Лекционный курс в ПДФ (1119925), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Кривая плотности распределениясхожа с аналогичной кривой для нормальногораспределения.Таблицы распределения Стьюдентапозволяют при данном числе степеней свободы k по вероятности qопределить значение tq, для которого выполняется соотношение P(|t| > tq) =q. Фрагмент такой таблицы представляет собой таблица 2.q0,10,05...0,010,005...16,31412,71...63,57318........................121,7822,179...3,0553,428........................kТаблица 2Задача. Найти симметричный интервал, в который случайнаявеличина, распределенная по закону Стьюдента с 12-ю степенямисвободы, попадает вероятностью 0,9.Решение.
Очевидны соотношения:P(–x < t < x) = P(|t| < x) = 1 – P(|t| ³ x) = 0,9.Из последнего равенства следует:P(|t| ³ x) = 0,1 , (n = 12).Определяем из таблицы: x = 1,782. Нестрогое неравенство в скобках влевой части последней формулы нас не должно смущать, так как мыимеем дело с непрерывной случайной величиной, и вероятность того, чтоона примет конкретное значение, равна нулю.49Лекция 10.Задача. Найти значение x из условия P(t > x) = 0,995 , где t –случайная величина, распределенная по закону Стьюдента с 12-юстепенями свободы.Решение. На рисунке 4 изображенграфик плотности распределения Стьюдента с12-ю степенями свободы. Вероятность того,что случайная величина примет значение изобласти справа от точки x1 равна 0,995 ,следовательно в область левее этой точки случайная величина попадает свероятностью 0,005. Чтобы найти x1, рассмотрим две симметричныеобласти, изображенные на рисунке 5.Допустим, что в каждой из этих областейзначение случайной величины оказывается свероятностью 0,005.
Тогда получаем: x1= – x,x2 = x, причем x определяется из условияP(|t| > x) = 0,01. Из таблицы 2 находим: x = 3,055. Теперь можно выписатьответ задачи:P(t > –3,055) = 0,995.Распределение Фишера.Важные приложения имеет в статистике случайная величинаNkkNF= 1 = 2 ,Dk1Dk2где x – случайная величина, распределенная по закону c2 с k1 степенямисвободы, а h – случайная величина, распределенная по закону c2 с k2степенями свободы.Случайная величина F распределена по закону, называемомузаконом распределения Фишера с k1 и k2 степенями свободы. При50Лекция 10.заданных числах k1 и k2 и по вероятности q по таблице определяетсязначение Fq такое, чтоP(F > Fq) = q.Обычно таблицы составляются для значений q, равных 0,05 или0,01, а иногда для обоих этих значений.
Фрагмент такой таблицыпредставляет собой таблица 3.k11...10...20...161,4...241,9...248...k21647,860566209.....................104,96...2,97...2,77...10,04......4,85......4,41.........Таблица 3.В этой таблице в верхней части каждой клетки дается значение Fqпри q = 0,05 , а в нижней части — при q = 0,01.51Лекция 11.Математическая статистика.Основной задачей математической статистики является разработкаметодов получения научно обоснованных выводов о массовых явлениях ипроцессах из данных наблюдений и экспериментов. Эти выводы изаключения относятся не к отдельным испытаниям, из повторениякоторых складывается данное массовое явление, а представляют собойутверждения об общих вероятностных характеристиках данного процесса,то есть о вероятностях, законах распределения, математическихожиданиях, дисперсиях и т.
д. Такое использование фактических данныхкак раз и является отличительной чертой статистического метода.Пустьмырасполагаемсведениями(обычнодовольноограниченными), например, о числе дефектных изделий в изготовленной вопределенных условиях продукции или о результатах испытанийматериалов на разрушение и т. п. Собранные нами данные могутпредставлять непосредственный интерес в смысле информации о качестветой или иной партии продукции. Статистические же проблемы возникаюттогда, когда мы на основе той же информации начинаем делать выводыотносительно более широкого круга явлений. Так например нас можетинтересовать качество технологического процесса, для чего мы оцениваемвероятность получения в нем дефектного изделия или среднююдолговечность изделия. В этом случае мы рассматриваем собранныйматериал не ради его самого, а лишь как некую пробную группу иливыборку, представляющую только серии из возможных результатов,которые мы могли бы встретить при продолжении наблюдений массовогопроцесса в данной обстановке.
Выводы и оценки, основанные наматериале наблюдений, отражают случайный состав пробной группы ипоэтому считаются приблизительными оценками вероятностногохарактера. Во многих случаях теория указывает, как наилучшим способомиспользовать имеющуюся информацию для получения по возможностиболее точных и надежных характеристик, указывая при этом степеньнадежности выводов, объясняющуюся ограниченностью запаса сведений.52Лекция 11.В математической статистике рассматриваются две основныекатегории задач: оценивание и статистическая проверка гипотез. Перваязадача разделяется на точечное оценивание и интервальное оцениваниепараметров распределения. Например может возникнуть необходимостьпо наблюдениям получить точечные оценки параметров MN и DN.
Еслимы хотим получить некоторый интервал, с той или иной степеньюдостоверности содержащий истинное значение параметра, то это задачаинтервального оценивания.Вторая задача – проверка гипотез – заключается в том, что мыделаем предположение о распределении вероятностей случайнойвеличины (например, о значении одного или нескольких параметровфункции распределения) и решаем, согласуются ли в некотором смыслеэти значения параметров с полученными результатами наблюдений.Выборочный метод.Пусть нам нужно обследовать количественный признак в партииэкземпляров некоторого товара.
