А.Н. Соболевский - Конкретная теория вероятностей (1119908), страница 6
Текст из файла (страница 6)
У1.7 ипоследнее выражение в упр. У2.19) и тем самым другой тип предельной теоремы — предельнаятеорема Пуассона или «закон малых чисел». Как выяснится в следующей лекции, возможны идругие варианты собственно перемасштабирования, приводящие к совершенно иным результатами другим классам обобщений («скейлинг центральной предельной теоремы»).4.8. Сравним утверждение п. 4.6 с обычным определением сходимости последовательности xn → µ в математическом анализе, но записанным на вероятностном языке: для скольугодно малого ε > 0 найдется такое n0 (ε), что P(|xn − µ| > ε) = 0 как только n > n0 (ε). Явная аналогия между этими утверждениями показывает, что закон больших чисел содержитвероятностное обобщение понятия сходимости.Поскольку, как мы уже знаем, возможны и другие типы предельных теорем, в открывшемсянаправлении направлении необходимо пройти на шаг дальше и допустить, что качестве предела такой «новой» сходимости может выступать не только детерминированная, но и случайная величина,точнее, некоторое распределение вероятности.4.9.
Слабая сходимость распределений вероятности. Говорят, что последовательность распределений случайных величин X1 , X2 , . . . слабо сходится к распределению случайной величины X, еслиP(a < Xn < b) −−−−→ P(a < X < b).n→∞для любых точек a < b, не являющихся атомами предельного распределения.Последняя оговорка важна даже для «обычной» сходимости, когда распределения как раз атомарны: если xn → x снизу, то P(xn < x) ≡ 1 6→ P(x < x) = 0, а если сходимость xn к x немонотонна,то последовательность P(xn < x) вообще не сходится.4.10. Слабая сходимость распределений имеет место тогда и только тогда, когда соответствующая последовательность кумулятивных функций распределения FXn сходится кмонотонной непрерывной справа функции FX во всех точках непрерывности последней иFX (+∞) = 1.J FXn (x) = P(Xn 6 x) −−−−→ P(X 6 x) (восстановите детали!).
In→∞4.11. Теорема Хелли. Из любой последовательности кумулятивных функций распределения скалярных случайных величин FXn ≡ Fn можно выбрать подпоследовательность,сходящуюся к некоторой монотонной непрерывной справа функции F в каждой точке непрерывности последней.J Доказательство проводится диагональным методом Вейерштрасса.Выберем последовательность xk , предельные точки которой покрывают всю вещественную ось (например, занумерованные тем или иным способом рациональные числа), и рассмотрим числовую последовательность Fn (x1 ).
Поскольку 0 6 Fn (x1 ) 6 1 для всех n, существует подпоследовательность nl такая, что Fnl (x1 ) сходится к некоторому пределу при(1)nl → ∞. Переобозначим последовательность Fnl как Fn с новым индексом n и рассмот(1)(2)(2)рим Fn (x2 ). Аналогично можно выбрать подпоследовательность Fnl такую, что Fnl (x2 )сходится к некоторому пределу, и т. д. Продолжая эту процедуру для всех k > 1, полу(k)чим последовательность вложенных подпоследовательностей кумулятивных функций Fn(k)такую, что Fn (xk ) сходится при n → ∞ для любого k.(k)Рассмотрим теперь «диагональную» последовательность Fk , составленную из функ(k)ций Fn с n = k и занумерованную индексом k, и заметим, что она сходится в каждойиз точек xk к некоторому пределу, который обозначим F̃ (xk ) (проверьте!).
Более того, измонотонности функций Fn следует, что F̃ (x00 ) > F̃ (x0 ), если x00 > x0 . Это позволяет помонотонности продолжить определение функции F̃ на такие предельные точки x множества {xk }, в которых F̃ (x + 0) = F̃ (x − 0). Доопределяя F̃ в точках разрыва, например, так,чтобы имела место непрерывность справа, получим монотонную функцию, для которой(k)Fk (x) −−−−→ F̃ (x) во всех точках непрерывности функции F̃ .
In→∞4.12. Контрпример. Если Xn = n, то FXn (x) → 0 при любом x и FX (+∞) = 0.В такой ситуации можно сказать, что в пределе вероятность «уходит на бесконечность». Чтобы исключить эту опасность, Ю. В. Прохоров предложил накладывать на последовательностьраспределений дополнительное условие, которое по интуитивно понятным причинам по-русски называется плотностью, а по-английски — «герметичностью» (tightness). Оказывается, что условиеплотности необходимо и достаточно для компактности семейства распределений относительно слабой сходимости.4.13. Условие Прохорова. Дополнительно потребуем от последовательности распределений случайных величин Xn в теореме Хелли, чтобы для любого ε > 0 можно быловыбрать Rε > 0 так, что P(|Xn | > Rε ) < ε равномерно по n. Тогда предельная функцияF задает распределение вероятности, т.
