А.Н. Соболевский - Конкретная теория вероятностей (1119908), страница 4
Текст из файла (страница 4)
п. 1.15)FX (x | Y ∈ A) =P(X1 6 x1 , . . . , Xn 6 xn , Y ∈ A).P(Y ∈ A)Для достаточно регулярных абсолютно непрерывных распределений (например, выражаемых кусочно-непрерывными функциями плотности вероятности) можно написать выражение для функции условной плотности вероятности: если X, Y — две компонентыслучайного вектора и P(Y = y) = 0, тоR y+δp(x, y 0 ) dy 0pX,Y (x, y)y−δ X,Y=.pX (x | Y = y) = lim pX (x | y − δ < Y < y + δ) = lim R +∞R y+δ00δ→0δ→0pY (y)dx y−δ pX,Y (x, y ) dy−∞Вообще, если X, Y — для случайных вектора, рассматриваемых вместе, то функция условной плотности вероятности случайного вектора X при условии, что Y = y, задается выражением pX|Y ( x | y ) = p(x, y)/pY (y).По сравнению с п.
1.15 определение условной плотности в абсолютно непрерывном случае учитывает тот факт, что P(Y = y) = 0. Говоря нестрого, речь идет об условной вероятности поотношению к «событию» y 6 Y 6 y + dy, имеющему «инфинитезимально малую, но положительную» вероятность. Следующий пример иллюстрирует возникающую здесь тонкость.2.25. Контрпример. Пусть плотность pX,Y (x, y) задает равномерное распределениена единичном квадрате (0, 1)2 . Тогда pX (x | X = Y ), понимаемая как предел при δ →0 условной плотности pX (x | −δ < X − Y < δ), постоянна и равна 1, в то время каканалогичный предел для pX (x | 1 − δ < X/Y < t + δ) равен 2x (проверьте!).2.26. Компоненты X1 , . . .
, Xn случайного вектора X называются независимыми всовокупности, если их совместное распределение вероятности распадается в произведение индивидуальных распределений отдельных компонент: F (x) = FX1 (x1 ) . . . FXn (xn ) илиp(x) = pX1 (x1 ) . . . pXn (xn ).2.27. Свойства пп. 1.19 и 1.21 (аддитивность математического ожидания и аддитивностьдисперсии, если случайные величины независимы) выполнены и в непрерывном случае.3. Характеристические функции распределений вероятности.
Гауссовыслучайные величиныВведенные в предыдущей лекции конструкции находятся в прямой аналогии с дискретным случаем и позволяют в принципе полностью описать распределение вероятности любой заданной случайной величины или случайного вектора. Тем не менее работать с ними технически неудобно:формулы громоздки, при вычислениях приходится различать абсолютно непрерывные и чисто точечные компоненты распределений и т. п.
В этой лекции вводится аппарат характеристическихфункций, основанный на аналогии с производящими функциями целочисленных случайных величин. Этот аппарат значительно облегчает вероятностные вычисления.3.1. Характеристической функцией распределения вероятности случайной величины X называется функцияZ ∞ϕX (s) = EeisX =eisx dFX (x)−∞(преобразование Фурье–Стилтьеса распределения FX ).Для любого распределения вероятности данный интеграл сходится абсолютно, поскольку|eisx | = 1. Для абсолютно непрерывного распределения вероятности характеристическаяфункция совпадает с преобразованием Фурье функции плотности вероятности pX (x).Прямым аналогом производящей функции дискретного распределениявероятности являетсяRболее экзотическое преобразование Меллина–Стилтьеса Ez X = z x dFX (x) (ср. п.
1.22), но напрактике им не пользуются из-за аналитических трудностей, связанных с его определением.Можно было бы также рассматривать прямойR аналог производящей функции моментов (п. 1.24) —преобразование Лапласа–Стилтьеса EesX = esx dFX (x) распределения вероятности, однако условие сходимости этого интеграла гораздо ограничительнее, чем для характеристической функции.3.2. Производные характеристической функции имеют вероятностный смысл:dk ϕX = EX k .kd(is) s=0PСледовательно, ϕX (s) = k>0 EX k (is)k /k!, если данный ряд сходится.Интегралы, выражающие моменты достаточно высоких порядков, могут расходиться, если распределение вероятности слишком медленно убывает на бесконечности.
В таких случаях характеристическая функция не имеет производных соответствующих порядков в нуле. Это проявлениеобщего свойства: поведение «на бесконечности» одной из функций, сопряженных преобразованиемФурье, отображается в поведение другой функции в окрестности нуля.3.3. Пример. Найдем характеристическую функцию распределения распределения Коши p(x) = (π(1 + x2 ))−1 . При s > 0 методом вычетов получаемIm x|x| = R → ∞ϕ(s) =i1πZ+∞−∞eisx1 eisx dx = 2πi= e−s .(x − i)(x + i)π x + i x=iRe x−iПри s < 0 контур интегрирования замыкается через нижнюю полуплоскость, а его ориентация противоположна. Ответ определяется полюсом при x = −i: ϕ(s) = es .
