А.Н. Соболевский - Конкретная теория вероятностей (1119908), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Пусть независимым случайным величинам X, Y соответствуют кумулятивныефункции распределения F и G и характеристические функции ϕ и γ. Покажите, чтоZZϕXY (s) = ϕ(sy) dG(y) = γ(sx) dF (x)и получите аналогичную формулу для ϕX/Y .У3.6. Найдите характеристические функции: (a) равномерного распределения на отрез1ке (− 21 , 21 ) и на отрезке (a, b), a < b; (b) распределения Коши p(x) = π(1+x2 ) ; (c) показательного распределения p(x) = αe−αx ; (d) гамма-распределенияαν ν−1 −αxp(x) =xe;Γ(ν)(e) нормального распределения1 21p(x) = √ e− 2 x ;2π(f) распределения Стьюдента (см.
У2.14).У3.7. Являются ли следующие функции характеристическими функциями каких-либораспределений вероятности?ϕ1 (s) = max(1 − |s|, 0);ϕ2 (s) = max(1 − |s|, 21 − 14 |s|, 0);1/2ϕ3 (s) = e−|s|;4ϕ4 (s) = e−s .У3.8. Распределение вероятности случайной величины X называется безгранично делимым, если для любого n > 1 найдутся такие независимые одинаково распределенные(n)(n)(n)(n)случайные величины Y1 , . . . , Yn , что X = Y1 + · · · + Yn . Покажите, что гаммараспределение, нормальное распределение, распределение Пуассона безгранично делимы.Безгранично делимое распределение вероятности называется устойчивым, если случай(n)ные величины Yi получаются из X линейным преобразованием.
Какие из перечисленныхраспределений устойчивы?У3.9. Пусть X, Y — две одинаково распределенных независимых случайных величины с нулевым математическим ожиданием, единичной дисперсией и характеристическойфункцией ϕ. Проверьте, что если случайные величины X + Y и X − Y независимы, то1 2ϕ(2s) = ϕ3 (s) · ϕ(−s). Выведите отсюда, что ϕ(s) = e− 2 s .Это характеристическое свойство нормального распределения применяют для того, чтобы определить аналог нормального распределения на произвольной коммутативной группе — т.
н. нормальное распределение в смысле Бернштейна.У3.10. Найдите распределение вероятности суммы двух независимых величин, обладающих плотностями вида√2p(x | λ) = e−λ /2x λ/ 2πx3 ,x>0с различными значениями λ0 , λ00 .У4. Многомерное нормальное распределениеВ упражнениях этого параграфа выборка X1 , X2 , . . . , Xn понимается как совокупностьнезависимых случайных величин, распределенных по одному и тому же закону.У4.1. Характеристическая функция нормальной случайной величины Y есть ϕ(s) =− 21 s2e. Общая гауссова скалярная случайная величина с математическим ожиданием µи стандартным отклонением σ определяется как X = µ + σY . Найти выражения дляхарактеристической функции ϕX (s) и плотности вероятности pX (x).У4.2.
Получить выражение для функций плотности вероятности длины вектора, состоящего из n независимых нормальных случайных величин, и квадрата его длины. Какнормировочная константа в этих формулах связана с площадью единичной (n − 1)-мернойсферы? Как будет распределен квадрат длины вектора,если на его компоненты дополниPтельно наложено p однородных линейных условий i ai Xi = 0?Закон распределения квадрата длины свободного вектора с независимыми нормальными компонентами называется χ2 -распределением с n степенями свободы.
Каждое дополнительноеограничение уменьшает число степеней свободы на единицу.У4.3. Предположим, что абсолютно непрерывное распределение вероятности скалярнойслучайной величины X обладает следующим свойством: плотность совместного распределения набора n независимых случайных величин,распределенных по такому же закону,pP2 . Показать, что распределение X норxзависит только от радиальной координатыi iмально (точнее, гауссово с нулевым математическим ожиданием).У4.4. Предполагая все необходимые моменты конечными, найти математические ожидания среднего выборки и дисперсии выборки11 XX = (X1 + · · · + Xn ),S2 =(Xi − X)2nn16i6nВыразить дисперсии этих величин через центральные моменты или кумулянты случайныхвеличин Xi и показать, что с ростом n эти дисперсии убывают как 1/n.У4.5.
Пусть выборка состоит из гауссовых величин. Показать, что среднее выборки Xи дисперсия выборки S 2 являются независимыми случайными величинами, и найти законыих распределения.У4.6. Пусть математическое ожидание и дисперсия каждой из величин Xi равны µ и σ 2соответственно. Показать, что если X и S 2 независимы, то распределение случайных величин Xi с необходимостью является гауссовым.Указание: характеристическая функция совместного распределения имеет видZ2ϕ(u, v) = eiux+iv s dF (x1 ) . . . dF (xn ),Pгде x = n1 (x1 +· · ·+xn ), s2 = n1 16i6n (xi −x)2 .
