А.Н. Соболевский - Конкретная теория вероятностей (1119908), страница 15
Текст из файла (страница 15)
, mk ) =16i6kEMi = npi ,EMi Mj = (n2 − n)pi pj ,DMi = Γii = npi (1 − pi ),Γij = −npi pj при i 6= j.Мультиномиальное распределение обобщает биномиальное на случай более двух исходов.Отрицательность коэффициентов ковариации объясняется тем, что сумма случайных величин M1 , . . . , Mk фиксирована и равна n. Мультиномиальное распределение возникает,например, при выводе критерия χ2 .П1.3. Распределение Пуассона (УУ1.7). Параметр λ > 0:λm −λe , G(z) = eλ(z−1) ;m!√EM = DM = λ, S = 1/ λ, K = 1/λ.P(m) =П1.4. Геометрическое распределение (УУ1.8).
Параметр 0 < p < 1:P(m) = pp̄m−1 (m > 1),G(z) =pz;1 − p̄zEM = 1/p, DM = p̄/p2 ,√S = (1 + p̄)/ p̄, K = (1 + 4p̄ + p̄2 )/p̄.Название связано с тем, что вероятности образуют геометрическую прогрессию.П1.5. Отрицательное биномиальное распределение (УУ1.8). Параметры 0 < p <1, k > 0:k−1 k m−kP(m) = Cm−1p p̄при m > k, pz kиначе P(m) = 0, G(z) =;1 − p̄zEM = m/p, DM = mp̄/p2 ,√S = (1 + p̄)/ mp̄, K = (1 + 4p̄ + p̄2 )/(mp̄).Геометрическое распределение п. П1.4 является частным случаем отрицательного биномиального при k = 1.П1.6.
Равномерное распределение на отрезке (µ − Γ, µ + Γ), Γ > 0 (см. п. 2.5):p(x) = 1/2Γ при |x − µ| < Γ,sin Γsp(x) = 0, ϕ(s) = eiµs;ΓsEX = µ, DX = Γ2 /3,1S = 0, K = −1 .5П1.7. Треугольное распределение. Параметры µ, Γ > 0:1|x − µ| ,0 ,p(x) = max−ΓΓ2EX = µ,DX = Γ2 /6,sin2 ( Γs2 );Γs 2(2)3K=− .5ϕ(s) =S = 0,Характеристическая функция треугольного распределения неотрицательна. Поэтому Γ ·p(x) является характеристической функцией по отношению к Γ · ϕ(s), рассматриваемой какфункция плотности вероятности.П1.8.
Распределение Коши (Брейта–Вигнера, Лоренца). Параметры µ и Γ > 0:p(x) =Γ1,π Γ2 + (x − µ)2ϕ(s) = eiµs−Γ|s| .Моменты всех порядков этого распределения выражаются расходящимися интегралами: вчастности, его математическое ожидание не определено, а дисперсия бесконечна. Параметрµ является медианой и модой распределения Коши.П1.9. Показательное (экспоненциальное) распределение. Параметр λ > 0:(λe−λx , x > 0,1;p(x) =ϕ(s) =1 − is/λ0,x < 0,EX = 1/λ,DX = 1/λ2 ,S = 2,K = 6.Показательное распределение можно рассматривать как «непрерывный аналог» геометрического распределения.П1.10.
Распределение χ2 . Параметр n > 1 (число степеней свободы):nx(x/2) 2 −1 e− 2p(x) =,2Γ(n/2)1ϕ(s) =n ,(1 − 2is) 2pEX = n, DX = 2n, S = 2 2/n, K = 12/n.П1.11. Гамма-распределение. Параметры λ > 0, ν > 0, распределение сосредоточенона положительной полуоси:λν ν−1 −λxxe,Γ(ν)1ϕ(s) =;(1 − is/λ)ν√EX = ν/λ, DX = ν/λ2 , S = 2/ ν, K = 6/ν.p(x) =Гамма-распределение можно рассматривать как «непрерывный аналог» отрицательного биномиального распределения. Распределение χ2 с n степенями свободы является частнымслучаем гамма-распределения (λ = 12 , ν = n2 ).П1.12. Бета-распределение. Параметры α > 0, β > 0, распределение сосредоточенона отрезке (0, 1):Γ(α + β) α−1xα−1 (1 − x)β−1x(1 − x)β−1 =;Γ(α) Γ(β)β(α, β)ααβEX =, DX =.2α+β(α + β) (α + β + 1)p(x) =Выражения для пологости и эксцесса имеют довольно громоздкий вид. В частности, приα = k + 1, β = n + 1 коэффициент имеет вид (n + k + 1)!/k! n! = (n + k + 1)Cnk .П1.13.
Нормальное распределение (распределение Гаусса). Параметры µ и σ 2 :21σ 2 s21e− 2σ2 (x−µ) , ϕ(s) = eiµs− 2 ;2πσEX = µ, DX = σ 2 , S = 0, K = 0.p(x) = √П1.14. Многомерное нормальное распределение. Параметры: n компонентныйвектор m = (mi ) и положительно определенная матрица Γ размера n × n:P b11p(x) = pe− 2 i,j Γij (xi −mi )(xj −mj ) ,n(2π) det Γ1ϕ(s) = eis·m− 2Pi,jΓij si sj,EXi = mi , EXi Xj = Γij + mi mj .Здесь Γ̂ — матрица, обратная к матрице Γ. Кумулянты порядков 3 и выше обращаются внуль. Можно рассматривать вырожденное гауссово распределение, матрица ковариациикоторого неотрицательно определена, но det Γ = 0.
Такое распределение сосредоточено впространстве переменной x на линейном подпространстве, размерность которого определяется числом положительных собственных значений матрицы Γ.П1.15. Логнормальное распределение. Параметры µ, σ:p(x) = √211e− 2σ2 (ln x−µ) при x > 0;2πσ x12EX = eµ+ 2 σ , DX = e2µ ξ(ξ − 1),pS = ξ − 1(ξ + 2),2K = (ξ − 1)(ξ 3 + 2ξ 2 + 6ξ + 6), где ξ = eσ .П1.16. Распределение Фреше. Параметры α > 0, µ, σ > 0:−α−1−αx−µα −( x−µ)σp(x) = e(x > 0),σσ(x−µ −αe−( σ ) , x > µ,F (x) =0,x < µ.П1.17.
Распределение Вейбулла. Параметры α > 0, µ, σ > 0:α−1µ−x ααµ−xp(x) = e−( σ )(x < µ),σσ(µ−x αe−( σ ) , x < µ,F (x) =1,x > µ.П1.18. Распределение Гумбеля. Параметры µ, σ > 0:p(x) =1 − x−µ −e− x−µσe σ,σF (x) = e−e−x−µσ.П1.19. Распределение Стьюдента.
Параметр n > 1 (число степеней свободы):1 Γ( n+112 );p(x) = √nxπn Γ( 2 ) (1 + 2 ) n+12nnEX = 0 при n > 1, DX =при n > 2,n−26S = 0при n > 3, K =при n > 4.n−4П1.20. Распределение времени выхода. Параметр Γ > 0:√√Γ −Γp(x) = √e 2x , ϕ(s) = e−Γ s (1+i sign s) .32πxМоменты всех порядков расходятся..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
