А.Н. Соболевский - Конкретная теория вероятностей (1119908)
Текст из файла
КОНКРЕТНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙА. Н. СОБОЛЕВСКИЙАннотация. Вариант курса, читавшийся в НМУ осенью 2010 г.1. Распределения вероятности на целых числахБудем исходить из интуитивного представления о случайном испытании, т. е. таком эксперименте по измерению некоторой величины, который можно повторять много раз при фиксированныхусловиях, получая при этом случайные, т. е. различные и непредсказуемые заранее результаты.Из-за непредсказуемости доступными для теоретического изучения остаются лишь множествозначений, которое может принимать результат такого эксперимента, и распределение вероятностипо этому множеству. Распределение вероятности можно понимать либо субъективно (как количественное выражение наших ожиданий относительно результата случайного эксперимента), либообъективно (как распределение относительных частот различных результатов в серии повторныхэкспериментов).Не вдаваясь в эти мета-вероятностные тонкости, наметим пока «рабочее» понятие случайнойвеличины как пары из (1) множества значений и (2) распределения вероятности по этому множеству.
С математической точки зрения распределение вероятности мыслится как мера, а следовательно множество значений случайной величины должно быть измеримым пространством.Поскольку в результате измерения обычно получается число, ограничимся пока наиболее простоустроенными подмножествами числовой прямой: счетными множествами в этой лекции и интервалами — в лекциях 2 и 3. На счетных множествах теория меры тривиальна, так что в этой лекцииникакие упоминания о теории меры вообще не потребуются.1.1.
Множеством значений целочисленной случайной величины по определениюбудем считать множество натуральных чисел с нулем N0 = {0, 1, 2, . . . }. Элементы этогомножества будем также называть исходами. Целочисленные случайные величины обозначаются прописными латинскими буквамиM, N, . . . , M 0 , M 00 , . .
. , N1 , N2 , . . .и т. п., а исходы — строчными буквами m, n, . . .1.2. Распределение вероятности случайной величины N есть совокупность чисел,обозначаемых pN (n) (или просто p(n), если из контекста ясно, о какой случайной величинеидет речь), занумерованных элементами множества N0 и подчиненных двум условиям:p(n) > 0 при всех n = 0, 1, 2, . . . ;Xp(n) = 1.n>0С использованием только что введенного «рабочего» определения случайной величины и егоаналога для непрерывных числовых интервалов (лекция 2) можно получить бо́льшую часть интересующих нас в этом курсе результатов. Однако для изучения случайных процессов необходимоболее сложное определение, которым обычно и пользуются в современной теории вероятностей.Мы увидим, как оно естественно возникнет в последних лекциях курса.Вариант от 24 октября 2010 г.11.3.
Число pN (n) интерпретируется как вероятность того, что случайная величина Nпримет значение n. В частности, если pN (n) = 0, то случайная величина N никогда непринимает значение n.Если pN (n0 ) = 1 для некоторого n0 , то pN (n) = 0 при n 6= n0 и случайная величина Nявляется детерминированной: N всегда принимает лишь значение n0 .1.4. Конечные или счетные множества различных значений случайной величины, т. е.несовместных исходов случайного эксперимента, называются событиями. Вероятностьсобытия A ⊂ N0 по определению равна сумме вероятностей составляющих его исходов.Записывается это так:XP(N ∈ A) =pN (n).n∈AЕсли событие A представлено счетным множеством, этот ряд сходится абсолютно в силуусловий п.
1.2.Обычно из контекста ясно, о какой случайной величине речь, и вместо P(N ∈ A) можно писать P(A). Иногда вместо обозначения множества A будем записывать определяющий его предикат,заменяя «немую» переменную на обозначение случайной величины: например, P(N четное).1.5. Пример. Если N представляет собой число очков, выпавших на игральной кости,то pN (0) = pN (7) = pN (8) = · · · = 0. Если, более того, эта кость симметрична, то pN (1) =pN (2) = · · · = pN (6) = 16 . Событие «на игральной кости выпало четное число очков N »состоит из исходов 2, 4, 6, каждый из которых может пониматься и как событие {N = 2},{N = 4}, {N = 6} (ср. с элементами и одноэлементными множествами в теории множеств).В сказанном до сих пор существенны два момента: что полная вероятность совокупности всехисходов, а значит и любого события, конечна (ее нормировка на единицу в п.
1.2 — не более, чеместественное и удобное соглашение) и что вероятность счетного множества исходов должна получаться как сумма бесконечного ряда, состоящего из вероятностей отдельных исходов. Приведемпример, в котором эти требования входят в противоречие друг с другом.1.6. Контрпример. В теории чисел вводят понятие плотности ρ(A) множества A целых чисел как предела limm,n→∞ |A ∩ {−m + 1, −m + 2, . .
. , n}|/(m + n) (если он существует,то обязательно заключен между 0 и 1). Это естественная формализация интуитивногопредставления о «равномерном распределении вероятности» на множестве целых чисел:например, плотность множества четных чисел равна 21 , плотность множества чисел, сравнимых с 5 или 7 по модулю 8, равна 14 и т. п.Плотность объединения двух (или любого конечного числа) непересекающихся множествравна сумме плотностей этих множеств. Однако при счетных объединениях плотности нескладываются: множество четных чисел, обладающее плотностью 12 , есть бесконечное объединение множеств {0}, {2}, {4}, . . .
