А.Н. Соболевский - Конкретная теория вероятностей (1119908), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Проделать те же вычисления для числаNk неудач до k-го успеха.У1.9. Задача о сборщике купонов. На каждой упаковке овсянки печатается купонодного из k различных цветов. Считая, что при отдельной покупке купон каждого цветаможет встретиться с равной вероятностью и различные покупки независимы, найти производящую функцию распределения вероятности, математическое ожидание и дисперсиючисла упаковок, которые придется купить для того, чтобы собрать купоны всех k цветов. −n Можно показать, что p(n) = k! n−1k , где nk — число способов разбить n-элементное множеk−1ство на k непустых подмножеств, или число Стирлинга второго рода. Числавозникают P Стирлингатакже при выражении обычных степеней через факториальные: xn = 06k6n nk xk .
Подробнеесм.: Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. Основание информатики. М.:Мир, 1998, гл. 6, 8.У1.10. Пусть случайная величина M имеет производящую функцию G(z). Выразитепроизводящую функцию величины N = 2M .У1.11. Пусть случайные величины M и N имеют производящие функции распределениявероятности F (z) и G(z) и 0 < p < 1. Является ли pF (z) + (1 − p)G(z) производящей функцией распределения вероятности какой-либо случайной величины? Как можно описатьсловами соответствующее случайное испытание? Ответьте на те же вопросы для функцииF (G(z)).У1.12.
«Прореживание» (thinning) по Реньи. Пусть N — целочисленная случайнаявеличина и 0 6 α 6 1. Образуем случайную величину Tα N , сложением N независимых случайных слагаемых, каждое из которых равно 1 с вероятностью α и 0 с вероятностью 1 − α.Выразите производящую функцию распределения вероятности Tα N через производящуюфункцию G(z) случайной величины N . Как прореживание действует на факториальныемоменты? Как изменяются при прореживании биномиальное, отрицательное биномиальное, геометрическое распределения, распределение Пуассона?При доказательстве асимптотических теорем для непрерывных распределений вероятности большую роль играет операция масштабного преобразования.
«Прореживание» — это ее аналог, сохраняющий дискретный характер случайной величины.У1.13. Вырождение ветвящегося процесса. Пусть число потомков в одном поколении ветвящегося процесса — случайная величина с производящей функцией распределениявероятности G(z). Найти предел вероятности, что в k-м поколении число потомков будетравно нулю, при k → ∞. Каково необходимое и достаточное условие того, что этот пределравен единице (т.е. в пределе наступает вырождение)?У1.14.
Красавица и чудовище. В лесах дремучих стоит дом не дом, чертог не чертог,а дворец зверя лесного, чуда морского, весь в огне, в серебре и золоте и каменьях самоцветных. Красная девица входит на широкий двор, в ворота растворенные, и находит там тридвери, а за ними три горницы красоты несказанной, а в каждой из тех горниц еще по тридвери, ведущие в горницы краше прежних.Походив по горницам, красная девица начинает догадываться, что дворец построен ярусами: двери со двора ведут в горницы первого яруса, из тех — в горницы второго яруса, итак далее. В каждой горнице есть вход и три выхода, ведущие в три горницы следующегояруса. В горницах последнего, n-го яруса растворены окна широкие во сады диковинные,плодовитые, а в садах птицы поют и цветы растут.Вернувшись на широкий двор и отдохнув, красная девица видит, что произошла перемена: ворота, через которые она вошла, и часть дверей внутри дворца сами собой затворились,да не просто так, а каждая дверь с вероятностью 31 независимо от других.
Немного обеспокоенная, красная девица начинает метаться из горницы в горницу сквозь оставшиесянезатворенными двери в поисках выхода. Покажите, что при больших√ n вероятность, чтоона сможет добраться до окон, растворенных в сады, близка к (9 − 27)/4 ≈ 95%.У1.15.
