Лекционный курс в ПДФ (1119925), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Пусть двастрелка стреляют в мишень одновременно, и событие А состоитРис.2в том, что в мишень попадает 1-й стрелок, а событие B - в том,что в мишень попадает 2-й. Событие AUB означает, что мишень поражена, или, иначе, что вмишень попал хотя бы один из стрелков.4Произведением (пересечением) A∩B событий А и Bназывается событие, состоящее из всех тех элементарныхисходов, которые принадлежат и А и B. На рисунке 3пересечение событий А и B изображено в видезаштрихованной области. В условиях приведенного вышепримера событие A∩B заключается в том, что в мишеньпопали оба стрелка.Рис.3Разностью А\B или А-Bсобытий А и B называется событие, состоящее из всех исходовсобытия А, не благоприятствующих событию B. ДиаграммаВенна разности событий А и B изображена на рисунке 4.В условиях рассмотренного выше примера событие А\Bзаключается в том, что первый стрелок попал в мишень, а второйпромахнулся.Рис.4Событие W называется достоверным (оно обязательнопроисходит в результате случайного эксперимента).Пустое множество Æ называется невозможным событием.
Событие A =W\Aназывается противоположным событию А или дополнением события А.События А и B называются несовместными, если нетисходов, принадлежащих и А и B, то есть A∩B = Æ. На рисунке5 изображены несовместные события А и B.Непосредственно из введенных определений следуютравенства: AU A =W; A∩ A =Æ; AUB = A ∩ B ; A 1 B = AUB . Двапоследних равенства называются формулами Де'Моргана.Рис.5Вероятностное пространство Случай конечногоили счетного числа исходов.Для построения полной и законченной теории случайного эксперимента или теориивероятностей, помимо введенных исходных понятий случайного эксперимента,элементарного исхода, пространства элементарных исходов, события, введем аксиому (покадля случая конечного или счетного пространства элементарных исходов).Каждому элементарному исходу wi пространства W соответствует некотораянеотрицательная числовая характеристика Pi шансов его появления, называемаявероятностью исхода w i , причемP1 + P2 +...+ Pn +...
=åPii: M Î Wi=1(здесь суммирование ведется по всем i, для которых выполняется условие: w iÎW).Отсюда следует, что 0 £ Pi £ 1для всех i.Вероятность любого события А определяется как сумма вероятностей всехэлементарных исходов, благоприятствующих событию А. Обозначим ее Р(А).P( A) =ååPP(M ) =ii: M Î A ii: M Î Aii(*)Отсюда следует, что1) 0 £ P(A) £ 1;2) P(W)=1;53) P(Æ)=0.Будем говорить, что задано вероятностное пространство, если задано пространствоэлементарных исходов 9 и определено соответствиеwi ® P(wi ) =Pi.Возникает вопрос: как определить из конкретных условий решаемой задачивероятность P(wi ) отдельных элементарных исходов?Классическое определение вероятности.Вычислять вероятности P(wi ) можно, используя априорный подход, которыйзаключается в анализе специфических условий данного эксперимента (до проведения самогоэксперимента).Возможна ситуация, когда пространство элементарных исходов состоит изконечного числа N элементарных исходов, причем случайный эксперимент таков, чтовероятности осуществления каждого из этих N элементарных исходов представляютсяравными.
Примеры таких случайных экспериментов: подбрасывание симметричноймонеты, бросание правильной игральной кости, случайное извлечение игральной карты изперетасованной колоды. В силу введенной аксиомы вероятности каждого элементарного1исхода в этом случае равны. Из этого следует, что если событие А содержит NANэлементарных исходов, то в соответствии с определением (*)P( A) =NANВ данном классе ситуаций вероятность события определяется как отношениечисла благоприятных исходов к общему числу всех возможных исходов.Пример. Из набора, содержащего 10 одинаковых на вид электроламп, среди которых 4бракованных, случайным образом выбирается 5 ламп. Какова вероятность, что средивыбранных ламп будут 2 бракованные?Прежде всего отметим, что выбор любой пятерки ламп имеет одну и ту жевероятность.
Всего существует C105 способов составить такую пятерку, то есть случайныйэксперимент в данном случае имеет C105 равновероятных исходов.Сколько из этих исходов удовлетворяют условию "в пятерке две бракованные лампы",то есть сколько исходов принадлежат интересующему нас событию?Каждую интересующую нас пятерку можно составить так: выбрать две бракованныелампы, что можно сделать числом способов, равным C42 .
Каждая пара бракованных лампможет встретиться столько раз, сколькими способами ее можно дополнить тремя небракованными лампами, то есть Ñ63 раз. Получается, что число пятерок, содержащих двебракованные лампы, равно C42 ×Ñ63 .Отсюда, обозначив искомую вероятность через P, получаем:P=C42 × C635C10=10216Статистическое определение вероятности.Рассмотрим случайный эксперимент, заключающийся в том, что подбрасываетсяигральная кость, сделанная из неоднородного материала. Ее центр тяжести ненаходится в геометрическом центре. В этом случае мы не можем считать исходы(выпадение единицы, двойки и т.д.) равновероятными. Из физики известно, что костьболее часто будет падать на ту грань, которая ближе к центру тяжести. Как определитьвероятность выпадения, например, трех очков? Единственное, что можно сделать, этоподбросить эту кость n раз (где n-достаточно большое число, скажем n=1000 илиn=5000), подсчитать число выпадений трех очков n3 и считать вероятность исхода,заключающегося в выпадении трех очков, равной n3/n - относительной частотевыпадения трех очков.
