Г. Голдстейн - Классическая механика (1119841), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Эквивалентный-олжения служат малые колебания сфериче- поместный потенциал для притягивающей силы, абрам ского маятника. Заметим, меткду прочим ио пропорциональной четчто обычные фигуры Лиссатку получаются нартой степени расстояния. в результате сложения двух взаимно перпендикулярных синусоидальных колебаний, частоты которых относятся, как целые числа.
Следовательно, движение под действием центральной силы К== — Йг даат нам простейшую из фигур Лиссажу. Рис. 28. Рис. 29. ф 3.4. Теорема о вириале. Мы сейчас установим еще одно свойство движения под действием центральной силы. Его можно получить как частный случай весьма общей теоремы, справедливой для широкого круга различных систем — так называемой теоремы 84 пгозлвмл дВух тьл о вириале.
От ранее рассмотренных теорем она отличается тем, что имеет статистический характер, т. е. рассматривает различные механические величины, осредианиые по вреиенн. Рассмотрим произвольную систему материальных точек, определяемых векторами г; и находящихся под действием снл ру (включая реакции связей). Уравнении движения этой системы имеют вид (1.1) Рассмотрим величину О=~р; г,, где суммирование производится по всем точкам системы. Ей полная производная по времени равна — ~„г; р;+ ~~~ р; го (3.23) причем первый член этой суммы можно записать в виде ~~г; рз=~~лг;гг г;= ~'"т;о,'=2Т, а второй — в виде ~ч",р; гу = ~„р; г; [на основании (1.1)[.
Тогда равенство (3.23) примет вид — ~) р, гз=2Т+ ~~гг го (3.24) Для того чтобы перейти к средним значениям фигурирующих здесь величин, нужно проинтегрировать это равенство по времени от нуля до некоторого т и затем разделить этот интеграл на гл — ~ — ~й = — „=2Т+ лг'гз ° г;, а нли 2Т+ ~~Ба Рг ° г; = — [6(т) — 6 (0)[. (3.25) Если движение этой системы является периодическим, т. е. значения координат всех ее точек повторяются через определанный промежуток времени, то, выбрав; равным периоду этого дзян<ения, мы сделаем правую часть равенства (3.25) равной нулю.
Аналогичный вывод можно сделать и в случае непериодического движения, если только координаты и скорости всех точек системы остаются ограниченными.. й 3.41 85 теоввмл О Вигилле В этом случае величина ~ О) имеет верхнюю границу, и, выбрав -. достаточно большим, можно сделать правую часть равенства (3.25) сколь угодно малой.
В каждом из этих случаев мы будем иметь — 1 мч Т= — — у„Р г. 2 л'1 (3. 26) 2Х (3. 27) Для отдельной материальной точки, движущейся под действием центральной силы, равенство (3.27) дает 1 др т = — — г. 2 дг Если, например, )г есть степенная функция г )г= аг" ь', где показатель степени выбпан так, чтобы сила Р была пропорциональной г", то — г = (и + 1) )г.
ды дг Равенство (3.28) примет вид т= 2 1' — н+ 1 —. (3.29) Правая часть этого равенства называется вириалом Клаузиуса, а само равенство (3.26) выражает так называемую теоуему о еириале, В указанном виде эта теорема очень полезна в кинетической теории газов.
Так, например, из нее можно очень просто вывести закон Бойля для идеальных газов (см. (дпдзау, Рдуз1са1 Яайзйсз, стр. 70). Практически нам часто бывает нужно уравнение состояния для неидеальных газов. В этом случае силы Р1 будут состоять не только из реакций связей, заставляющих газ оставаться внутри сосуда, но также из сил взаимодействия между молекулами. Можно показать, что если силы Р; будут складываться из движущих сил Р; н сил трения Д, пропорциональных скоростям точек, то вириал системы будет зависеть только от сил Ро Силы Д в этом случае не оказывают на него никакого влияния.
При этом, конечно, предполагается, что движение системы не прекращается вследствие трения, т. е. что постоянно поступает энергия, поддерживающая движение системы. В противном случае все средние значения будут при неограниченном росте т стремиться к нулю. Если силы, действующие на систему, имеют потенциал, то теорема о вириале принимает вид (гл. 3 8б пговлемл дВух твл В частном случае, когда сила Р обратно пропорциональна квадрату расстояния, показатель п будет равен — 2, и теорема о вириале принимает хорошо известную форму 1— 7' = — — —, )г.
2 (3.31) из которого получается соотношение, связывающее производные по ! и по 0: л ! л! л гала (3.32) Эти соотношения ьюжно использовать для преобразования уравнения движения (3.12) в дифференциальное уравнение орбиты. Кроме того, ими можно воспользоваться для интегрирования уравнений движения, заданных в форме (3.17), что даст нам непосредственно уравнение орбиты. Сначала мы пойлам по первому пути. Из соотношения (3,32) видно, что вторая производная по ! равна и следовательно, уравнение Лагранжа (3.12) принимает вид 1лггигт гз г лз ~,и, алв! —,— 1 — — 1 — — =7(г).