Случайная перестановка. На корабле служит k матросов. После увольнительной они возвращаются навеселе и занимают койки в кубрике как придется. Принимая,что все перестановки матросов по койкам равновероятны, найти вероятность того, что наутро ни один из них не проснется в своей койке. Какова асимптотика этой вероятности приk → ∞? Показать, что такое же предельное значение имеет и вероятность отсутствия неподвижных точек в произвольном отображении k-элементного множества в себя (без условиявзаимной однозначности).У2. Упражнения к лекции 2У2.1. Пусть X — скалярная случайная величина.
При каких значениях m и µ обращаются в минимум E|X − m| и E(|X − µ|2 )? Считается, что необходимые интегралы сходятся,т. е. математические ожидания E|X| и (во второй части упражнения) EX 2 конечны.У2.2. Пусть X — случайная величина, распределение которой сосредоточено на полуосиx > 0. Предполагая, что момент µk порядка k > 1 существует, найти интегральную формулу, выражающую его через кумулятивную функцию распределения FX (x), не прибегаяк дифференцированию.У2.3.
Получить формулу для кумулятивной функции распределения условной вероятности FX (x | Y = y), если в точке y имеется атом вероятности маргинального распределенияFY : P(Y = y) = p0 > 0 (ср. п. 2.24).У2.4. Проверить формулы п. 2.25. Можно ли получить для pX (x | X = Y ) еще какиелибо другие ответы?У2.5. Пусть X, Y — две независимые случайные величины, распределенные по одномузакону с кумулятивной функцией F с конечным математическим ожиданием.
Покажите,что средняя абсолютная разностьZ +∞ Z +∞∆1 =|x − y| dF (x)dF (y)−∞−∞может быть выражена какZ+∞F (x) [1 − F (x)] dx.∆1 = 2−∞У2.6. Пусть в условиях предыдущего упражнения распределение F обладает дисперсиейσ 2 . Найдите величину отношенияZ +∞ Z +∞1|x − y|2 dF (x)dF (y).σ 2 −∞ −∞У2.7. Найдите математическое ожидание и дисперсию для гамма-распределения, плотность которого имеет видp(x | α, ν) =αν ν−1 −αxxeпри x > 0.Γ(ν)Интегральное представление гамма-функции Эйлера имеет вид Γ(ν) =следует известное тождество Γ(ν + 1) = νΓ(ν).R +∞0ξ ν−1 e−ξ dξ, откудаУ2.8.
Покажите, что замену переменной y = f (x) в распределении вероятности с плотностью pX (x) можно сделать по формулеZpY (y) = δ(y − f (x))pX (x) dx,где δ — дельта-функция Дирака.У2.9. Пусть случайная величина X распределена нормально:1 21pX (x) = √ e− 2 x .2πНайдите функцию плотности вероятности для случайной величины Y = X 2 .У2.10.
Проделайте то же вычисление для распределения Коши pX (x) = π1 (1+x2 )−1 , еслиY = 1/X. Каково может быть простое геометрическое объяснение полученного результата?У2.11. Случайные величины X, Y обладают совместным распределением с плотностьюpX,Y (x, y). Выразите pX+Y (t) и pX/Y (t).У2.12. Случайные величины X, Y независимы и одинаково распределены с плотностьюp(x). Найдите плотность вероятности: (a) суммы X + Y , если p(x) — плотность равномерного распределения на (− 12 , 21 ); (b) отношения X/Y , если p(x) — плотность нормальногораспределения У2.9.У2.13.
Найдите функцию плотности вероятности суммы двух независимых случайныхвеличин, обладающих гамма-распределением У2.7 с одинаковым масштабным параметром α, но различными ν 0 , ν 00 .Напомним известное тождество для бета-функции Эйлера:R10ξ µ−1 (1 − ξ)ν−1 dξ =Γ(µ)Γ(ν).Γ(µ+ν)У2.14. Пусть X, Y1 , . .
