Лекционный курс в ПДФ (1119925), страница 11
Текст из файла (страница 11)
= Dxn = DN;M x = MN;D x = DN /n;Достаточно просто доказать (мы доказательство опускаем), чтослучайная величина x в данном случае также распределена понормальному закону.Обозначим неизвестную величину MN через a и подберем позаданной надежности C число d > 0 так, чтобы выполнялось условие:P(| x – a| < d) = C(1)Так как случайная величина x распределена по нормальному законус математическим ожиданием M x = MN = a и дисперсией D x = DN /n = I2/n, получаем:P(| x – a| < d) =P(a – d < x < a + d) =æöæöç÷ç÷æö+adaada÷ - Fç÷ = 2Fç d n ÷= Fçç I ÷Iç÷ç÷èøçç÷÷n øn øèè63Лекция 12.Осталось подобрать d таким, чтобы выполнялось равенствоæd nö Cæd nö÷÷ = .÷÷ = C или Fçç2FççIIø 2øèèДля любого C Î[0;1] можно по таблице найти такое число t, что.( t )= C / 2.
Это число t иногда называют квантилем.Теперь из равенстваd n=tIIt.nОкончательный результат получим, представив формулу (1) в виде:определим значение d: d =ItIt öæ<a<x+Pç x ÷ =C .nnøèСмысл последней формулы состоит в следующем: с надежностью Cдоверительный интервалItIt öæ;x +çx ÷nnøèпокрывает неизвестный параметр a = MN генеральной совокупности.Можно сказать иначе: точечная оценка x определяет значение параметраMN с точностью d=I t / n и надежностью g.Задача. Пусть имеется генеральная совокупность с некоторойхарактеристикой, распределенной по нормальному закону с дисперсией,равной 6,25.
Произведена выборка объема n = 27 и полученосредневыборочное значение характеристики x = 12. Найти доверительныйинтервал, покрывающий неизвестное математическое ожиданиеисследуемой характеристики генеральной совокупности с надежностьюC =0,99.Решение. Сначала по таблице для функции Лапласа найдем значениеt из равенства . (t) = C / 2 = 0,495.
По полученному значениюt = 2,58 определим точность оценки (или половину длины доверительного64Лекция 12.интервала) d: d = 2,5´2,58 / 27 » 1,24. Отсюда получаем искомыйдоверительный интервал: (10,76; 13,24).Доверительный интервал для математического ожиданиянормального распределения при неизвестной дисперсии.Пусть N – случайная величина, распределенная по нормальномузакону с неизвестным математическим ожиданием MN, которое обозначимбуквой a .
Произведем выборку объема n. Определим среднюювыборочную x и исправленную выборочную дисперсию s2 по известнымформулам.Случайная величинаt=x - a nsраспределена по закону Стьюдента с n – 1 степенями свободы.Задача заключается в том, чтобы по заданной надежности C и почислу степеней свободы n – 1 найти такое число tC , чтобывыполнялось равенствоæ x - a n< tCPççsèö÷=C÷ø(2)или эквивалентное равенствоs ösæ< a < x + tCPç x - tC÷ = C.nnèø(3)Здесь в скобках написано условие того, что значение неизвестногопараметра a принадлежит некоторому промежутку, который и являетсядоверительным интервалом.
Его границы зависят от надежности C , атакже от параметров выборки x и s.Чтобы определить значение tC по величине C, равенство (2)преобразуем к виду:65Лекция 12.æ x - a n³ tCPççsèö÷ = 1- C÷øТеперь по таблице для случайной величины t, распределенной по законуСтьюдента, по вероятности 1 – C и числу степеней свободы n – 1 находимtC . Формула (3) дает ответ поставленной задачи.Задача. На контрольных испытаниях 20-ти электроламп средняяпродолжительность их работы оказалась равной 2000 часов при среднемквадратическом отклонении (рассчитанном как корень квадратный изисправленной выборочной дисперсии), равном 11-ти часам.
Известно, чтопродолжительность работы лампы является нормально распределеннойслучайной величиной. Определить с надежностью 0,95 доверительныйинтервал для математического ожидания этой случайной величины.Решение. Величина 1 – C в данном случае равна 0,05. По таблицераспределения Стьюдента, при числе степеней свободы, равном 19,находим: tC = 2,093. Вычислим теперь точность оценки: 2,093´121/ 20 =56,6. Отсюда получаем искомый доверительный интервал:(1943,4; 2056,6).Доверительный интервал для дисперсии нормальногораспределения.Пусть случайная величина N распределена по нормальному закону,для которого дисперсия DN неизвестна.
Делается выборка объема n . Изнее определяется исправленная выборочная дисперсия s2. Случайнаявеличина?2n - 1s 2=DNраспределена по закону ?2 c n –1 степенями свободы. По заданнойнадежности C можно найти сколько угодно границ ?12 и ?22 интервалов,таких, что22P ?1 < ? 2 < ? 2 = C(*)66Лекция 12.Найдем ?12 и ?22 из следующих условий:P(?2 £ ?12) = (1 – C )/ 2(**)P(?2 ³ ?22) = (1 – C )/ 2(***)Очевидно, что при выполнении двух последних условий справедливоравенство (*).В таблицах для случайной величины ?2 обычно дается решениеуравнения P(?2 ³?q2) = q . Из такой таблицы по заданной величине q и почислу степеней свободы n – 1 можно определить значение ?q2.
