А.Н. Соболевский - Конкретная теория вероятностей (1119908), страница 8
Текст из файла (страница 8)
. . , Xn — независимые одинаково распределенные случайные величины, обладающие указанной плотностью вероятности. Для характеристической функции ихсуммы имеемϕSn (s) = [1 − AI1 (α) |s|α + O(|s|2 )]n ,откуда получаем, что распределение Sn /n1/α при n → ∞ сходится к предельному распределению, задаваемому характеристической функциейαϕα (s) = e−Γ|s| ,где Γ = AI1 (α).Теперь разберем ситуацию, в которой распределение несимметрично. Если «хвосты» распределения на положительной и отрицательной полупрямой имеют разные показатели α, α0 , то асимптотически при больших n будет играть роль только «хвост», убывающий более медленно. Поэтомудостаточно рассмотреть «хвосты» разной массы, но с одинаковым показателем убывания.5.9. Асимметричное распределение со степенным убыванием.
Пусть p(x) = A/2при |x| 6 1, а вероятностные массы положительной и отрицательной полуосей различны:p(x) =A(1 + β)при x > 1,2xα+1p(x) =A(1 − β)при x 6 −1,2|x|α+1где |β| 6 1. Для характеристической функции получаемZZZA 1 isxA ∞ eisx + e−isxA ∞ βeisx − βe−isxϕ(s) =e dx +dx+dx2 −12 1xα+12 1xα+1или после замены ξ = |s|xϕ(s) = Asin |s|+ A|s|α|s|Z∞|s|cos ξdξ + iAβ|s|α sign sξ α+1Z∞|s|sin ξdξ.ξ α+1Асимптотика первых двух слагаемых при малых |s| нам уже известна. Для третьего слагаемого надо рассмотреть три случая:R∞1) 0 < α < 1: интеграл I2 (α) = 0 sin ξ dξ/ξ α+1 сходится.
Тогда (проверьте!)ϕ(s) = 1 − AI1 (α)|s|α 1 − iβ sign s II21 (α)(α) + O(|s|).Можно показать, что I2 (α)/I1 (α) = tg πα/2. При перенормировке Sn /n1/α в пределе приn → ∞ получается распределение с характеристической функциейϕ(s) = exp −AI1 (α)|s|α 1 − iβ tg πα2 sign s .2) 1 < α < 2: третье слагаемое можно переписать в видеZ ∞Z ∞sin ξ − ξ + ξiAβ|s| sign sξ − sin ξαiAβ|s|α sign sdξ=−iAβ|s|signsdξ.α+1ξα−1ξ α+1|s||s|R∞Введем конечную положительную константу I3 (α) = 0 (ξ − sin ξ) dξ/ξ α+1 , которая отличается от последнего интеграла на O(|s|3−α ), и учтем, что |s| sign s = s. ПоэтомуiAβs(α) − AI1 (α)|s|α 1 + iβ sign s II13 (α)+ O(|s|2 ).ϕ(s) = 1 +α−1Можно показать, что I3 (α)/I1 (α) = − tg πα/2.
Чтобы теперь получить нетривиальныйпредел, необходимо, как при выводе обычной центральной предельной теоремы, сдвинутьслагаемые: X̃i = Xi − Aβ/(α − 1). Тогда распределение суммы S̃n = X̃1 + X̃2 + · · · + X̃nпосле деления на n1/α сходится к пределу, выражение для характеристической функциикоторого совпадает с полученным выше:ϕ(s) = exp −AI1 (α)|s|α 1 − iβ tg πα2 sign s .3) α = 1: расходимость в третьем слагаемом логарифмическая. Записывая его в виде!Z 1Z ∞Z ∞Z 1dξsin ξsin ξsin ξ − ξdξ = iAβ|s| sign sdξ +dξiAβ|s| sign s+ξ2ξ2ξ2|s| ξ1|s||s|и учитывая, что |s| sign s = s, получим−iAβ|s| ln |s| sign s + const is + O(|s|2 ).Таким образом, полученное выше выражение для характеристической функцииZ ∞Z ∞sin |s|cos ξsin ξαϕ(s) = Adξ+iAβ|s|dξ+ A|s|αsignsα+1α+1|s||s| ξ|s| ξпри α = 1 может быть записано в видеϕ(s) = 1 + const is − AI1 (1)|s|(1 + iβ I11(1) ln |s| sign s) + O(|s|2 )Можно показать, что I1 (1) = π/2.
