Г. Голдстейн - Классическая механика (1119841), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Рассматриваемая система имеет шесть степеней свободы и, следовательно, характеризуется шестью независимыми обобщенными координатами. В качестве таких координат мы выберем три составляющих радиуса-вектора И, идущего в центр масс системы, и три составляющих вектора г= — гя — лы Тогда лагранжиан этой системы будет иметь вид 7.= Т(Гч, г) — )г(г, л, ...).
(3.1) 1(инетическая энергия этих точек морис.19. Координаты системы з задаче о двух телах. >нет быть представлена в виде суммы ки- нетической энергии движения центра масс и кинетической энергии движения системы относительно центра масс. Таким обрззом, будем иметь Т=- —,(т>+т,)А>х + Т', 1 73 а 3.2! яглвнения движения и пяевьш интеггллы где Т' — ! т,г', . ( 1 т,г,', 2 ' ' 2 а г', и г' — векторы, идущие к точкам 1 и 2 из нх центра масс. Они определяются соотношениялш: тг г = — —,г, г= т,=,, 'тг т1 1 тг Подставляя правые части формул (3.2) в выражение для Т', получаем тгтг г. 2 тг+ тг (3.2) пц та !г (3.4) тг+ тг (р называют приведенной лгассой).
Следовательно, задачу о движении точек 1 и 2 относительно их центра масс всегда можно свести к эквивалентной задаче для одной точки. Соотношение (3.4) часто записывают в виде 1 1 1 — = — + —. и тг тг (3.5) ф 3.2. Уравнения движения и первые интегралы. й!ы о~ранингмся случаем строго центральной силы, когда потенциал !г является функцией только г, и поэтому сила взаимодействия направлена вдоль г.
Из предыдущего следует, что нам нужно решить задачу о движении точки массы т относительно неподвижного центра силы, который мы будем считать совпадающим с началом координат. Так как потенциальная энергия зависит в нашем случае только Лагранжиан (3.1) тогда принимает вид ! "и+тара ( рпг 'г )г( ) 2 2 тг+та Теперь можно видеть, что три координаты И являются циклическими, н следовательно, центр масс этих точек либо будет находиться в покое, либо двигаться равномерно. Что касается уравнений движения, определяющих вектор г, то нн одно из них не будет содержать составляющих вектора !ч илн Ф. Поэтому процесс интегрирования будет здесь особенно простым, и во всех проводимых ниже рассуждениях можно будет опустить первый член лагранжнзна.
Оставшаяся часть будет тогда такой, как будто мы имеем дело с неподвижным центром силы и с одной движущейся точной, радиус- вектор которой относительно этого центра равен г, а масса равна (гл. 3 74 пвозлсмл дВух тел от расстояния г, то мы ~и~~~ дело со слсчаем сферической симметрии, при которой допустим произвольный поворот около любой оси. Поэтому любая угловая координата, характеризующая вращение около неподвижной оси, должна быть циклической.
Симметрия рассматриваемой системы значительно упрощает ев исследование. Прежде всего, из сферической симметрии вытекает, что вектор кинетического момента С =-л)с'. р будет в нашем случае постоанным. Отсюда следует, что радиус- вектор г будет всв время перпендикулярным к фиксированному направлению вектора Х, что возможно только тогда, когда вектор г все время лежит в неподвижной плоскости, перпендикулярной к ь'. Следует, однако, заметить, что это утверждение теряет смысл, если Е равно нулю. Но ясно, что в этом случае мы будем иметь дело с движением вдоль прямой, проходящей через центр силы, Действительно, из условия Х = 0 следует, что вектор г параллелен г, а это возможно только в случае прямолинейного движения ь).
Таким образом, движение под действием центральной силы всегда является плоским. Движение точки описывается тремя координатами; в сферических полярных координатах ими являются полярный радиус г, азимутальный угол 0 и угол ф между полярным радиусом и осью л. Если направить ось л вдоль вектора Е, то движение будет происходить в плоскости, перпендикулярной к этой оси; при этом координата ф будет иметь постоянное значение †.72 и может быть исключена из последующего рассмотрения.
Постоянство вектора кинетического момента давт три независимые константы движения (соответствующие трем составляющим этого вектора). Две из них характеризуют постоянное направление вектора кинетического момента и уже были использованы нами при сведении задачи с тремя степенями свободы к задаче с двумя степенями свободы.
Третья константа, равная ~Е ~, пока еще нами не учтена и появится позже. Лагранжиан рассматриваемой системы. выраженный теперь в плоских полярных координатах, имеет вид 7.=Т вЂ” ) = — <гз+гт)--) Гг). 1 2 (3.6) Как и следовало ожидать, координата 0 является циклической, и соответствующий ей обобщенный импульс представляет собой кинетический момент системы, равный дг.
рз — — —. = лгга0 д0 ') Формально зто следует пз равенства г = Ра„+ г0пз, которое показывает, что если г / г = о, то 0 = О. 0 3.2! ГРАВННШЯ Двизкепня И ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 75 Поэтому одно из двух уравнений движения запишется в виде р: =- — (тг20) =- О, д 212 (3.7) Отс2ода непосредственно получается первый интеграл тгв0 =-1, (3.8) где ! — константа, равная величине кинетического момента, Из урав- нения (3.7) следует также, что (3.9) 2 Коэффициент '/2 мы ввели сюда потому, что величина — г'0 представляет собой семториальную скорость точки, т.
