А.Н. Соболевский - Конкретная теория вероятностей (1119908), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Чисто точечное распределение вероятности с атомами в точках x = 0,x = 21 и x = 1:F11xРаспределения целочисленных случайных величин являются чисто точечными.2.11. Полезно выделять еще один тип локального поведения распределения вероятности:если для некоторого 0 < α < 1 имеет место асимптотика P(|X − x| < ∆) ∼ ∆α при ∆ → 0,будем говорить, что распределение имеет в точке x сингулярность порядка α.
Значенияα = 0 и α = 1 соответствуют атомарному и абсолютно непрерывному случаям.Тривиальный пример сингулярности при x = 0 доставляет кумулятивная функция распределения, которая равна нулю при x < 0, а при x > 0 задается формулой F (x) = min(xα , 1). Следующийпример менее тривиален (но при этом более типичен).2.12. Пример. Пусть M0 — отрезок [0, 1], M1 — пара отрезков [0, 31 ] и [ 23 , 1], получаемая выбрасыванием из M0 его средней трети, и вообще Mi+1 — совокупность отрезков,получаемых выбрасыванием средней трети из каждого отрезка, входящего в Mi .
Пустьдалее Fi — кумулятивная функция равномерного распределения вероятности на Mi :F411xВ пределе при i → ∞ возникает функция F∞ , которая непрерывна, но не может быть представлена интегралом вида п. 2.7 (проверьте!). Множество M∞ точек ее роста называетсяКанторовым множеством средних третей, а соответствующее распределение вероятности — Канторовой пылью. Поскольку длина каждого из отрезков, составляющих Mi ,равна 3−i , а содержащаяся в нем вероятность равна 2−i = (3−i )ln 2/ ln 3 , показатель сингулярности во всех точках Канторовой пыли равен α = ln 2/ ln 3.Сингулярные распределения вероятности возникают в эргодической теории и математическойстатистической физике как инвариантные меры диссипативных динамических систем, обладающихт.
н. «странными аттракторами». Количественное изучение таких мер относится к геометрическойтеории меры и известно под названием «фрактальной геометрии». Основные импульсы развитияэтой дисциплины исходили из работ К. Каратеодори, Ф. Хаусдорфа, А. Безиковича 1920-х годов,а позднее — Б. Мандельброта и многочисленных физиков, которые занимались «динамическимхаосом» в 1980-х годах (П.
Грассбергер, И. Прокачча, Дж. Паризи, У. Фриш).Подробнее о мультифрактальных мерах см., например, книги: Е. Федер, Фракталы, М.: Мир,1991 («физический» уровень строгости); K. Falconer. Fractal Geometry: Mathematical Foundationsand Applications, John Wiley & Sons, 1990 (популярное, но аккуратное изложение для физиков,написанное математиком); Я.
Б. Песин, Теория размерности и динамические системы, М.-Ижевск:Ин-т компьютерных исследований, 2002 (математически строгая монография).2.13. Математическое ожидание случайной величины X определяется интеграломСтилтьеса (ср. п. 1.7):Z ∞EX =x dFX (x).−∞Для произвольной функции случайной величины X математическое ожидание определяется интеграломZ∞Ef (X) =f (x) dFX (x)−∞Для абсолютно непрерывного или чисто точечного распределений эти формулы принимаютсоответственно видZ ∞XEX =x pX (x) dx или EX =xn P(X = xn ),−∞Zn∞EX =f (x) pX (x) dx или EX =−∞Xf (xn ) P(X = xn ),nа для смеси распределений складываются вклады от абсолютно непрерывной и чисто точечной частей.Как и в предыдущей лекции, будем пока предполагать, что все такие интегралы сходятся.В формулах предыдущего пункта интегралы по dFX надо понимать как интегралы Римана–Стилтьеса, т.
е. как пределы интегральных суммXf (ξi ) [FX (xi+1 ) − FX (xi )],iгде xi < ξi < xi+1 , при maxi (xi+1 − xi ) → 0 (для обычного интеграла Римана выражение в квадратных скобках имело бы вид xi+1 − xi , т. е. это интеграл Римана–Стилтьеса относительно функцииF (x) ≡ x; в остальном обе теории практически совпадают). Чтобы такой интеграл была корректноопределен, подынтегральная функция f должна быть непрерывной во всех точках, где находятсяатомы вероятности (почему?).Подводя итог этой части лекции, заметим, что распределения вероятности можно пониматьдвумя способами: как функции множеств (п. 2.4), т.
е. как меры, а также как функционалы,сопоставляющие непрерывным функциям математические ожидания (п. 2.13). В функциональноманализе показывается, что эти подходы приводят к одним и тем же результатам. Хотя второйподход кажется более абстрактным, он несколько проще идейно и технически, так как свободенот трудностей, связанных с теоретико-множественными тонкостями устройства континуума вещественных чисел (такими, как существование неизмеримых множеств). Особенно эффективным онстановится после введения понятия характеристической функции распределения вероятности (см.лекцию 3).2.14.
Моменты и центральные моменты (в частности, дисперсию) непрерывнойслучайной величины определяют аналогично дискретному случаю (ср. п. 1.9):ZZµk = EX k = xk dFX (x), µ̊k = E(X − EX)k = (x − µ1 )k dFX (x).2.15. Квадратный корень из дисперсии называется стандартным отклонением:pσX = E(X − EX)2 .2.16. Медиана случайной величины X определяется как такой исход xmed , для которогособытия X > xmed и X < xmed равновероятны. Точнее, xmed = sup{ x : F (x) 6 21 }: такойвариант определения работает и в том случае, когда в xmed находится атом вероятности,так что F (xmed ) > 12 и F (xmed −0) 6 12 . Если имеется целый интервал, на котором F (x) = 12 ,то данное определение фиксирует в качестве медианы его левую границу.2.17.