, каждое из которых, как нетрудно сообразить, имеетнулевую плотность. Поэтому плотности не соответствуют никакому распределению вероятности в смысле данного выше определения.Можно поставить вопрос, как охарактеризовать «типичное» значение данной случайной величины N . Наиболее употребительно следующее определение, образованное по аналогии с физическимпонятием «центра тяжести».1.7. Математическое ожидание EN случайной величины N — это сумма рядаXEN =n pN (n),n>0а математическое ожидание функции f (N ) случайной величины N — сумма рядаXEf (N ) =f (n) p(n).n>0В этой лекции будем всегда предполагать, что такие ряды сходятся.1.8.
Математическое ожидание линейно: для любых функций f (·), g(·) и числа αE[f (N ) + g(N )] = Ef (N ) + Eg(N ),E(αN ) = α EN.Для обозначения математического ожидания, помимо EN (англ. Expectation, фр. Espérance)используются и другие обозначения: MN (англ. Mean, фр. Moyenne), а в физической литературеhN i и N . В данном курсе, однако, последнее обозначение используется в другом смысле (среднеевыборки, см. п. 4.3).1.9.
Традиционно рассматривают следующие характеристики случайной величины N :момент k-го порядка: EN k и центральный момент k-го порядка: E(N − EN )k .Если из контекста ясно, о какой случайной величине идет речь, будем писать EN k = µkи E(N − EN k ) = µ̊k .1.10. Центральный момент второго порядка называется дисперсией и обозначаетсяDN . Дисперсию удобно вычислять по формулеDN = E[N 2 − 2N EN + (EN )2 ] = EN 2 − (EN )2 .1.11.
При масштабном преобразовании случайной величины дисперсия ведет себя квадратично: D(αN ) = α2 DN .1.12. Дисперсия всегда неотрицательна и равна нулю только для детерминированнойвеличины. В частности, для распределения p(1) = p(2) = p(3) = p(4) = 41 неравенствоEN 2 − (EN )2 > 0 имеет следующее геометрическое представление:n2EN 2(EN )2ENnЭто — частный случай неравенства Иенсена для выпуклой функции f : Ef (N ) > f (EN ).Допустим, что несколько случайных величин надо рассмотреть одновременно. Тогда из нихможно образовать вектор, принимающий значения в прямом произведении множеств значенийотдельных случайных величин, и рассматривать исходы и события в этом множестве (которое впредположениях настоящей лекции по-прежнему является счетным).
Почти все соответствующиеопределения и свойства можно сформулировать уже в простейшей ситуации, когда имеется всегоодна пара случайных величин.1.13. Множеством значений пары целочисленных случайных величин M и N являетсяпрямое произведение их множеств значений N0 × N0 . Совместное распределение вероятности по этому множеству обозначается pM,N (m, n) или p(m, n), где (m, n) ∈ N0 × N0 .При этом предполагаются выполненными аналоги условий п. 1.2.1.14. Для совместного распределения pM,N определяются маргинальные распределения вероятности, задаваемые формуламиXXpM (m) =pM,N (m, n), pN (n) =pM,N (m, n).n>0m>0Легко проверить, что это — корректно определенные распределения вероятности, т.
е. чтоусловия п. 1.2 выполнены (ср. п. 1.4).Маргинальные распределения характеризуют одну из совместно рассматриваемых случайныхвеличин, если другая может принимать любые значения, и могут быть определены как вероятностисоответствующих событий {M = m} или {N = n}.PАналогично вероятность события M = N определяется как P(M = N ) = l>0 pM,N (l, l). Следующий рисунок иллюстрирует определения совместного распределения (белые кружки), маргинальных распределений (серые кружки) и событий {M = 3} и {M = N }.nM =3M =Nm1.15.
Условное распределение вероятности характеризует случайную величину Mпри фиксированном значении другой: если N = n, тоP( M = m | N = n ) =pM,N (m, n).pN (n)Конечно, такое определение имеет смысл только при P(N = n) > 0.Аналогично определяется условное распределение вероятности относительно события A,если P(A) > 0:P({M = m} ∩ A)P( M = m | A ) =.P(A)Легко проверить, что условное распределение вероятности в обоих вариантах удовлетворяеттребованиям п. 1.2.1.16.
Две случайные величины M , N независимы (обозначение M ⊥ N ), если условноераспределение одной величины остается одним и тем же (и совпадает с соответствующиммаргинальным), какое бы значение ни принимала другая:P( M = m | N = n ) = pM (m) для любого n.1.17. M ⊥ N тогда и только тогда, когда pM,N (m, n) = pM (m) pN (n).1.18. Несколько случайных величин M1 , . . . , Mk называются независимыми в совокупности, еслиpM1 ,...,Mk (m1 , . . .
, mk ) = pM1 (m1 ) · · · · · pMk (mk ).В последнем определении имеется тонкость, проиллюстрированная в упр. У1.3: независимость всовокупности набора из трех или большего числа случайных величин — это более сильное свойство,чем независимость каждой пары величин из этого набора.Заметим, что отношение независимости симметрично. Зависимость, т. е. отсутствие независимости — это также симметричное отношение, которое нельзя смешивать с более тонким (инесимметричным) понятием причинной связи между случайными величинами.1.19. Непосредственно из определений выводится аддитивность математического ожидания: E(M + N ) = EM + EN . Здесь последние два математических ожидания могут бытьвычислены как относительно совместного распределения M и N , так и относительно маргинальных распределений:XE(M + N ) =(m + n) pM,N (m, n) =m,n>0X=m pM,N (m, n) +m,n>0X=Xn pM,N (m, n) =[EM,N M + EM,N N ]m,n>0mm>0=XXpM,N (m, n) +n>0nn>0m pM (m) +m>0XXXpM,N (m, n) =m>0n pN (n)[EM M + EN N ].n>01.20.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