е. площадь, описываемую ее радиусом-вектором в единицу времени. Такая интер- 1 претация величины — г'0 становится ясной нз рис. 20, из которого видно, что дифференциал площади, описываемой радиусом-вектором точки за время Ю, равен 1 2УА = — —,, г(гн)), откуда дл 1, д — = — га —. дь 2 дс ' Следовательно, постоянство кинетического момента эквивалентно постоянству секториальной скорости. Таким образом, мы доказали хоРошо известный втоРой мея ра усом-вектором за Рис.
20. Площадь, опясыеаемая радиусом-вектором за закон Кеплера: радиус-вектор планеты ерема дь. описывает равные площади за равные промежутки времени. Следует, однако, подчеркнуть, что постоянство секториальной скорости имеет место при действии любой центральной силы, а не только силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния. Второе уравнение Лагранжа относится к координате г и имеет вид д 2 д1г Ж вЂ” (тг) — тг)12 + — = О. дг (3.10) Обозначая радиальную составляющую — — через у (г), мы можем д1г дг уравнение (3.!О) переписать в виде тг — льг0' = У(г).
(3.11) (ГА. 3 пгоглемл дВух тел Используя первый интеграл (3.3) и исключая из уравнения (3.11) О, мы получаем дифференциальное уравнение второго порядка относительно « !2 т« — —, =-7(«). (3. 12) Существует еще один первый интеграл, а именно интеграл энергии (так как система консервативна). На основании общей теоремы о сохранении энергии мы можем непосредственно установить, что постоянной движения является величина Е =- —,т («'+ «2>>2) + И(«), 1 (3. 13) д «1 62«« = — / — т«2) дг !> 2 Правую часть этого равенства тоже можно представить в виде полной производной по времени, так как если д(«) есть некоторая функция «, то — равно >ГЕ («) 2ГГ д~," д« Й д«д« — е(«) = — —.
Следовательно, уравнение (3.!4) можно записать в виде нлн '-" ( —,' т« -> 2,2+ !«) = 5 Отсюда получаем 1 ! !2 — т«2 .+ — — + !« = сола!. 2 2 л>«2 (3,15) Равенство (3.15) выражает постоянство полной энергии системы, так как средний член этого равенства можно с помощью уравнения (3.8) переписать в виде 1 «2 1 т«гаг тг«2(>г 2 >лиг 2т«2 2 после чего уравнение (3.15) переходит в уравнение (3.!3), где Š— полная энергия системы.
Этот первый интеграл может бьть получен и другим путем — непосредственно из уравнений движения (3.7) и (3.12). Запишем для этого уравнение (3.12) в виде д 1 гг --=-.-( +-.— ") Умножая это равенство на «, мы в левой его части получаем: 0 3.2) г лвнення движения и пзгвыв пнтш галы 77 Рассмотренные первые интегралы представляют две квадратуры, необходимые для решения задачи. Так как у нас имеются две переменные г и О, то для решения уравнений движения нам нужны в общей сложности четыре интеграции. В результате двух из них мы вместо уравнений Лагранжа получили два уравнения первого порядка: (3.8) и (3.15). Лзе другие интеграции могут быть произведены (формально) разными путями.
Наиболее простая процедура, по-видимому, состоит в интегрировании уравнения (3.15). Решая его относительно г, находим или (3. 17) Пусть при г= О полярный радиус г имеет значение г . Тогда правую часть этого равенства нужно интегрировать от ге до г: (3.18) г(11 =- —.
1 1лг лпе ' (3.19) Интегрируя это уравнение, находим ггг ~ ,ще (Г) + е о (3.20) где Ое — начальное значение О. Уравнения (3.18) и (3.20) представляют результат двух интеграций, которые нам оставалось проделать. Таким образом, наша задача сведена формально к квадратурам. Полученные формулы содержат четыре постоянные интегрирования: Е, 1, ге, Ое. Однако — это не единственные постоянные, которые можно использовать для характеристики данного движения. Мы могли бы с тем же основанием взять в качестве таких постоянных ге, Ое, го, Ое, так как величины Е и 1 можно, конечно, выразить через них.
Однако система постоянных, содержащая энергию Таким образом, мы получили уравнение, дающее ~ как функцию г и констант интегрирования Е, 1 и ге. Разрешив это уравнение относительно г, мы сможем получить г как функцию 1 и тех же констант. После того как зависимость г от г найдена, можно непосредственно получить функцию 0 =О(Г) из уравнения (3.8), которое можно записать в виде (гл, 3 78 нвовлвма двгх тел и кинетический момент, является во многих приложениях наиболее естественной. В квантовой механике, например, теряют силу такие постоянные, как начальные значения величин г и б нли г и 6, однако там можно ещй говорить об энергии системы или об ей кинетическом моменте.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