е. F (+∞) = 1. Обратно, если последовательностьраспределений слабо сходится, то она удовлетворяет данному условию.Теперь выясним, как ведут себя в ситуации слабой сходимости распределений их характеристические функции. Оказывается, что они сходятся поточечно, и это условие является не тольконеобходимым, но и почти достаточным для слабой сходимости: надо лишь добавить некотороеестественное условие в нуле, соответствующее «плотности» последовательности распределений набесконечности. Остаток лекции посвящен доказательству этого факта.4.14. Пусть последовательность распределений случайных величин Xn , обладающих характеристическими функциями ϕn , слабо сходится к распределению случайной величины X, обладающей характеристической функцией ϕ.
Тогда ϕn сходится к ϕ поточечно.J Сходимость ϕn (s) к ϕ(s) при любом s — это общий факт, не связанный с конкретнымопределением характеристической функции как преобразования Фурье–Стилтьеса.Действительно, пусть f — произвольная равномерно ограниченная непрерывная функция и ε > 0. ЗапишемZZZf (x) dFn (x) =f (x) dFn (x) +f (x) dFn (x)|x|>Rε|x|6Rεи выберем Rε так, чтобы первое слагаемое при любом n не превосходило по модулю ε/2(это возможно благодаря условию Прохорова).
Теперь приближенно заменим f на кусочнопостоянную функцию fε , которая принимает конечное число значений на отрезке |x| 6 Rε иобращается в нуль вне него, причем |f (x) − fε (x)| 6 ε/2 равномерно при |x| 6 Rε . Заметим,чтоZZ(?)fε (x) dFn (x) −−−−→ fε (x) dF (x),n→∞поскольку каждый из интегралов в левой части может быть записан как конечная суммавидаZ biXXdFn (x) =fε(i) P(ai 6 Xn 6 bi ),fε(i)iaii(i)где (ai , bi ) — отрезок, на котором функция fε принимает постоянное значение fε . Но попредположению о слабой сходимости каждое из таких слагаемых сходится к пределу, где вправой части вместо Fn стоит F .
Заметим наконец, что благодаря нормировке распределений вероятности на единицу каждый из интегралов слева и справа в (?) отличается неболее чем на ε/2 от соответствующего интеграла для исходной функции f . Поэтому имеемокончательноZZf (x) dFn (x) −−−−→ f (x) dF (x),n→∞что при f (x) = eisx означает поточечную сходимость характеристических функций. I4.15. Утверждение предыдущего пункта можно усилить: на самом деле при тех жепредположениях сходимость ϕn к ϕ равномерно на любом конечном отрезке.J Для доказательства заметим, что при |s| < S семейство функций eisx равномерно ограничено и равностепенно непрерывно по x.
В силу равномерной ограниченности в доказательстве из предыдущего пункта значение Rε можно выбрать общим для всех этих функций, ав силу равностепенной непрерывности кусочно-постоянные аппроксимации для eisx можнопостроить так, чтобы они были постоянны на одной и той же конечной системе отрезков,образующих разбиение |x| 6 Rε . Отсюда следует, что сходимость в (?), а следовательно исходимость ϕn , равномерна по s при |s| 6 S (проверьте!). IИдея заменить сходимость более сложного объекта — распределений вероятности — на сходимость числовых последовательностей, возникающих при интегрировании этих распределений свсевозможными пробными функциями f , часто встречается в функциональном анализе.
Такиепределы называются слабыми, откуда происходит и вероятностный термин «слабая сходимость».4.16. Заметим, что из равномерной сходимости ϕn на конечных отрезках следует, чтопредельная функция должна быть непрерывной во всех точках, и в частности при s = 0.Покажем теперь, что и наоборот, слабую сходимость распределений можно вывести из сходимости характеристических функций.R4.17. Вспомогательное тождество. Домножим тождество e−isy ϕ(s) = eis(x−y) dF (x)2 2на e−σ s /2 /2π и проинтегрируем по s. Преобразовывая правую частьZZ σ 2 s21exp −+ is(x − y) dF (x) ds =2π2ZZh σ2 x − y 2 i −(x−y)2 /2σ21dF (x) ds exp −e=s−i 2=2π2σZ221e−(x−y) /2σ dF (x),=√22πσполучим тождествоZZ221 2 211√e−isy ϕ(s) e− 2 σ s ds =e−(x−y) /2σ dF (x).22π2πσЕсли dF (x) = p(x) dx, то в пределе σ ↓ 0 это тождество переходит в формулу обратного преобразования Фурье.4.18. Распределение вероятности однозначно восстанавливается по своей характеристической функции.J Предположим, напротив, что одна и та же характеристическая функция ϕ возникает какпреобразование Фурье–Стилтьеса двух разных распределений, задаваемых кумулятивными функциями F и G.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