. , Yk — независимые случайные величины, распределенные понормальному распределению У2.9. Найдите функции плотности распределения: (a) сум√мы V = Y12 + . . . + Yk2 (распределение χ2 с k степенями свободы); (b) отношения X/ V(распределение Стьюдента с k степенями свободы).У2.15. Проблема моментов. Найдите моменты всех порядков случайной величины,заданной на положительной полуоси функцией плотности вероятности21e− 2 (ln x)[1 + a sin(2π ln x) ,xгде |a| < 1. Зависят ли они от параметра a?У2.16. Оценки Фреше–Хёфдинга.
Покажите, что для любого совместного распределения случайных величин X, Y выполнены неравенстваp(x | a) = constFX,Y (x, y) > max[0, FX (x) + FY (y) − 1],FX,Y (x, y) 6 min[FX (x), FY (y)],где FX (x), FY (y) — кумулятивные функции маргинальных распределений.У2.17. Пусть FX (x), FY (y) — кумулятивные функции распределения иCθ (u, v) = uv[1 − θ(1 − u)(1 − v)].При каких значениях θ функция Cθ (FX (x), FY (y)) есть кумулятивная функция распределения? Каким общим условиям должна удовлетворять функция C(u, v), чтобы прианалогичной подстановке получалась корректно определенная кумулятивная функция распределения?Такая функция C называется копулой (copula). Копула выражает ту информацию о распределении случайных величин X, Y , которая не связана с конкретным видом маргинальных распределений, т.
е. информацию об их взаимной зависимости.У2.18. При ν = 1 гамма-распределение переходит в показательное распределение p(x)= αe−αx . Найдите соответствующую кумулятивную функцию распределения F (x) и покажите, что1 − F (x)1−1 − F (x0 )при x > x0 > 0 можно понимать как кумулятивную функцию распределения некоторойслучайной величины. Как можно описать словами соответствующее случайное испытание?У2.19. Пусть F , G — кумулятивные функции распределения скалярных случайных величин, 0 < p < 1, λ > 0. Проверьте, что выраженияpF (x) + (1 − p)G(x),F (x) · G(x),pF (x), F (x) eλ(F (x)−1)1 − (1 − p)F (x)задают кумулятивные функции распределений некоторых случайных величин.
Как можноописать словами соответствующие случайные испытания?У2.20. Случайное испытание совершается следующим образом: сначала разыгрываетсяслучайная величина Λ, распределенная по закону У2.7 с параметрами α, m (где m — положительное целое число), а затем разыгрывается случайная величина, распределенная поПуассону с параметром Λ. Найдите распределение вероятности получаемой целочисленнойслучайной величины.У2.21. Случайное испытание совершается следующим образом: сначала разыгрываетсяслучайная величина D, распределенная с плотностьюλ2λe− 2x , x > 0,pD (x) = √2πx3а затем — гауссова случайная величина (У2.9) с дисперсией D.
Найдите функцию плотностивероятности получаемой случайной величины.У3. Упражнения к лекции 3У3.1. Что можно сказать о распределении вероятности, характеристическая функциякоторого периодична с периодом S?У3.2. Пусть ϕ — характеристическая функция. Будут ли ϕ∗ , |ϕ|2 , ϕ2 , Re ϕ характеристическими функциями каких-либо распределений вероятности?У3.3. Пусть ϕ — характеристическая функция некоторой случайной величины. Являются ли характеристическими функциямиZ +∞1ϕ(su)e−u du,?2 − ϕ(s)0Как можно описать соответствующие случайные испытания?У3.4.
Составное распределение Пуассона. Случайное испытание совершается следующим образом: сначала разыгрывается целочисленная случайная величина N , распределенная по Пуассону с параметром λ, а затем находят сумму N независимых одинаковораспределенных случайных величин с характеристической функцией ϕ. Найти характеристическую функцию полученной суммы.У3.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