Проверку партии можно проводить двумяспособами:1) провести сплошной контроль всей партии;2) провести контроль только части партии.Первый способ не всегда осуществим, например, из–за большогочисла экземпляров в партии, из–за дороговизны проведения операцииконтроля, из–за того, что контроль связан с разрушением экземпляра(проверка электролампы на долговечность ее работы).При втором способе множество случайным образом отобранныхобъектов называется выборочной совокупностью или выборкой. Всемножество объектов, из которого производится выборка, называетсягенеральной совокупностью. Число объектов в выборке называетсяобъемом выборки. Обычно будем считать, что объем генеральнойсовокупности бесконечен.Выборки разделяются на повторные (с возвращением) ибесповторные (без возвращения).53Лекция 11.Обычно осуществляются бесповторные выборки, но благодарябольшому (бесконечному) объему генеральной совокупности ведутсярасчеты и делаются выводы, справедливые лишь для повторных выборок.Выборка должна достаточно полно отражать особенности всехобъектов генеральной совокупности, иначе говоря, выборка должна бытьрепрезентативной (представительной).Выборки различаются по способу отбора.1.
Простой случайный отбор.Все элементы генеральной совокупности нумеруются и из таблицыслучайных чисел берут, например, последовательность любых 30-тиидущих подряд чисел. Элементы с выпавшими номерами и входят ввыборку.2. Типический отбор.Такой отбор производится в том случае, если генеральнуюсовокупность можно представить в виде объединения подмножеств,объекты которых однородны по какому–то признаку, хотя всясовокупность такой однородности не имеет (партия товара состоит изнескольких групп, произведенных на разных предприятиях).
Тогда покаждому подмножеству проводят простой случайный отбор, и в выборкуобъединяются все полученные объекты.3. Механический отбор.Отбирают каждый двадцатый (сотый) экземпляр.4. Серийный отбор.В выборку подбираются экземпляры, произведенные на каком–топроизводстве в определенный промежуток времени.В дальнейшем под генеральной совокупностью мы будемподразумевать не само множество объектов, а множество значенийслучайной величины, принимающей числовое значение на каждом изобъектов.
В действительности генеральной совокупности как множестваобъектов может и не существовать. Например имеет смысл говорить омножестве деталей, которые можно произвести, используя данныйтехнологический процесс. Используя какие–то известные намхарактеристики данного процесса, мы можем оценивать параметры этого54Лекция 11.несуществующего множества деталей. Размер детали – это случайнаявеличина, значение которой определяется воздействием множествафакторов, составляющих технологический процесс.
Нас, например, можетинтересовать вероятность, с которой эта случайная величина принимаетзначение, принадлежащее некоторому интервалу. На этот вопрос можноответить, зная закон распределения этой случайной величины, а также еепараметры, такие как MN и DN.Итак, отвлекаясь от понятия генеральной совокупности какмножества объектов, обладающих некоторым признаком, будемрассматривать генеральную совокупность как случайную величину N,закон распределения и параметры которой определяются с помощьювыборочного метода.Рассмотрим выборку объема n, представляющую даннуюгенеральную совокупность.
Первое выборочное значение x1 будемрассматривать как реализацию, как одно из возможных значенийслучайной величины N1, имеющей тот же закон распределения с теми жепараметрами, что и случайная величина N. Второе выборочное значение x2– одно из возможных значений случайной величины N2 с тем же закономраспределения, что и случайна величина N. То же самое можно сказать означениях x3, x4,..., xn .Таким образом на выборку будем смотреть как на совокупностьнезависимых случайных величин N1, N2, ..., Nn, распределенных так же,как и случайная величина N, представляющая генеральнуюсовокупность.
Выборочные значения x1, x2, ..., xn – это значения,которые приняли эти случайные величины в результате 1-го, 2-го, ...,n-го эксперимента.Вариационный ряд.Пусть для объектов генеральной совокупности определен некоторыйпризнак или числовая характеристика, которую можно замерить (размердетали, удельное количество нитратов в дыне, шум работы двигателя).Эта характеристика – случайная величина N, принимающая на каждом55Лекция 11.объекте определенное числовое значение.
Из выборки объема n получаемзначения этой случайной величины в виде ряда из n чисел:x1, x2,..., xn.(*)Эти числа называются значениями признака.Среди чисел ряда (*) могут быть одинаковые числа. Если значенияпризнака упорядочить, то есть расположить в порядке возрастания илиубывания, написав каждое значение лишь один раз, а затем под каждымзначением xi признака написать число mi, показывающее сколько разданное значение встречается в ряду (*):x1x2x3...xkm1m2m3...mkто получится таблица, называемая дискретным вариационным рядом.Число mi называется частотой i-го значения признака.Очевидно, что xi в ряду (*) может не совпадать с xi в вариационномряду.
Очевидна также справедливость равенстваkå mi = n .i =1Если промежуток между наименьшим и наибольшим значениямипризнака в выборке разбить на несколько интервалов одинаковой длины,каждому интервалу поставить в соответствие число выборочных значенийпризнака, попавших в этот интервал, то получим интервальныйвариационный ряд. Если признак может принимать любые значения изнекоторого промежутка, то есть является непрерывной случайнойвеличиной, приходится выборку представлять именно таким рядом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
