Г. Голдстейн - Классическая механика (1119841), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Развиваемая при этом связью 1 сила трения равна ),= — Мя ып л. 2 (Й/ Из равенства х=о — получаем, что конечная скорость этого ля обруча равна ю=ф'я~сйпл. Этот результат можно, конечно, получить и элементарными методами. ф 2.5. Преимущества вариационной концепции. Хотя принцип Гамильтона в форме (2.2) можно распространить на случай неконсервативных систем и неголономных связей, однако практически этот принцип наиболее полезен тогда, когда можно составить лагранжиап из независимых координат. Вариационный принцип Гамильтона в компактной форме содержит в себе всю механику консервативных голономных систем. Кроме того, этот принцип имеет то достоинство, что в его формулировке фигурируют только такие физические величины, которые не связаны с частной системой обобщбнных координат (кинетическая и потенциальная энергии).
Поэтому этот прицип автоматически инвариантен относительно преобразования обобщенных координат системы. Другое достоинство этого принципа состоит в том, что его можно легко распространить на системы, не являющиеся чисто механическими, например, на упругие среды, электромагнитные поля, поля э.темеитарных частиц и т. д. Позже мы рассмотрим некоторые из 9 2.5) ПРЕИМУЩЕСТВА ВАРИАЦИОННОЙ КОНЦЕПЦИИ 59 этих обобщений, а сейчас проиллюстрируем это на примере следующей простой системы, выходящей за обычные рамки механики. Предположим, что мы имеем систему, лагранжиан которой имеет вид ь = 2 ~В~ 5уЦ+ 2 ~~~ Мух|у/А ~~ 2С + ~а ~Еу(У) Ул (2.37) УА УЖА а диссипативная функция равна 2 Х (2.38) 10бобщйнными координатами ду здесь являются величины Уу.) Уравнения Лагранжа этой системы будут иметь вид ттзуу Лауе йу 7 Уфа Этим уравнениям движения можно дать, по крайней мере, две интерпретации.
Пусть, например, 7; будут силами тока, 5у †коэффициентами самоиндукции, М А †коэффициента взаимной индукции, йу †сопротивления, С~ †Емкостя е' и Š— внешними электродвижущими силами. Тогда уравнения (2.39) будут опи- г' сывать систему электрических контуров ЬУ с индуктивной связью.
Так, например, при у'=1, 2, 3 мы получим три конту- М ы ра, схематически изображенных на рис. 15. С другой стороны, легко Видеть, что 3 два первых члена в выражении для представляют некоторую однородную квадратичную функцию обобщйнных скоро- гг стей. Всякий раз, когда связи (голономные) Рве. 15. Система злектрнчесистемы не зависят от времени, кинети- сеихконтуровсппдуктивной ческая энергия ее Т имеет как раз такой связью Эту с"стеву мож"о вид. Коэффициенты 5у и МУА играют при описать е помощью уравне- ний Лагранжа.
этом роль некоторых масс — они являются инерционными членами. Следующий член лагранжиана можно трактовать как потенциальную энергию системы пружин — гармонических вибраторов,— подчиняющихся закону Гука. Тогда упругая сила такой пружины будет равна г' = — вх, а потенциальная энергия еа будет иметь вид йх2 1г— 2 бб явлвнания лагвлн!кл и злвилционныя пгинципы (гл. 2 Поэтому коэффициенты 1)С~ можно трактовать как жесткости этих пружин. Наконец, последний член .тагранжиаиа можно рассматривать как потенциал, вызванный движущими силал и Е4 — 1;)г, не зависящими от координат, например' гравитационными силами. (Силы Еу могут, однако, зависеть от времени.) Что касается диссипативной функции (2.38), то е6 можно считать вызванной наличием диссипативных (вязких) сил, пропорциональных обобщенным скоростям.
Такова вторая интерпретация уравнений (2.39) [или функций (2.37), (2.38) !. Согласно этой интерпретации уравнения (2.39) описывают слом<ну!о систему масс, связанных пружииаыи и движущихся в вязкой жидкости под действием внешних сил. Таким образом, мы описали движение двух различных физических систем посредством одного и того же лаграижпана. Отсюда следует, что все результаты и методы исследования, связанные с одной из этих систем, могут быть непосредственно применены и к другой. Так, например, для изучения рассмотренных выше электрических контуров был разработан целый ряд специальных методов, которые применимы и к соответствующим механическим системам. Таким путем было установлено много аналогий между электрическими и механическими или акустическими системами.
В связи с этим термины, применяемые при описании электрических колебательных контуров (реактанс, реактивное сопротивление и т. д.), вполне допустимы и в теории механических колебательных систем «). Возможны, однако, и другие обобщения класащеской механики, порождаемые более тонкой аналогией. Мы видели, что принцип Гамильтона дабт возможность компактно и инвариантно сформулировать уравнения механического движения. Полобная,возможность имеется, однако, не только в механике. Почти во всех областях физики можно сформулировать вариационные принципы, позволяющие получить «уравнения движения», будь то уравнения Ньютона, уравнения Максвелла или уравнения Шрйдингера.
