 5 + + ++++26241207205040èø17Лекция 4Если n достаточно велико, p не сильно отличается от 0,5, имеетместо формула Муавра-Лапласа, иногда называемая локальнойформулой Лапласа.Pn x =cnxxp qn- x=1e2Fnpq-t 22,где t =x - npnpqИз формулы видно, что одинаковые отклонения от величины npвправо и влево здесь имеют одинаковые вероятности. В формуле Бернуллиэто имеет место лишь при p=0.5.Чтобы определить вероятность того, что в 50 испытаниях по схемеБернулли при p=0.45 событие А наступило 30 раз, нужно воспользоватьсятаблицей значений функции y = ex .
Часто встречаются таблицы значенийтак называемой "локальной" функции Лапласа.y=1e2F-t 22Если n достаточно велико, а p не сильно отличается от 0,5, имеетместо интегральная формула Лапласа:Pn m1 £ x £ m2 =m2å cnx p x q n - x = F> - F= x = m1- u2x - pnx - np1 t 2Здесьdu—>= 2;= = 1; . t =òenpqnpq2F 0Лапласа, значения которой определяются из таблиц.Для вычислений используются свойства функции Лапласа1) . 0 = 0функция2) .
¥ = 0,53) . - t = -. t .При t=3,5. t = 0,499767, и так как . t - монотонновозрастающая функция, в практических расчетах при t > 3,5 можнопринимать . t = 0,5 .Задача. Игральную кость бросают 800 раз. Какова вероятность того,что число очков, кратное 3, выпадает не менее 280 и не более 294 раз?18Лекция 412Здесь n = 800; p = ;q =33æ1öæ 280 - 800 × 1 öç 294 - 800 × ÷3 ÷ - Fç3÷=P300 280 £ x £ 294 = Fçç1 2 ÷ç 800 × 1 × 2 ÷ç 800 × × ÷3 3 ø3 3 øèèF 2,05 - F1 = 0,479818 - 0,341343 » 0,14191Дискретные случайные величины.Часто результатом случайного эксперимента является число. Например,можно подбросить игральную кость и получить одно из чисел: 1,2,3,4,5,6.Можно подъехать к бензоколонке и обнаружить определённое числоавтомашин в очереди. Можно выстрелить из пушки и измерить расстояние отместа выстрела до места падения снаряда. В таких случаях будем говорить, чтоимеем дело со случайной величиной.Каждому исходу случайного эксперимента поставим в соответствиеединственное число xk — значение случайной величины.
Тогда естественнорассматривать случайную величину как функцию, заданную на множествеисходов случайного эксперимента.Случайная величина, которая может принимать лишь конечное илисчётное число значений, называется дискретной.Случайные величины будем обозначать буквами греческого алфавита: x(кси), h (эта), ¼ Значения случайной величины будем записывать в видеконечной или бесконечной последовательности x1, x2,¼, xn,¼Если говорится, что задана случайная величина x, это значит, чтокаждому исходу wk случайного эксперимента поставлено в соответствиеединственное число xk, что записывается в виде равенства xk = x(wk).Некоторые из значений xk могут совпадать, то есть различным исходам wможет соответствовать одно и то же число x.
Если все значения случайнойвеличины совпадают, то будем говорить, что случайная величина постоянна.Пусть Аk — множество всех элементарных исходов, каждому из которыхсоответствует значение xk (k = 1,2,¼,n) случайной величины x. Этот фактможно записать в виде формулыAk =7 wii :x w i = x kТаким образом, Аk – это событие (строго говоря, это верно лишь в случаеконечного или счётного числа исходов). Для каждого события Аk определимчисло рk ³ 0, равное вероятности этого события: рk = P(Ak).
Очевидно, чтоnnk =1i =17 Ak = W , Ai∩Aj = Æ (i,j = 1,2,¼,n, i¹j), å pk = 1.Теперь каждому значению xk случайной величины x можно поставить всоответствие вероятность рk = P(Ak) события Аk. Если такое соответствиеопределено то будем говорить, что задан закон распределения дискретнойслучайной величины x. Обычно закон распределения дискретной случайнойвеличины представляется в виде таблицы202х2х3(1)х1хnx¼Pp1p2p3pn¼В дальнейшем для краткости будем называть величину pi вероятностьюзначения хi случайной величины. Отметим, что закон распределения содержитвсю информацию о случайной величине, и задать случайную величину можно,просто представив её закон распределения.Пусть две случайные величиныx = {x1,x2,¼,xn}; h = {у1, у2,¼,уm}(2)определены на одном и том же пространстве элементарных исходов.
Если Аi(i = 1,2,¼,n) – событие, объединяющее все исходы, приводящие к значению хiслучайной величины x, а Вj (j = 1,2,¼,m) – событие, объединяющее все исходы,приводящие к значению уi случайной величины h, то можно определитьслучайную величину z = x + h, которая принимает все возможные значенияzij = xi + yj. Каждому такому значению zij случайной величины z ставится всоответствие вероятность pij , равная вероятности пересечения событий Аi и Вj:pij = P(Ai∩Bj).Таким образом определяется закон распределения суммы двух случайныхвеличин. Также можно определить законы распределения разности x – h,Nслучайных величин (последний лишь в случае,произведения xh и частногоDесли h не принимает нулевого значения).Две случайные величиныx = {x1,x2,¼,xn}; h = {у1, у2,¼,уm},определённые на одном и том же пространстве элементарных исходов,имеющие законы распределенияxРх1p11¼¼xip1i¼¼hРy1p12¼¼yjp 2j¼¼называются независимыми, если при любых i и j выполняется равенствоР((x = хi)∩ (h = yj)) =p1i p 2jПример1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
