Г. Голдстейн - Классическая механика (1119841), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Одно из существенных различий между классической и квантовой механикой состоит в закономерностях для величин Е и 1 в этих теориях. Поэтому при переходе к квантовой теории важно, чтобы классическое описание системы давалось через ее энергию и кинетический момент. ф З.З. Эквивалентная одномерная задача и классификация орбит. Хотя формально наша задача и решена, однако практически интегралы (3.18) и (3.20) обычно не выражаются в элементарных функциях, и поэтому в каждом отдельном случае часто оказывается удобным производить интегрирование каким-либо другим способом. Но, прежде чеи переходить к решению этой задачи при тех или иных законах изменения силы, мы выясним, чтд можно сказать об исследуемом движении вообще, не требуя точного решения, а пользуясь лишь уравнениями движения и теоремами о сохранении.
Прежде всего заметим, что если энергия точки и ев кинетический момент известны, то величина и направление ей скорости могут быть выражены непосредственно через г. Действительно, из закона о сохранении энергии Е = —, лхпв+ )г (г) 1 сразу получаем и =. у — [Š— )г (г)) Г2 (3.21) а) Можно поступить и иначе. Из теоремы о сохранении кинетического момента мы можем найти угловую скорость В, что вместе с г дает нам величину и направление г. что дает нам величину вектора скорости. С другой стороны, радиальная скорость этой точки уже была нами найдена — она определяется формулой (3.16). Но в таком случае.мы можем найти и направление скорости, так как для этого достаточно знать ев величину и радиальную составляющую *), Этн результаты, а также многие другие можно получить другим путйм, если рассмотреть эквивалентную одномерную задачу, Уравнение (3.12) содержит только величину г и ей производные.
Поэтому его можно трактовать как уравнение воображаемого одномерного движения, если считать массу движущейся точки равной т, а действующую на ней силу равной гв гнгв ' (3. 22) ь 3.3~ экзивллентнля одномвгнля злдлчл 79 Смысл добавочного члена 1а1тгз становится ясным, если записать его в виде т в~а тгва = —, г что представляет собой обычную центробежную силу. Соотношение (3.22) можно получить также из закона о сохранении энергии. Для этого надо обратиться к уравнению (3.15), согласно которому рассматриваемое одномерное движение есть движение с потенциальной энергией (3. 22') +2 га' Тогда будем иметь д1" 1а д» ~( )+ тга ' что согласуется с формулой (3,22). Таким образом, закон о сохранении энергии (3.15) можно записать в виде Е =- 1»'+ — тг'.
В качестве иллюстрации этого метода рассмотрим график функции 1»'(г) для случая, когда сила 1 является притягивающей и изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния. Такая сила выражается формулой (при и ) 0 знак минус означает, что сила направлена к центру притяжения). Соответствующая потенциальная энергия будет равна л г' Фиктивный потенциал 1»' будет тогда равен 1а 1// + г 2тга ' График зависимости 1»' от г показан на рис. 21, где пунктирными л 1а линиями показаны функции — — и + —, а сплошной линией— г 2тга ' их сумма 1»С Рассмотрим теперь движение точки, обладающей энергией Е, (рис.
21 и 22). Ясно, что эта точка никогда не сможет приблизиться к центру силы более, чем на г, (рис. 22), так как при г < г, величина 1»' была бы больше Е„и тогда согласно выражению (3.15') мы получили бы отрицательную кинетическую энергию, т. е. мнимую скорость. С другой стороны, здесь не существует верхнего 1гл. В пгоплвма дю'х твл предела для возможных значений г, и поэтому орбита этой точки не будет замкнутой. Придя из бесконечности, она ударяется об «отталкивающий центробежный барьер» и уходит обратно в беско1 нечность (рис.
23). Расстояние между линиями Е и 1г равно —, тгз, 2 т. е. пропорционально квадрату радиальной скорости, и поэтому обращается в нуль в точке, где г имеет максимум или минимум. В то же и' г У Рнс. 22. Эквивалентный одномерный потенциал силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния, при Е = Е,) О. В этом случае днижение точки начинается в бесконечности и заканчивается в бесконечности. Рис. 21.
Эквивалентный одномерный потенциал притнгивающей силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния. время расстояние между линиями Е и 1г на графике 2! представляет кинетическую энергию — то, соответствующую данному значению г. 1 2 Следовательно, расстояние между кривыми )г и 1' равно —,тгаб . а Поэтому при заданных значениях кинетической энергии и кинетического момента рассматриваемые кривые определяют скорость точки и ей составляющие для любого расстоиния г.
