А.Н. Соболевский - Конкретная теория вероятностей (1119908), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Равенство EM N = EM EN выполнено не всегда. Наиболее важным достаточнымусловием для него является независимость случайных величин:XXXmn pM N (m, n) = [M ⊥ N ] =EM N =mn pM (m) pN (n) =m>0 n>0m,n>0=Xm>0m pM (m)Xn pN (n) =n>0XXn pN (n)m pM (m) = EM EN.n>0m>01.21. Если случайные величины M и N независимы, то D(M + N ) = DM + DN :D(M + N ) = E(M + N )2 − [E(M + N )]2 == E(M 2 + 2M N + N 2 ) − (EM )2 − 2 EM EN − (EN )2 == EM 2 − (EM )2 + EN 2 − (EN )2 + 2(EM N − EM EN ) = [M ⊥ N ] == EM 2 − (EM )2 + EN 2 − (EN )2 = DM + DN.Таким образом, хотя дисперсия и является квадратичным функционалом (п. 1.11), при наличии независимости она ведет себя аддитивно! В дальнейшем нам встретятся многочисленныепоследствия этого специфически «вероятностного» факта.1.22.
Производящая функция распределения вероятности случайной величины N :XGN (z) =z n pN (n) = Ez N .n>0По образному выражению Д. Пойа, производящая функция позволяет разом охватить вероятности всех исходов в одном объекте, «как камни в мешке».1.23. Производные функции GN при z = 1 имеют вероятностный смысл:XXGN (1) = 1, G0N (1) =nz n−1 pN (n)=n pN (n) = EN,n>0z=1XG00N (1) =n(n − 1)z n−2 pN (n)n>0n>0= EN (N − 1)z=1Вообще,dk GN = EN k ,dz k z=1где N k = N (N − 1) . . . (N − k + 1).Выражение N k называется k-й убывающей факториальной степенью числа N , а величина EN k — факториальным моментом случайной величины N порядка k.Отвлекаясь от вероятностной темы, заметим, что факториальные степени играют в исчисленииконечных разностей роль, аналогичную роли степенных функцийP в дифференциальном исчислении. Например, имеют место тождества (n + 1)k − nk = knk−1 , k>0 nk /k! = 2n , 2n+1 − 2n = 2n (ср.Pв дифференциальном исчислении (x + dx)k − xk = kxk−1 dx, k>0 xk /k! = ex , ex+dx − ex = ex dx).1.24.
Производящая функция моментов случайной величины N :XΨN (s) = GN (es ) = EesN =esn P(N = n).n>01.25. Производные производящей функциимоментов — это обычные, а не факториальXdk ΨN = EN k .=nk esn pN (n)ные моменты:dsk s=0s=0n>01.26. При сложении независимых случайных величин M и N их производящие функцииперемножаются:GM +N (z) = Ez M +N = E(z M z N ) = Ez M Ez N = GM (z) GN (z),ΨM +N (s) = Ees(M +N ) = E(esM esN ) = EesM EesN = ΨM (s) ΨN (s)1.27. Распределение вероятности суммы независимых случайных величин:XpM +N (k) =pM (k − n) pN (n).06n6kВероятностная интерпретация последней формулы такова: вероятность того, что сумма случайных величин примет значение k, равна сумме по всем разбиениям k = (k − n) + n на два слагаемыхвероятностей того, что первая случайная примет значение k − n, а вторая — значение n.Сравнение формул двух последних пунктов показывает, почему при изучении сумм независимых случайных величин производящие функции удобнее прямых вычислений с соответствующимивероятностями.2.
Непрерывные распределения вероятностиПерейдем к изучению случайных величин, принимающих значения в континуальных множествах, т. е. на всей числовой прямой или ее интервале (a, b). Из-за более сложного устройстваконтинуума по сравнению со счетным множеством целых чисел определение основных вероятностных понятий в данном случае связано с рядом тонкостей и требует напоминания некоторыхпонятий теории меры.2.1. Множеством значений скалярной вещественной случайной величины по определению будем считать числовую прямую R = { x : − ∞ < x < ∞ }. Элементы этого множества, т. е. отдельные точки, будем, как и раньше, называть исходами.
Скалярные вещественные случайные величины обозначаются прописными латинскими буквами X, Y, Z, . . . ,а исходы — строчными буквами x, y, z, . . .Поскольку теперь множество всех возможных исходов континуально, распределение вероятности нельзя определить непосредственно, как в прошлой лекции, явно сопоставляя каждому исходунекоторую положительную вероятность. Вместо этого используется следующая конструкция.2.2.