Аналогичным образом можно определить вероятностиостальных элементарных исходов — единицы, двойки, четверки и т.д. Теоретическитакой образ действий можно оправдать, если ввести статистическое определениевероятности.Вероятность P(Mi) определяется как предел относительной частоты появленияисхода Mi в процессе неограниченного увеличения числа случайных экспериментов n,то естьmn (M i ),n®¥nPi = P(M i ) = limгде mn(Mi) – число случайных экспериментов (из общего числа n произведенныхслучайных экспериментов), в которых зарегистрировано появление элементарногоисхода Mi.Так как здесь не приводится никаких доказательств, мы можем тольконадеяться, что предел в последней формуле существует, обосновывая надеждужизненным опытом и интуицией.Геометрическая вероятностьВ одном специальном случае дадим определение вероятности события дляслучайного эксперимента с несчетным множеством исходов.Если между множеством W элементарных исходов случайного эксперимента имножеством точек некоторой плоской фигуры S (сигма большая) можно установитьвзаимно-однозначное соответствие, а также можо установить взаимно-однозначноесоответствие между множеством элементарных исходов, благоприятствующихсобытию А, и множеством точек плоской фигуры I (сигма малая), являющейся частьюфигуры S, тоP( A) =s,Sгде s — площадь фигуры s, S — площадь фигуры S.Пример.
Два человека обедают в столовой, которая открыта с 12 до 13 часов.Каждый из них приходит в произвольный момент времени и обедает в течение 10минут. Какова вероятность их встречи?Пусть x — время прихода первого в столовую, а y — время прихода второго12 £ x £ 13; 12 £ y £ 13 .7Можноустановитьвзаимно-однозначноесоответствие между всеми парами чисел (x;y) (илимножеством исходов) и множеством точек квадрата состороной, равной 1, на координатной плоскости, где началокоординат соответствует числу 12 по оси X и по оси Y, какизображено на рисунке 6. Здесь, например, точка Асоответствует исходу, заключающемуся в том, что первыйпришел в 12.30, а второй - в 13.00.
В этом случае, очевидно,встреча не состоялась.Рис.6Если первый пришел не позже второго (y ³ x), товстреча произойдет при условии 0 £ y - x £ 1/6 (10 мин.- это 1/6 часа).Если второй пришел не позже первого (x ³ y), товстреча произойдет при условии 0 £ x - y £ 1/6..Между множеством исходов, благоприятствующихвстрече, и множеством точек области s, изображенной нарисунке 7 в заштрихованном виде, можно установитьвзаимно-однозначное cоответствие.Искомая вероятность p равна отношению площадиобласти s к площади всего квадрата.. Площадь квадратаРис.
7равна единице, а площадь области s можно определить какразностьединицыисуммарнойплощадидвухтреугольников, изображенных на рисунке 7. Отсюда следует:25 11p = 1=36 36Непрерывное вероятностное пространство.Как уже говорилось ранее, множество элементарных исходов может быть более,чем счетным (то есть несчетным).
В этом случае нельзя считать любое подмножествомножества W событием.Чтобы ввести определение случайного события, рассмотрим систему (конечнуюили счетную) подмножеств A1 , A2 ,... An пространства элементарных исходов W.В случае выполнения трех условий:1) W принадлежит этой системе;2) из принадлежности А этой системе следует принадлежность A этой системе;3) из принадлежности Ai и Aj этой системе следует принадлежность Ai U Aj этойсистеметакая система подмножеств называется алгеброй.Пусть W — некоторое пространство элементарных исходов. Убедитесь в том,что две системы подмножеств:1) W, Æ; 2) W, А, A , Æ (здесь А— подмножество W) являются алгебрами.Пусть A1 и A2 принадлежат некоторой алгебре. Докажите, что A1 \ A2 и A1∩ A2принадлежат этой алгебре.Подмножество А несчетного множества элементарных исходов 9 являетсясобытием, если оно принадлежит некоторой алгебре.Сформулируем аксиому, называемую аксиомой А.Н. Колмогорова.Каждому событию соответствует неотрицательное и не превосходящееединицы число P(А), называемое вероятностью события А, причем функция P(А)обладает следующими свойствами:81) Р(99)=12) если события A1, A2,..., An несовместны, тоP(A1UA2U...UAn) = P (A1) + P (A2) +...+ P(An)Если задано пространство элементарных исходов W, алгебра событий иопределенная на ней функция Р, удовлетворяющая условиям приведенной аксиомы, тоговорят, что задано вероятностное пространство.Это определение вероятностного пространства можно перенести на случайконечного пространства элементарных исходов W.
Тогда в качестве алгебры можновзять систему всех подмножеств множества W.Формулы сложения вероятностей.Из пункта 2 приведенной аксиомы следует, что если A1 и A2 несовместныесобытия, тоP(A1UA2) = P(A1) + P(A2)Если A1 и A2 — совместные события, то A1UA2 =(A1\ A2)UA2, причем очевидно,что A1\A2 и A2 — несовместные события. Отсюда следует:P(A1UA2) = P(A1\ A2) + P(A2)(*)Далее очевидно: A1 = (A1\ A2)U(A1∩A2), причем A1\ A2 и A1∩A2 - несовместныесобытия, откуда следует: P(A1) = P(A1\ A2) + P(A1∩A2) Найдем из этой формулывыражение для P(A1\ A2) и подставим его в правую часть формулы (*). В результатеполучим формулу сложения вероятностей:P(A1UA2) = P(A1) + P(A2) – P(A1∩A2)Из последней формулы легко получить формулу сложения вероятностей длянесовместных событий, положив A1∩A2 = Æ.Пример.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