(ям 33) Чтобы упростить уравнение (3.33), воспользуемся соотношением '(-') гз ЙЗ 1 и, перейдя таким путем к новой перемешюй и= —, получим г' 7(й+ )= — 7() (3. 34) ф 3.6. Дифференциальное уравнение орбиты и интегрируемые степенные потенциалы. Переходя к рассмотрению различных специальных случаев центральной силы, мы несколько изменим постановку нашей задачи. До сих пор мы считали, что решение задачи означает нахождение г и б как функций времени при заданных постоянных интегрирования Е, ! и др. Однако чаще всего нам приходится иметь дело не с этими функциями, а с уравнением орбиты, т. е.
с такой зависимостью г от 0, из которой исключЕн параметр 1, В тех случаях, когда сила является центральной, это исключение выполняется особенно легко, так как уравнения движения содержат тогда ! только в качестве переменной дифференцирования. Действительно, уравнение движения (3.8) дает нам в этом случае соотно- шение $ 3.5) ЮСФФЕРРНЦИАЛЬНОЕ ГРЛВНЕНИЕ ОРБИТЫ 87 Это уравнение представляет собой дифференциальное уравнение, определяющее орбиту в случае, когда известен закон изменения силы г.
Если же уравнение орбиты нам известно, т. е. если дано г как функция О, то с помощью этого уравнения мы можем найти закон изменения силы у(г). Исходя из уравнения (3.34), можно сделать некоторые общие заключения о характере орбиты. Можно показать, например, что она симметрична относительно точек, в которых радиус г имеет максимум или минимум, Для того чтобы сделать это, мы должны показать, что орбита не меняется при отражении от полярного радиуса такой точки. Выберем для этого систему координат таким образом, чтобы полярная ось проходила через одну из этих точек. Тогда угол 0 будет здесь равен нулю и указанное отражение момсно будет выполнить посредством замены 0 на — О. Дифференциальное уравнение орбиты (3.34), очевидно, инвариантно по отношению к такому преобразованию. Кроме того, начальные условия а =и(0), 1 — ) ==.0 для 0 =.=0 сии '> ~йз), =' также не меняются при указанном преобразовании.
Следовательно, уравнение орбиты не изменяется при замене с! на — О, что и требовалось доказать. Таким образом, орбита са.яметрична относительно аиеидальных векторов. Отсюда следует, что, зная часть орбиты между двуми такими векторами, мы но>кем построить всю орбиту. Для этого достаточно отразить указанный участок относительно с одного нз апсидальных векторов н получить таким путем соседний участок орбиты. Этот процесс следует продолжать до тех пор, пока не будет получена вся орбита, как это показано на рис.
30. Для любого конкретного закона изменения силы уравнение орбиты получается Рис. ЗО. ПостРоение оп~и>к> посредством последователь- посредством интегрирования Лифферен ных отражений ее участков циального уравнения (3.34). Однако не- от аисидальнык векторов. зачем проделывать эту процедуру.
во всех подробностях, так как большая часть работы была уже нами проделана при рассмотрении уравнения движения (3.12). Поэтому сейчас остается лишь исключить с помощью (3,31) переменную 1' нз уравнения (3.17). В результате получим (3.38) / 21 лть ьг — ~Е-- К(>) —— 2тгз 1 (гл. 3 пговлнма дВух тнл После незначительных преобразований этого равенства и интегрирования в пределах от г до г находим Г2тЕ 2н<)< ! г ° +' Гз <'з та 1 или, переходя к переменной и = — : / 2!нЕ 2ты га Га (3.36) (3.37) Как и в случае уравнений движения (3.18), (3.20), формула (3.37) дает нам формальное реп<ение задачи. Однако практически это решение удаатся получить не всегда, так как интеграл (3.37) часто не может быть выражен в элементарных функциях.
Фактически этот интеграл был исследован лишь для некоторых конкретных законов изменения силы, из которых наиболее важным является степенной закон. В этом случае (3.38) )г = аг" т', з сила 7 изменяется пропорционально а-й степени г а). При потенциале (3.38) интеграл (3.37) получается равным йи м„ ч, з — и — н-< ..— пз Гт га (3. 39) Однако и теперь он выражается в элементарных функциях лишь при определйннь<х значениях п. Если выражение, стоящее под радикалом, будет полиномом не выше второй степени и, следовательно, знаменатель подынтегрального вырви<ения будет иметь вид 'к'ада+ рн+7, то интегрирование можно будет провести в круговых функциях. Это ограничение эквивалентно требованию, чтобы — и — 1=0, 1,2.
а) Случай п = — 1 нз нашего рассмотрения нсключаетсн, так как потенциал (338) получается тогда постоянным, что означает отсутствие силы. Если же рассматривать и как показатель степени в функции У(г), то все равно втот случай нужна будет исключить, так как сила, изменяющаяся пропорционально г — <, соответствует не степенному потенциалу, а логарифмическому. Такой потенциал скорее характерен не для притяжения к точке. а для притяжения к линейному источнику силы. Если исключить случай и= — 1, то мы получим таким путем два значения: и= — 2 и и= — 3, 3.5) ДИФФЕРЮ!ЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ОРБИТЫ 89 соответствующих случаю изменения силы обратно пропорционально квадрату или кубу расстояния.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