Распределение вероятности скалярной случайной величины X задается кумулятивной функцией распределения FX (x), которая должна обладать следующими свойствами:F (x) не убывает;F (−∞) = 0,F (∞) = 1;F (x) полунепрерывна справа.2.3. Значение кумулятивной функции распределения интерпретируется как вероятностьтого, что случайная величина X не превысит заданного числа x:FX (x) = P(X 6 x),Первое свойство п. 2.2 соответствует неотрицательности вероятностей отдельных исходов (ср.п. 1.2), а второе свойство — нормировке полной вероятности на единицу. Что касается третьегосвойства, то оно условно: можно было бы исходить из соглашения FX (x) = P(X < x) и предполагать, что вместо полунепрерывности справа имеет место полунепрерывность слева.2.4.
Любой полуоткрытый интервал (a, b] числовой оси представляет собой событие,вероятность которого выражается по формулеP(X ∈ (a, b]) = P(a < X 6 b) = FX (b) − FX (a).Так же определяются вероятности событий, представленных интервалами других типов:P(X ∈ [a, b]) = P(a 6 X 6 b) = FX (b) − FX (a − 0),P(X ∈ (a, b)) = P(a < X < b) = FX (b − 0) − FX (a) и т. п.,а также событий, представленных объединением конечного или счетного множества непересекающихся интервалов.Если интервалы (a, b] и (c, d] пересекаются (например, a < c < b < d), то их пересечениеи объединение представляют события, вероятности которых определяются по формуламP((a, b] ∩ (c, d]) = P((c, b]) = FX (b) − FX (c), P((a, b] ∪ (c, d]) = P((a, d]) = FX (d) − FX (a) и т. п.Корректность данного определения вероятности для счетного объединения непересекающихсяинтервалов обеспечивается абсолютной сходимостью соответствующего ряда в силу того, что вероятность положительна и нормирована на единицу.2.5.
Пример. Пусть случайная величина U равномерно распределена на отрезке [0, 1],т. е. P(a 6 U 6 b) = b − a для всех 0 6 a < b 6 1. Тогда FU (x) = x на [0, 1] и равна 1 справаи 0 — слева от этого отрезка. В частности, P(U = x) = x − x = 0 для всех 0 6 x 6 1.FU11xИначе говоря, вероятность каждого отдельного значения непрерывной случайной величиныможет обращаться в нуль без того, чтобы эти значения становились «запрещенными» (ср. п.
1.3).Но если кумулятивная функция распределения постоянна на некотором интервале, то значения изэтого интервала запрещены.Каков самый широкий класс событий, вероятности которых можно корректно определить, развивая подход п. 2.4? Этот класс включает все события, которые можно представить множествами,получаемыми из интервалов при помощи операций пересечения и объединения, повторенных влюбом порядке счетное множество раз. В совокупности эти множества образуют борелевскуюалгебру относительно операций пересечения и объединения. Класс таких множеств очень широк,но следующий контрпример показывает, что все-таки он включает в себя не все подмножества континуума. (Заметим, однако, что в этом контрпримере существенно используется аксиома выбора.)2.6. Контрпример.
Отнесем две точки отрезка [0, 1] к одному классу эквивалентности, если их разность рациональна. По аксиоме выбора можно образовать множество A,содержащее по одной точке из каждого класса эквивалентности. Введем на отрезке периодические краевые условия, отождествляя 0 и 1; тогда всевозможные сдвиги множества Aна рациональные расстояния не пересекаются друг с другом и покрывают весь отрезок.Очевидно, вероятность множества A относительно равномерного распределения не можетбыть ни нулевой, ни положительной, поскольку тогда полная вероятность всего отрезка[0, 1], состоящего из объединения счетного множества конгруэнтных копий A, должна былабы быть равной соответственно либо 0, либо бесконечности.
Следовательно, множество Aвообще не имеет вероятности.Те распределения вероятности, с которыми мы в основном будем иметь дело, устроены достаточно просто: как правило, они будут относиться к классам, описываемым в пп. 2.7 и 2.9, илипредставлять собой смеси таких распределений (определение смеси см. в упр. У1.11).2.7. Если существует такая функция pX , что для всех xZxFX (x) =pX (ξ) dξ,−∞то говорят, что распределение вероятности случайной величины X абсолютно непрерывно, а функцию pX называют функцией плотности вероятности случайной величины X;она с необходимостью является неотрицательной.2.8. Пример.
Равномерное распределение по отрезку (0, 1) (п. 2.5) абсолютно непрерывно и имеет кусочно-постоянную плотность: pX (x) = 1 внутри этого отрезка и pX (x) = 0вне его. Выбор значений pX в точках x = 0, x = 1 может быть произвольным и не влияетна распределение вероятности (почему?).2.9.
Если FX разрывна в точке x, то FX (x) = FX (x + 0) > FX (x − 0) и P(X = x) =FX (x) − FX (x − 0) > 0. Говорят, что в точке x расположен атом вероятности массойP(X = x). Если сумма вероятностей всех атомов равна единице, говорят, что распределениевероятности является чисто точечным.2.10. Пример.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