Если подобные вариацнонные принципы положить в основу соответствующих областей физики, то все такие области будут обладать в известной степени структурной аналогией. И если результаты экспериментов указывают на необходимость изменения физического содержания тои или иной теории, то эта аналогия часто показывает, как следует произвести подобные изменения в других областях. Так, например, эксперименты, выполненные в начале этого века, 'уназали на то, что как электромагнитное излучение, так и элементарные частицы обладают квантовой природой. Однако методы квантования были сначала развиты для механики элементарных частиц, описываемой классическими уравне- 1!иями Лагранжа. Если электромагнитное поле описывать с помощью ») Лля более подробного ознакомления см.
Н. 1'. 0!зол, Г!упап1!са1 Дпа!ой)ее, Нью.йорк, 1946. (Имеется русский пере»оп: О л ь с о и Гарри Ф., Лляамп ~ескпе аналогию М., 11Л, 1947.) 6 2.6! Гепеечы и пн' влнепни; своисгвх снммьтгии б! лагранжпана и варнацнонного принципа Гамильтона, то мстодачи квантования элементарных частиц можно будет воспользоваться для построения квантовой электродинамики (см.
э 11.6). !(ды у,, ..., ды гл, ..., г) =сопя!, (2.40) представляющие дифференциальные уравнения первого порядка. Эти первые интегралы представляют известный интерес, так как они дают некоторые физические данные о движении системы, В дальнейшем мы увидим, что они включают в себя и законы о сохранении, полгченные в главе 1.
Рассмотрим теперь систему, находящуюся под действием консервативных снл (потенциал которых зависит только от положения системы). В этом случае будем иметь дб дт' дК дТ д сч 1 — — — — — — — т -тля~~хе-!-у'.-!-ге)=и.хг=р дх; дх, дх, дх~ дх, 2 где р, — х-компонента импульса, необходимого для создания коли. честна движения гпгятп Основываясь на этом соотношении, можно обобщить понятие импульса. Под обобщдяным илпульсом или о!уоА аядммылг яоличяслгвом двмлсмния понимают величину дЕ Р' д дя.
(2.41) 9 2.6. Теоремы о сохранении; свойства симметрии. До сих пор мы занимались главным образом получением уравнений движения и очень мало говорили о методах их решения в тех нли иных конкретных случаях (для которых эти уравнения уже получены), Вообще говоря, этот вопрос является математическим. Мы видели, что система с а степенями свободы будет описываться п дифференциальными уравнениями второго порядка относительно времени. Решение каждого такого уравнения потребует двукратного интегрирования, что приведат к появлению (для я уравнений) 2л постоянных. В каждом конкретном случае эти постоянные будут определяться начальными условиями, т, е. начальными значениями и координат пд и а скоростей д, В некоторых случаях эти уравнения можно проинтегрировать в элементарных функциях, однако это удается сделать далеко не всегда; в большей части случаев этп уравнения оказываются непнтегрируемымн.
1!о даже в этих случаях часто удаатся получить достаточное количество сведений относительно физической картины изучаечого движения. Эти сведения могут в ряде случаев иметь для физиков больший интерес, нежели точное знание функций дг(С). Поэтому важно знать, как много сведений можно получить относительно движения данной системы, не интегрируя полностью ее уравнений. Во многих задачах можно сразу получить первые интегралы уравнений движения.
Мы имеем в виду соотношения вида жавнвния ллгзлнжл и злгилцнонныг. пз!!нципы !г.т. 2 "!'акил! образом, каждой координате !)1 соответствует обобщенный импульс рр Величину р.часто называют также наноничеснил! импульсом или импульсолг, соотзегнсгизуюгциж координате ()р Заметим, что если д) не есть декартова координата, то ру может и не иметь размерности импульса.
Кроме того, если потенциал системы зависит от скорости, то даже тогда, когда д является декартовой координатой, соответствующий обобщенный импульс не будет совпадать с обычным импульсом в механическом смысле этого слова. Так, например, в случае частиц, находящихся в электромагнитном поле, лагранжиан имеет вид Е= ~~ — ш,г,— ~ игр(х!)+~ — "! А(х!) г! (см. (1.61) ).
Поэтому обобщенный импульс, соответствующий координате х!, будет равен р,м =- —, =- щ;х, + — ' ад згл, (2.42) дх! с т. е, механическому импульсу плюс некоторый добавочный член. Если лагранжиан системы не содержит некоторой координаты !)у (при этом он может содержать соответствующую скорость а)), то эту координату называют циклической или игнорируемой. (Термин «циклическая координата» не является общепринятым *), но он до- вольно распространен, и мы будем им пользоваться). Уравнение Лагранжа и дт.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
