Лекционный курс в ПДФ (1119925), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Если ввариационном интервальном ряду каждый интервал [=i; =i+1) заменитьлежащим в его середине числом (=i+=i+1)/2, то получим дискретныйвариационный ряд. Такая замена вполне естественна, так как, например,при измерении размера детали с точностью до одного миллиметра всемразмерам из промежутка [49,5; 50,5), будет соответствовать одно число,равное 50.56Лекция 11.Точечные оценки параметров генеральной совокупности.Во многих случаях мы располагаем информацией о виде законараспределения случайной величины (нормальный, бернуллиевский,равномерный и т.
п.), но не знаем параметров этого распределения, такихкак MN, DN. Для определения этих параметров применяется выборочныйметод.Пусть выборка объема n представлена в виде вариационного ряда.Назовем выборочной средней величинуx=x1m1 + x2 m2 + ... + xk mkmmm= x1 1 + x2 2 + ...
+ knnnnmiназывается относительной частотой значения признакаnxi. Если значения признака, полученные из выборки не группировать и непредставлять в виде вариационного ряда, то для вычисления выборочнойсредней нужно пользоваться формулойВеличина M i =1 nx = å xi .n i =1Естественно считать величину x выборочной оценкой параметраMN.
Выборочная оценка параметра, представляющая собой число,называется точечной оценкой.Выборочную дисперсию1 n2I = å xi - x M i = å xi - x n i =1i =12k2можно считать точечной оценкой дисперсии DN генеральнойсовокупности.Приведем еще один пример точечной оценки. Пусть каждый объектгенеральной совокупности характеризуется двумя количественнымипризнаками x и y. Например деталь может иметь два размера – длину иширину. Можно в различных районах измерять концентрацию вредныхвеществ в воздухе и фиксировать количество легочных заболеванийнаселения в месяц.
Можно через равные промежутки времени57Лекция 11.сопоставлять доходность акций данной корпорации с каким-либоиндексом, характеризующим среднюю доходность всего рынка акций. Вэтом случае генеральная совокупность представляет собой двумернуюслучайную величину N, D. Эта случайная величина принимает значения x, yна множестве объектов генеральной совокупности. Не зная законасовместного распределения случайных величин N и D, мы не можемговорить о наличии или глубине корреляционной связи между ними,однако некоторые выводы можно сделать, используя выборочный метод.Выборку объема n в этом случае представим в виде таблицы, гдеi-тый отобранный объект (i= 1,2,...n) представлен парой чисел xi, yi :x2x1...xny1y2...ynВыборочный коэффициент корреляции рассчитывается по формулеrxy =xy - x yI xI yЗдесь21 n1 n2xy = å xi yi , I x = I x =å xi - x ,n i =1n i =12Iy = Iy21 n=å yi - y .n i =1Выборочный коэффициент корреляции можно рассматривать какточечную оценку коэффициента корреляции HND, характеризующегогенеральную совокупность.Выборочные параметры x, sx , rxy или любые другие зависят от того,какие объекты генеральной совокупности попали в выборку и различаютсяот выборки к выборке.
Поэтому они сами являются случайнымивеличинами.58Лекция 11.Пусть выборочный параметр @ рассматривается как выборочнаяоценка параметра , генеральной совокупности и при этом выполняетсяравенствоM@ =,.Такая выборочная оценка называется несмещенной.Для доказательства несмещённости некоторых точечных оценокбудем рассматривать выборку объема n как систему n независимыхслучайных величин N1, N2,... Nn , каждая из которых имеет тот же законраспределения с теми же параметрами, что и случайная величина N,представляющая генеральную совокупность. При таком подходестановятсяочевиднымиравенства:Mxi = MNi =MN;Dxi = DNi =DN для всех k = 1,2,...n.Теперь можно показать, что выборочная средняя x естьнесмещенная оценка средней генеральной совокупности или , что то жесамое, математического ожидания интересующей нас случайной величиныN:Mx = Mx1 + x2 + ... + xn 11= MN1 + MN 2 + ...