Поэтому в пределе при n → ∞, применяя подходящийсдвиг случайных слагаемых Xi и перемасштабирование их суммы делением на n, получимϕ(s) = exp[−AI1 (1)|s|(1 + i 2βπ ln |s| sign s)].Естественно, что для получения правильного предела при 1 6 α < 2 потребовались сдвигислагаемых, поскольку распределение несимметрично. Несколько более неожиданно то, что при0 < α < 1, когда математическое ожидание расходится, необходимости в сдвигах не возникает.5.10. Распределение вероятности, задаваемое характеристической функциейϕ(s) = exp iµs − Γ|s|α (1 − iβ tg πα0 < α 6 2, α 6= 1,2 sign s) ,2β1ϕ(s) = exp iµs − Γ|s|(1 − i π ln |s| sign s) , α = 1,где µ — произвольный вещественный параметр, Γ > 0, |β| 6 1, называется распределением Леви–Парето с показателем α (показатель Леви).Явные выражения для соответствующей функции плотности вероятности p известны втрех случаях: α = 2 (гауссово распределение), α = 1 и β = 0 (распределение Коши) и α = 21и β = ±1 («распределение времени выхода», см.
п. П1.20).Интересно отметить, что О. Коши изучал преобразование Фурье функции exp(−|s|α ) и обнаружил для него явное выражение при α = 1. Хотя эта работа не была вероятностной, именноблагодаря ей позднее возник и закрепился термин «распределение Коши».5.11. Распределение Леви–Парето обладает свойством устойчивости: если X1 , . . . , Xn— совокупность независимых случайных величин, распределенных по закону п. 5.10 с одинаковыми параметрами, то можно найти такие положительные константы an , bn , что случайная величина (X1 +· · ·+Xn −an )/bn распределена по Леви–Парето с теми же значениямипараметров.
Если аналогичное утверждение выполнено с an ≡ 0, говорят, что распределение случайных величин Xi обладает свойством строгой устойчивости.5.12. Распределение вероятности с положительной дисперсией называется безгранично делимым, если при любом n > 1 случайная величина X, распределенная по этомузакону, может быть представлена суммой n независимых одинаково распределенных вели(n)(n)(n)(n)чин: X = Y1 + Y2 + · · · + Yn . При этом распределения Yi могут и не совмещаться сраспределением X никаким сдвигом или перемасштабированием.
Примерами безграничноделимых распределений являются устойчивые, а также гамма-распределение и распределение Пуассона (проверьте!). Дискретные распределения, как правило, не являются безгранично делимыми.Важное замечание: в выкладках пп. 5.8, 5.9 конкретный вид плотности при значениях |x|, ограниченных любой наперед заданной константой, не играет большой роли. Можно показать, чтоповедение характеристической функции в нуле определяется только асимптотикой распределениявероятности при больших |x| (см., например, гл.
XVII т. 2 Феллера). Точнее, имеет место следующее утверждение.5.13. Обобщенная центральная предельная теорема. Пусть X1 , X2 , . . . , Xn — совокупность независимых одинаково распределенных случайных величин, распределения вероятности которых обладают степенным убыванием на бесконечности:xα [1 − F (x)] → C+ ,xα F (−x) → C−при x → ∞, где хотя бы она из констант C+ , C− положительна и 0 < α < 2.
Тогдасуществует такая константа a (которую можно выбрать равной нулю при 0 < α < 1),что распределение случайной величины (X1 + · · · + Xn − an)/n1/α при n → ∞ сходится краспределению Леви–Парето с µ = 0.Строго говоря, это утверждение не обобщает центральную предельную теорему п. 5.4, посколькуR ∞ случай α3 = 2 им не покрывается. Действительно, при α = 2 регуляризация слагаемогоcos ξ dξ/ξ приводит к логарифмической расходимости.