Такимобразом, сразу находится значение ?22 в формуле (***).Для определения ?12 преобразуем (**):P(?2 ³ ?12) = 1 – (1 – C )/ 2 = (1 + C )/ 2Полученное равенство позволяет определить по таблице значение ?12.Теперь, когда найдены значения ?12 и ?22, представим равенство (*) ввидеæ 2 n - 1s 22ö< ? 2 ÷÷ = C .Pçç ?1 <DNèøПоследнее равенство перепишем в такой форме, чтобы былиопределены границы доверительного интервала для неизвестнойвеличины DN:æ n - 1s 2n - 1s 2 ö÷ç< DN <Pç22÷=C .??21èøОтсюда легко получить формулу, по которой находится доверительныйинтервал для стандартного отклонения:æPççèn - 1s?22< DN <n - 1s ö÷?12÷ø=C(****)67Лекция 12.Задача. Будем считать, что шум в кабинах вертолетов одного и тогоже типа при работающих в определенном режиме двигателях — случайнаявеличина, распределенная по нормальному закону.
Было случайнымобразом выбрано 20 вертолетов, и произведены замеры уровня шума (вдецибелах) в каждом из них. Исправленная выборочная дисперсияизмерений оказалась равной 22,5. Найти доверительный интервал,накрывающий неизвестное стандартное отклонение величины шума вкабинах вертолетов данного типа с надежностью 98%.Решение. По числу степеней свободы, равному 19, и по вероятности(1 – 0,98)/2 = 0,01 находим из таблицы распределения ?2 величину?22 = 36,2. Аналогичным образом при вероятности (1 + 0,98)/2 = 0,99получаем ?12 = 7,63.
Используя формулу (****), получаем искомыйдоверительный интервал: (3,44; 7,49).68Лекция 13.Задачи статистической проверки гипотез.Статистическая проверка гипотез является вторым послестатистического оценивания параметров распределения и в то же времяважнейшим разделом математической статистики.Методы математической статистики позволяют проверитьпредположения о законе распределения некоторой случайной величины(генеральной совокупности), о значениях параметров этого закона(например Mx, Dx ), о наличии корреляционной зависимости междуслучайными величинами, определенными на множестве объектов одной итой же генеральной совокупности.Пусть по некоторым данным имеются основания выдвинутьпредположения о законе распределения или о параметре законараспределения случайной величины (или генеральной совокупности, намножестве объектов которой определена эта случайная величина). Задачазаключается в том, чтобы подтвердить или опровергнуть этопредположение, используя выборочные (экспериментальные) данные.Гипотезы о значениях параметровраспределения или осравнительной величине параметров двух распределений называютсяпараметрическими гипотезами.Гипотезы о виде распределения называются непараметрическимигипотезами.Проверить статистическую гипотезу – это значит проверить,согласуются ли данные, полученные из выборки с этой гипотезой.Проверка осуществляется с помощью статистического критерия.Статистический критерий – это случайная величина, законраспределения которой (вместе со значениями параметров) известен вслучае, если принятая гипотеза справедлива.
Этот критерий называютеще критерием согласия (имеется в виду согласие принятой гипотезы срезультатами, полученными из выборки).Гипотезу, выдвинутую для проверки ее согласия с выборочнымиданными, называют нулевой гипотезой и обозначают H0. Вместе с69Лекция 13.гипотезой H0 выдвигается альтернативнаягипотеза, которая обозначается H1. Например:1) H0: Mx= 02) H0: Mx= 0иликонкурирующая3) H0: Mx= 0H1: Mx> 0H1: Mx= 2H1: Mx¹ 0Пусть случайная величина K – статистический критерий проверкинекоторой гипотезы H0. При справедливости гипотезы H0 законраспределения случайной величины K характеризуется некоторойизвестной нам плотностью распределения pK(x).Выберем некоторую малую вероятность a, равную 0,05 , 0,01 илиеще меньшую. Определим критическое значение критерия Kкр какрешение одного из трех уравнений, в зависимости от вида нулевой иконкурирующей гипотез:P(K> Kкр) = a(1)P(K< Kкр) = a(2)P((K< Kкр1)Ç(K> Kкр2)) = a(3)Возможны и другие уравнения, но они встречаются значительно реже, чемприведенные.Решение уравнения (1) (то же самое для уравнений (2) и (3))заключается в следующем: по вероятности a, зная функцию pK(x),заданную как правило таблицей, нужно определить Kкр.Что означает условие (1)?Если гипотеза H0 справедлива, то вероятность того, что критерий Kпревзойдет некоторое значение Kкр очень мала – 0,05 , 0,01 или ещеменьше, в зависимости от нашего выбора.
Если Kв – значение критерия K,рассчитанное по выборочным данным, превзошло значение Kкр, этоозначает, что выборочные данные не дают основания для принятиянулевой гипотезы H0 ( например, если a=0,01 , то можно сказать, чтопроизошло событие, которое при справедливости гипотезы H0 встречаетсяв среднем не чаще, чем в одной из ста выборок). В этом случае говорят,70Лекция 13.что гипотеза H0 не согласуется с выборочными данными и должнабыть отвергнута. Если Kв не превосходит Kкр, то говорят, чтовыборочные данные не противоречат гипотезе H0, и нет основанийотвергать эту гипотезу.Для уравнения (1) область K> Kкр называется критическойобластью. Если значение Kв попадает в критическую область, тогипотеза H0 отвергается.Для уравнения (1) область K < Kкр называется областью принятиягипотезы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