Если у случайной величины X существует непрерывная функция плотности вероятности p(x), то ее мода определяется как точка максимума плотности: p(xmax ) =maxx p(x).Наряду с математическим ожиданием, медиана и мода являются еще двумя употребительнымиспособами придать смысл идее «типичного значения» случайной величины. В отличие от математического ожидания, для которого требуется сходимость соответствующего интеграла, медианасуществует у всех случайных величин. Из задачи У2.1 видно, что медиану и математическоеожидание можно понимать как различные частные случаи одного общего понятия.2.18.
Конечный набор случайных величин X1 , X2 , . . . , Xn , взятых в совокупности, образует случайный вектор. Векторные случайные величины обозначаются прописнымиполужирными латинскими буквами X, Y , Z, . . . , а их значения (исходы) — соответствующими полужирными строчными буквами x, y, z, .
. .2.19. Распределение вероятности случайного n-мерного вектора X, или совместноераспределение вероятности его компонент X1 , . . . , Xn , задавается кумулятивной функцией распределения FX (x) = P(X1 6 x1 , . . . , Xn 6 xn ), которая обладает следующимисвойствами:Pε1+−+εnесли x−1 < x1 , . . . , xn < xn , то(ε1 ,...,εn ) (ε1 1) . . . (εn 1)F (x1 , . . . , xn ) > 0,где суммирование проводится по всем 2n наборам знаков εi = ±;F (x1 , . . .
, xi−1 , −∞, xi+1 , . . . , xn ) = 0 при любом 1 6 i 6 n;F (∞, ∞, . . . , ∞) = 1;limy1 ↓x1 ,y2 ↓x2 ,...,yn ↓xn F (y1 , y2 , . . . , yn ) = F (x1 , x2 , . . . , xn ).Если не возникает неясности, нижний индекс X можно опускать.+−Первое из этих свойств выражает положительность вероятности: P(x−1 < X1 6 x1 , . .
. , xn <+Xn 6 xn ) > 0 и выражает принцип включения-исключения для подсчета вероятностей. Его+−+легче понять на примере n = 2, где для любых x−1 < x1 , x2 < x2 должно выполняться неравенство++−−+−−F (x+,x)−F(x,x)−F(x,x)+F(x,x)>0:12121212x2+(x−1 , x2 )+(x+1 , x2 )x1−(x−1 , x2 )−(x+1 , x2 )+−+Действительно, при вычислении вероятности того, что x−1 < X 6 x1 , x2 < X2 < x2 из вероятности++«белого» квадранта с вершиной в (x1 , x2 ) вычитаются вероятности «светлосерых» квадрантов изатем прибавляется вероятность «темносерого» квадранта.Помимо теории вероятностей первое свойство п.
2.19 встречается еще у функций многих переменных в исследовании операций, где оно называется супермодулярностью или свойствомМонжа.2.20. Аналогично п. 2.4 определение вероятности может быть распространено с событий,+представленных множествами-«брусами» вида { x : x−i 6 xi 6 xi , 1 6 i 6 n }, которыеиграют роль многомерных интервалов, на их всевозможные конечные и объединения ипересечения в счетном числе, образующие борелевскую алгебру измеримых множеств.2.21.
Распределение вероятности случайного вектора X называется абсолютно непрерывным, если существует такая функция плотности вероятности pX , чтоZFX (x) =pX (y) dy.y1 6x1 ,...,yn 6xnФункция pX с необходимостью неотрицательна.2.22. Моменты случайного вектора определяются как математические ожидания произведений его компонент: EXi1 . .
. Xik , где среди индексов i1 , . . . , ik могут быть повторяющиеся. Число k сомножителей в этом произведении называется порядком момента. Аналогично определяются центральные моменты: E[(Xi1 − EXi1 ) . . . (Xik − EXik )].Интегралы, появляющиеся в этом определении, будем в абсолютно непрерывном случаепонимать как кратные интегралы Римана, а в чисто точечном — как суммы.В общем случае математическое ожидание определяется как многомерный интеграл Стилтьеса(см., например, Г. Е. Шилов и Б. Л. Гуревич, Интеграл, мера и производная, М.: Наука, 1967).2.23. Маргинальные распределения для отдельных компонент случайного вектораимеют кумулятивные функции распределения FXi (xi ) = F (∞, .
. . , xi , . . . , ∞), где 1 6 i 6n. Для абсолютно непрерывных распределений маргинальные распределения задаютсяфункциями плотности вероятностиZZdxpXi (xi ) = p(x1 , . . . , xn ) dx1 . . . dxi−1 dxi+1 . . . dxn = p(x), 1 6 i 6 n.dxiВообще маргинальные распределения можно определять для любых совокупностей компонент случайного вектора; их также называют проекциями распределения случайноговектора X на соответствующие координатные подпространства.2.24. Пусть (X, Y ) — случайный вектор, компоненты которого разбиты на два подвектора X и Y . Условное распределение вероятности вектора X при условии, чтоY ∈ A, где A — измеримое множество положительной вероятности, задается кумулятивнойфункцией (ср.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