Вычислите ∂ϕ(u, v)/∂v|v=0 двумя способами:дифференцируя под интегралом и пользуясь тем, что по условию ϕ(u, v) = ϕ1 (u) ϕ2 (v), гдеϕ1 (u) = (ϕ(u/n))n .У4.7. В условияхупражнения У4.5 найти функцию плотности вероятности для отноше√ния Z = X/ S 2 (ср. п. (b) упражнения У2.14).Напомним известные соотношения для эйлеровых интегралов:Z 1Z +∞hΓ(α) Γ(β)y iy α−1 dyB(α, β) =xα−1 (1 − x)β−1 dx = x ===.α+β1+y(1+y)Γ(α + β)00√Случайная величина T = Z n − 1 называется t-статистикой Стьюдента (У.
Госсет, 1908). Еезакон распределения при n = 1 совпадает с распределением Коши, а при n → ∞ стремится кнормальному.У4.8. Пусть X10 , X20 , . . . , Xn0 0 и X100 , X200 , . . . , Xn0000 — две независимых выборки из нормального распределения. Получить функцию плотности вероятности величины (F -статистикаФишера)P100 2i0 (Xi0 − X )n0 −1F = 1 P.0000 2i00 (Xi00 − X )n00 −1У4.9. Общий гауссов случайный вектор Y = (Y1 , Y2 , . . . , Yn ) — это векторная случайнаявеличина, все скалярные проекции которой Y · s суть гауссовы скалярные случайные величины (п.
3.27). Принимая, что EY = µ и EYk Yl − EYl EYl = Γkl , найти выражения дляхарактеристической функции ϕY (s) и плотности вероятности pY (x) гауссова случайноговектора, если матрица ковариации Γ не имеет нулевых собственных значений. Можетли матрица ковариации иметь отрицательные собственные значения?У4.10. Коэффициентом корреляции компонент Y√k и Yl случайного вектора, обладающего матрицей ковариации Γ, называется ρkl = Γkl / Γkk Γll .
Показать, что |ρkl | 6 1.Какой вид имеет распределение гауссова случайного вектора, если для некоторой пары егокомпонент ρkl = ±1?У4.11. Записать функцию плотности вероятности двухкомпонентного гауссова случайного вектора, если µ = 0 и заданы дисперсии DY1 = σ12 , DY2 = σ22 и коэффициент корреляции ρ. Получить выражение для условной плотности вероятности pY2 (x2 | Y1 = x1 ).У4.12. В условиях предыдущего упражнения найти условное математическое ожиданиеEy1 Y2 и вычислить его дисперсию, подставляя вместо x1 случайную величину Y1 . Найтиусловную дисперсию Dy1 Y2 и вычислить ее математическое ожидание как функции случайной величины Y1 .
Проверить, что E(DY1 Y2 ) + D(EY1 Y2 ) = DY2 . Выполнено ли это тождествов общем случае?Конструкция случайной величины как условного математического ожидания, предложенная вэтом упражнении, играет важную роль в теории случайных процессов.У4.13. Пусть pX,Y (x, y) — дважды дифференцируемая функция плотности вероятностисовместного распределения. Покажите, что линейное преобразование, переводящее X, Y впару независимых случайных величин, существует тогда и только тогда, когда для некоторых констант A, B, CA∂2∂2 ∂2+ 2B+ C 2 log pX,Y = 0.2∂x∂x ∂y∂yУ4.14. Под k-й порядковой статистикой понимается случайная величина X(k) , которая равна k-му по счету значению в векторе, получаемом сортировкой (X1 , X2 , .
. . , Xn )в порядке возрастания (в частности, X(1) = mini Xi , X(n) = maxi Xi ). Получить выражение для функций плотности вероятности: (a) распределения k-й порядковой статистики;(b) совместного распределения k-й и l-й порядковых статистик (k < l).У4.15. Медианой выборки X1 , X2 , . . . , Xn называется X( n+1 ) при нечетном n или2среднее арифметическое X( n2 ) и X( n2 +1) при четном n. Каким условиям должно удовлетворять распределение случайных величин Xi , чтобы дисперсия медианы выборки с ростомn убывала как 1/n? Пусть DXi = σ 2 ; что больше — дисперсия среднего или медианывыборки?У4.16. Квартилями выборки называются порядковые статистики, номера которыхравны n/4 и 3n/4, округленным до ближайшего целого. Показать, что дисперсия разностиквартилей выборки при больших n убывает как 1/n.П1.
Приложение 1. «Зоопарк» распределений вероятностиВ каждом из пунктов данного раздела символы M , Mi или X, Xi обозначают случайнуювеличину или набор величин, определяемых в данном пункте, m, mi , x xi — их значения.Значения целочисленных величин везде неотрицательны. Производящая функция моментов: Φ(u) = G(eu ). Символы Γij , S и K обозначают коэффицианты ковариации, асимметриюи эксцесс.П1.1. Биномиальное распределение. Параметры 0 < p, p̄ < 1, p + p̄ = 1, n > 1:P(m) = Cnm pm p̄n−m ,G(z) = (p̄ + pz)n ;EM = np, DM = npp̄,√S = (p̄ − p)/ npp̄, K = (1 − pp̄)/npp̄.Вывод см.
в УУ1.4. Здесь Cnm =n!m! (n−m)!при 0 6 m 6 n, иначе Cnm =0.П1.2. Мультиномиальное распределение. Параметры p1 , . . . , pk (0 < pi < 1, p1 +· · · + pk = 1) и n > 1:n!kpm1 . . . pmk ,m1 ! . . . mk ! 1 XnG(z1 , . . . , zk ) =zi p i ;P(m1 , . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