Можно показать (§ 5 гл. XVII т. 2|s|книги Феллера), что сходимость к ϕ(s) = exp(− 21 s2 ) все же имеет место, если нормирующий множитель an определяется из соотношения a2n /(n log an ) → const > 0. Заметим, что «естественный»√нормирующий множитель an = n растет недостаточно быстро.Говорят, что при 0 < α < 2 распределения вероятности распадаются на «классы универсальности» по отношению к суммированию случайных величин, представителями которых являютсясоответствующие распределения Леви–Парето.
Еще один класс универсальности охватывает распределения с 2 < α 6 ∞ (в том числе и распределения, убывающие быстрее любой степени x— например, гауссово или гамма-распределение). У таких распределений дисперсия конечна и√ситуация описывается центральной предельной теоремой, а нормирующий множитель есть 1/ n.5.14.
Вернемся еще раз к примеру п. 4.7 с распределением Коши. Если независимыеслучайные величины X, X1 , . . . , Xn распределены не по Коши, а по распределению Леви–Парето с 0 < α < 1, то из только что развитой теории следует, что сумма X1 + · · · +Xn распределена так же, как n1/α X, и поэтому выборочное среднее X распределено какn(1−α)/α X, т. е. при больших n шире, чем любое отдельное слагаемое! Причиной этогопарадокса служит явление, анализу которого посвящена следующая лекция.6.
Статистика экстремальных значений6.1. Наблюдение. Пусть случайные величины X, Y независимы, а их распределениявероятности задаются кумулятивными функциями F , G. Тогда кумулятивная функцияраспределения случайной величины max{X, Y } есть произведение F G:P(max{X, Y } 6 x) = P(X 6 x, Y 6 x) = P(X 6 x) P(Y 6 x) = F (x) G(x).По индукции это наблюдение нетрудно распространить на совокупность любого числа случайных величин.6.2.
И вновь о распределении Коши. Кумулятивная функция распределения Кошиимеет вид F (x) = π1 arctg x + 12 , так что «хвост» при x → ∞ имеет вид11F̃ (x) := 1 − F (x) =+o.πxxКумулятивная функция распределения суммы Sn = X1 + X2 + · · · + Xn независимых слагаемых, распределенных по Коши, имеет вид1x 1FSn (x) = FnX (x) = F ( nx ) = arctg + ,πn 2так что F̃Sn (x) = n/πx+o(1/x) при x → ∞. Наконец, кумулятивная функция распределениямаксимального значения выборки X(n) = max(X1 , X2 , . . . , Xn ) имеет вид1 1 in11 n h1nF(n) (x) = [FX (x)]n =,arctg x += 1−+o=1−+oπ2πxxπxxтак что «хвост» F̃(n) этого распределения имеет такую же асимпотику, как F̃Sn .Этот пример наводит на мысль, что для величин, распределенных по Коши, распределениесамых больших значений суммы Sn = X1 + X2 + · · · + Xn в основном определяется одним илинесколькими максимальными слагаемыми.
Это противоположно поведению сумм случайных величин с конечной дисперсией, в которых все слагаемые вносят сравнимый вклад. Такая структурасумм случайных величин, распределенных с «тяжелыми хвостами», была открыта Б. Мандельбротом в 1960-х годах.Тем самым для распределения Коши, как и для распределений с показателем Леви α < 1,перестает работать механизм подавления случайности при помощи усреднения, на котором основанзакон больших чисел, и полученные парадоксальные результаты находят объяснение.Изучим закон распределения максимума выборки более детально.6.3.
Пусть F(n) (x) = [F (x)]n — кумулятивная функция распределения максимума X(n)набора независимых одинаково распределенных случайных величин X1 , X2 , . . . Xn . Приn → ∞ либо F(n) (x) = [F (x)]n → 0, если F (x) < 1 при всех x, либо распределение X(n) слабосходится к неслучайному распределению, сосредоточенному в точке x0 = min{x : F (x) = 1}.6.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