Этих данных достаточно, чтобы получить прнблинсбнное представление об орбите точки. При энергии Еа = 0 (см. рис. 21) имеет место аналогичная приближйнная картина для орбиты рассматриваемой точки. Но для любой меньшей энергии, такой, например, как Еэ на рис. 24, дело уже обстоит иначе. На этот раз радиус-вектор г будет иметь не только минимальное значение г,, но и максимальное значение г,, которого 8! й 881 экзпвллюпнгщ одномггнля злдлчл не было в случае положительной энергии. Поэтому рассматриваемое движение будет ограниченным и радиус-вектор г здесь будет иметь два крайних значения: г, и г,, известных под названием апсидальнмх расстояний.
Отсюда, однако, не следует, что орбиты этих движений замкнуты. Можно лишь утверждать, что они ограничены и лежат между окружностями Радиусов г, и г, касаясь их в своих крайних точках (рис. 25). Если энергия Е будет равна минимуму фиктивного потенциала (энергия Е, на рис. 26), то г, будет равно г„ и движение будет возможным только при одном значении г. Скорость г будет равна нулю, и орбита будет представлять собой окружность. Вспоминая, что «эффективная сила» У' равна тангенсу угла наклона кривой Р'(г), взятому с обратным знаком, заключаем, что в данном слУчае (' будет Равно нУлю, т' е' рнс 28 г1рлита точк к будет иметь место равенство налентный одномерный поя2 тенцивл которой изображая на рис. 22.
Таким образом, мы получили обычное элементарное условие для круговой орбиты, согласно которому действующая сила должна уравновешиваться «силой инерции» от центростремительного ускорения *). Следует подчеркнуть, что все наши г рассуждения о характере орбит при 1 различных значениях Е справедливы ! для любого значения кинетического момента.
Изменение величины 1 вызовет ( 4 лишь количественное изменение кри- вой ьг'(г), но не повлияет на общую классификацию типов орбит. Впоследствии мы увидим, что в рас- Рнс. 24. Э внвалентный одно- смотренном намислучаепрнтЯгивающей мерный потенциал силы, обрат- силы, обратно пропорцнональнойквадно пропорциональной квадрату рату расстояния, орбита Е, представляРасстоаниа, пРи Е = Еа ( О.
ет гиперболу, орбита Еа — параболу этом случае двюкенне точки и о бита Š— эллипс. Придругих силах будет ограниченным. " ор ига в орбиты могут иметь более сложный «) Случай Е(Е4 является физически нереальным, так как прн этом гз должно быть отрицательньш н, следовательно, г — мнимым. 1гл. 3 нгозлемл дю'х чья и' ( - ) За1 т. е. 7= — - — 1. Диаграмма энергии, гз 1' соответствующая этому случаю, изображена на рнс. 27. Для энергии Е здесь возможны два вида движения, зависящих от начального значения г. Если г будет меньше чем г,, то движение будет ограниченным, и г все время будет оставаться меньше, чем г,, так что в конце концов точка может пройти через центр силы. Если же г Ряс. 26.
Эквивалентный одно- будет в начале движения больше мерный потевпиал силы, обратно пропорциональной квадрату чем г„ то оно бУдет и все вРема с о ня пр я Е В больше, чем гз. Движение будет тогда случае точка будет двигаться неограниченным, н точка никогда не по круговой орв"ге. сможет попасть внутрь «потенциального отверстия».
Начальное. условие г, г (гл является здесь фи- аически невозможным. Другой интересный пример дает нан линейно изменяющаясв вос- станавливающая сила (гармоническое колебание). В этом случае 7 = — Ь и Г.= —,Ь". 1 2 характер. Однако качественная сторона нроведвнного сейчас исследования орбит (ограниченных, неограниченных и круговых) сохраняется для любого притягивающего потенциала, удовлетворяющего двум следующим требованиям: 1) при г — «со он должен умень- 1 шзться медленнее, чем —, 2) при г — «О ге~ 1 гл он должен возрастать медленнее, чем —. б Первое из этих требований обеспечивает преобладание потенциала над центробежным членом при больших г, а второе— преобладание центробежного члена над потенциалом при малых г.
Если потенциал пе удовлетворяет Рнс. 2о. Пример ограничен- этим требованиям, то качественная карной орбягы. тина движения изменится, однако для общей характеристики орбит все еще можно будет пользоваться методом эквивалентного потенциалз. Пусть, например, мы имеем притягивающий потенциал й' 3.4! ТРОРемА О ВИРИАле Если кинетический момент 1 равен нулю, то рассматриваемое движение будет прямолинейным, и тогда и" = И. Этот случай представлен на рис. 28. Для любой положительной энергии движение является ограниченным и, как известно, представляет собой простое гармоническое колебание.
Если 7 иь О, то мы получим картину, изображенную на рис. 29. При всех физически возможных значениях энергии это движение будет ограниченным и не будет проходить через центр силы. Легко видеть, что орбитой этого движения является эллипс, так как при г = — 7ег составлЯющие У' и 7а Равны соответственно (', = — /гу. Отсюда следует, что рассматриваемое двщкение является суперпозицией двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний одинаковой частоты, что в общем случае приводит к эллиптической орбите. Известным примером такого дви- Рис. 27.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