Комбинируяоба ответа, получаем ϕ(s) = e−|s| : в нуле ϕ не имеет ни одной производной, а все моментыEX k расходятся.Трудность другого типа возникает, если все моменты существуют, но растут слишком быстро, так что ряд Тейлора характеристической функции расходится. В этом случае распределениевероятности не всегда может быть однозначно восстановлено по совокупности своих моментов.3.4. Пример. Моменты логнормальногораспределения, которое имеет на полуоси x > 0√22плотность p(x) = e−(ln x) /2 / 2πσ 2 x2 , конечны и равны EX k = ek /2 , так что ряд Тейлора его характеристической функции расходится. Такие же моменты имеет распределениеp̃(x) = p(x)(1 + sin(2π ln x)) (упражнение У2.15).В лекции 4 будет показано, что по характеристической функции распределения само распределение восстанавливается однозначно.
Выяснение точных условий, при которых его можно восстановить по последовательности моментов (т. е. условий аналитичности характеристической функции втерминах моментов) — это так называемая проблема моментов. Для этого требуется некотороеограничение на рост моментов, например такое, как в следующей теореме.P3.5. Теорема Карлемана (без доказательства). Если ряд k>0 (EX 2k )−1/2k расходится, то характеристическая функция аналитична при s = 0 и может быть восстановлена посвоему ряду Тейлора.3.6. |ϕX (s)| 6 1 всюду, причем ϕX (0) = 1.J Следует из того факта, что |eisx | = 1.
I3.7. Re ϕX (−s) = Re ϕX (s), Im ϕX (−s) = − Im ϕX (s), ϕX (−s) = ϕ∗ (s); если распределение случайной величины X симметрично, то Im ϕX (s) ≡ 0.3.8. Характеристическая функция равномерно непрерывна при −∞ < s < ∞.J Действительно, выберем сколь угодно малое ε > 0 и оценим разность значений характеристической функции в точках s и s + h следующим образом: ZZ isxihxi(s+h)xise − 1 dF (x) 6− e dF (x) = e|ϕ(s + h) − ϕ(s)| = eZZZ ihx ihxe − 1 dF (x) +e − 1 dF (x).6 eihx − 1 dF (x) =|x|6R|x|>RТеперь выберем R настолько большим, чтобы P(|X| > R) < ε/4. Поскольку |eihx − 1| 6 2,второй интеграл при этом не превосходит по величине ε/2.
После этого выберем h стольмалым, чтобы |eihx − 1| < ε/2 при всех |x| 6 R. Тогда и первый интеграл не превосходит ε/2и, таким образом, по заданному ε > 0 подобрано столь малое h > 0, что |ϕ(s + h) − ϕ(s)| < εпри любом s. IИногда возникает необходимость проверить, является ли заданная функция характеристическойфункцией некоторой случайной величины.
Результаты предыдущих пунктов дают необходимые,но не достаточные условия этого. Чтобы получить необходимый и достаточный критерий, заметим, что множество характеристических функций состоит из всевозможных выпуклых комбинацийэкспонент eisx . Следующая теорема дает двойственное описание этого выпуклого множества какрешения некоторой системы линейных неравенств.3.9.
Теорема Бохнера (без доказательства). Функция ϕ(s) является характеристической функцией некоторой случайной величины тогда и только тогда, когда она непрерывнаи положительно определена: для Pлюбых наборов (si ) и комлексных чисел (ξi ), 1 6 i 6 k,k = 1, 2, . . . , выполнено неравенство i,j ϕ(si − sj )ξi ξj∗ > 0, где ξ ∗ обозначает комплексноесопряжение.3.10.
Закон преобразования характеристической функции при аффинном преобразовании скалярной случайной величины:ϕaX+b (s) = Eeis(aX+b) = EeiasX eisb = eisb ϕX (as).Аналогичная формула для кумулятивной функции распределения:FaX+b (x) = P(aX + b 6 x) = P(X 6x−ba )= FX ( x−ba ),a > 0.3.11. В силу пп. 3.8 и 3.6 в окрестности точки s = 0, где ϕX (s) > 0, может быть определенхарактеристический показатель ηX (s) = ln ϕX (s) (это определение однозначно, еслиположить ηX (0) = 0 и потребовать непрерывности ηX , т.
е. оставаться на главной ветвикомплексного логарифма).3.12. При сложении независимых случайных величин их характеристические функцииперемножаются:ϕX+Y (s) = EeisX+Y = E(eisX eisY ) = [X ⊥ Y ] = EeisX EeisY = ϕX (s) ϕY (s) (ср. п. 1.26)и поэтому функции плотности вероятности слагаемых подвергаются свертке (ср. п. 1.27):Z ∞pX+Y (u) =pY (u − x)pX (x) dx,−∞а характеристические показатели складываются:ηX+Y (s) = ηX (s) + ηY (s).3.13. Коэффициенты разложения характеристического показателя случайной величины X в ряд Тейлора с центром в нуле называются кумулянтами случайной величины X(ср. п. 3.2):X (is)kdηX (s) .ηX (s) =κk, κk =k!ds s=0k>03.14.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