+ MN n = nMN = MN .nnnВыведем формулу для дисперсии выборочной средней:Dx = Dx1 + x2 + ... + xnn=DN11DDDnD.N+N+...+N=N=12n1nn2n2Найдем теперь, чему равно математическое ожидание выборочнойдисперсии I 2. Сначала преобразуем I 2 следующим образом:1 n1 n22I = å xi - x = å xi - MN + MN - x =n i =1n i=121 n22= å xi - MN - 2 xi - MN x - MN + x - MN =n i =159Лекция 11.=1 nxi - MN 2 - x - MN 2ån i =1Здесь использовано преобразование:nni =1i =1å 2xi - MN x - MN = 2x - MN å xi - MN =nöæ n2= 2 x - MN çç å xi - å MN ÷÷ = 2 x - MN nx - nMN = 2n x - MN i =1øè i =1Теперь, используя полученное выше выражение для величины I 2,найдем ее математическое ожидание.2æ1 nö2çMI = M å xi - MN - x - MN ÷ =ç n i =1÷èø2=1 n122M xi - MN - M x - MN = n DN - Dx =ån i =1n= DN -DN n - 1DN .=nnТак как Ms 2 ¹ Dx, выборочная дисперсия не являетсянесмещенной оценкой дисперсии генеральной совокупности.Чтобы получить несмещенную оценку дисперсии генеральнойnсовокупности, нужно умножить выборочную дисперсию на.
Тогдаn -1nполучится величина s 2 =I 2 , называемая исправленной выборочнойn -1дисперсией.s2 =1 n xi - x 2ån - 1 i =160Лекция 11.Пусть имеется ряд несмещенных точечных оценок одного и того жепараметра генеральной совокупности. Та оценка, которая имеет наименьшую дисперсию называется эффективной.Полученная из выборки объема n точечная оценка dn параметра ,генеральной совокупности называется состоятельной, если она сходитсяпо вероятности к D. Это означает, что для любых положительных чисел A иC найдется такое число nAC , что для всех чисел n, удовлетворяющихнеравенству n > nAC выполняется условие P@ n - D < A > 1 - C .x и s 2 являются несмещёнными, состоятельными и эффективнымиоценками величин MN и DN.61Лекция 12.Интервальные оценки.Точечные оценки параметров генеральной совокупности могут бытьприняты в качестве ориентировочных, первоначальных результатовобработки выборочных данных.
Их недостаток заключается в том, чтонеизвестно, с какой точностью оценивается параметр. Если для выборокбольшого объема точность обычно бывает достаточной (при условиинесмещенности, эффективности и состоятельности оценок), то длявыборок небольшого объема вопрос точности оценок становится оченьважным.Введем понятие интервальной оценки неизвестного параметрагенеральной совокупности (или случайной величины N, определенной намножестве объектов этой генеральной совокупности).
Обозначим этотпараметр через ,. По сделанной выборке по определенным правиламнайдем числа ,1 и ,2, так чтобы выполнялось условие:P(,1< ,< ,2) =P (,Î(,1; ,2)) = gЧисла ,1 и ,2 называются доверительными границами, интервал (,1, ,2)— доверительным интервалом для параметра ,. Число g называетсядоверительной вероятностью или надежностью сделанной оценки.Сначала задается надежность. Обычно ее выбирают равной 0.95,0.99 или 0.999. Тогда вероятность того, что интересующий нас параметрпопал в интервал (,1, ,2) достаточно высока. Число (,1 + ,2) / 2 – серединадоверительного интервала – будет давать значение параметра , сточностью (,2 – ,1) / 2, которая представляет собой половину длиныдоверительного интервала.Границы ,1 и ,2 определяются из выборочных данных и являютсяфункциями от случайных величин x1, x2,..., xn , а следовательно – самислучайные величины.
Отсюда – доверительный интервал (,1, ,2) тожеслучаен. Он может покрывать параметр , или нет. Именно в таком смысленужно понимать случайное событие, заключающееся в том, чтодоверительный интервал покрывает число ,.62Лекция 12.Доверительный интервал для математического ожиданиянормального распределения при известной дисперсии.Пусть случайная величина N (можно говорить о генеральнойсовокупности) распределена по нормальному закону, для которогоизвестна дисперсия DN = I 2 (I > 0).
Из генеральной совокупности (намножестве объектов которой определена случайная величина) делаетсявыборка объема n. Выборка x1, x2,..., xn рассматривается как совокупностьn независимых случайных величин, распределенных так же как N (подход,которому дано объяснение выше по тексту).Ранее также обсуждались и доказаны следующие равенства:Mx1 = Mx2 = ... = Mxn = MN;Dx1 = Dx2 = ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
