Г. Голдстейн - Классическая механика (1119841), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Для рассмотренных нами вариационных задач возможны дальнейшие обобщения. Так, например, можно рассмотреть функцию у, содержащую высшие производные у, у и т. д., что приведат к уравнениям, отличным от уравнений (2.16). Кроме того, можно рассмотреть случаи, когда имеется несколько переменных ху и интеграл l является кратным; функция у' будет тогда содержать производные от у; по каждому из переменных хр Наконец, можно рассматривать вариации, при которых конечные точки не являюигся а Равнения лаггл!ьхз и влгих!н!онные пгинш!и!! !Гл.
фнксирозапныхш, 1!ехоторые пз этих обобщений будут рассмотрены нами позже, Пока же мы можем ограничиться интегралом типа (2.12), пз которого интеграл Гачнльтона 1= ( е(о!, д!, г)!(г ! (2.2') получается посредством формальной замены !'! -+ р! .г(д!! .а„х)-+!.(д! д; г) Уравнения Зйлера — Лагранжа переходят тогда в известные уравнения движения Лагранжа дЬ дб — — — — =0 (1==1, 2, ..., а). да д!г! дзг На этом мы заканчиваем доказательство того, что уравнения !агранжа вытекают пз принципа Гамнльтона (для консервативных систем). причйа! конечные точки 1 и 2, как и ранее, должны быть фиксированнымп. Ве.
личина Ю определяется здесь равенством Ф = ~г"! гп (2.18) 1'пс. 13. Варьнроаапне ара! ектоРин з простр'нс'зе кои- Вариация 81(г имеет важный фнзцческнй смысл. Уже отмечалось, что вариации 8!у„ или ог подобны виртуальным перемещениям координат системы, так как время при этом не варьируется. Поэтому варьируемую нами в пространстве конфиг раций траекторию можно мыслить как траекторию, получающуюся посредством ряда виртуальных перемещений точек истинной траектории С (рис. 13).
Каждое такое виртуальное перемещение происходит в данный момент времени, н силы, действующие в этот момент на систему, имеют 8 2А, Обобщение принципа Гамильтона на неконсервативные и неголономные системы. Принцип Гамильтона можно обобщить, по крайней мере формально, и на неконсервативные системы; при этом мы придем к уравнениям Лагранжа в форме (1.50).
Обобшанный таким путам принцип записывается еле. дующим образом: 2 Ч =- а ~ (т+ 1р) дт = О, (2.1у) 1 бЗ ововщенпе пгинципл гамильтона определанные значения. Поэтому еР является работой сил, действующих на систему во время виртуального перемещения от истинной траектории к соседней, получаемой в результате вариации. Следовательно, принцип Гамильтона в форме (2.17) можно сформулировать следующим образом: интеграл от суммы вариации кинетической энергии и виртуальной работы, обусловленной вариацией, должен равняться нулю.
Вариации багз можно выразить через Ь~у~, пользуясь уравненняьщ, связывающими г и д, причем каждое значение о будет сввзано с выбранной траекторией посредством параметра щ г4 г (Ч1 (2 ") г! Однако, воспользовавшись эквивалентностью вариаций огч и соответствующих виртуальных перемещений, можно зту процедуру сократить. Действительно, ранее было показано, что ~гт ° йг = ~(~ йо~ Следовательно, уравнение (2.17) можно записать в виде а г (2.19) Можно показать, что в случае, когла силы Яг имеют обобщенный потенциал, уравнение (2.19) приводится к принципу Гамильтона в обычной форме.
Действительно, интеграл от виртуальной работы будет тогда равен з 2 ~ У, , = У, , ~ аль' е дь'~ У,я дд1пг= — ~ У, 3д ~ — — — —.)ж, ля ~длу ЛГ дд~ и, интегрируя по частям, будем иметь — ~ ( — аут+ —. йд ) Ж = — 3 ~ Ъ' Н. / ~да~ дл~ Уравнение (2.19) принимает вид 2 й ~ Тг1Т вЂ” й ~ Ъ' Ф = б ~ б г71 = О, г 1 который совпадает с принципом Гамильтона в форме (2.2).
Перейдены теперь к более общему случаю. Так как кинетическая энергия Т, подобно лагранжнану ь консервативной системьп являетг: й 2.41 ововшвнив пеннципл Глмнльтонл бб проведем по так называемому методу неопределенных множа- щелей Лагранжа. Из уравнения (2.23) следует равенство 1ч Х а„.дд„=О, (2.24) где гн (1 = 1, 2, ..., щ) — некоторые пока не определанные величины в обшем случае функции времени.
Эти т уравнений мы рассмотрим совместно с уравнением (2.20), которое в случае консервативных систем имеет внд 2 —.) й( Х(' — — — —.)3чл=0. к'т гдЕ а' дЕь а дтл аг дЧл (2.20') С этой целью просуммируем уравнения (2.24) по 1, а затем проинтегрируем полученную сумму от точки 1 до точки 2: .Гь ,'Р~ >на~а 3д„й' = О.
1 а,г Складывая это равенство с уравнением (2.20'), получаем соотношение ю ~ ( — — — —..ь ~ ч.„) ч„, /де а де ( даа ае дал (2.26) имеюшие структуру уравнений движения для щ последних переменных аь. Тогда, считая, что )ч удовлетворяют уравнениям (2,27), мы можем записать равенство (2.26) в виде 2 'кт /дЕ Н дЕ й1 У ~ — — — —.+ Х)та1 ~ЪЧ =0 л ° ( дал ае дав В этом равенстве независимыми являются все входяшие в него вариации 3д„. Следовательно, — — — — +~ )чащ — — 0 (Ф=!, 2, ..., и — т). (2.29) дЕ и дЕ дал ат дел в котором вариации 3рл не являются еше независимыми, так как они связаны т соотношениями (2.23).
Можно сказать, что первые а — т из этих вариаций могут быть выбраны произвольно и тогда последние и вариаций определятся уравнениями (2.23). Однако величинами )и мы можем распоряжаться по своему усмотрению. Предположим теперь, что мы выбрали их так, что выполняются равенства дЕ а дŠ— — — — + т )гага — — 0 (Уг=а — и+1, ..., и), (2.27) дал а'1 ддл е и 56 РРАвивния лАГРАнжА и ВАРЯАционныв ПРинципы (гл. 2 Объединяя уравнения (2.27) и (2,29), мы окончательно получаем полную систему уравнений Лагранжа для неголономных систем дЕ дЕ ъ| — — — — Г )чага ()г = 1 2 л) (2 30) ИГ дЕА ддл Однако эти уравнения еше не решают задачи, так как теперь мы имеем и+ т неизвестных: и координат ул и л~ коэффициентов ) и тогда как система (2.30) давт наи только а уравнений. Недостающими уравнениями здесь, очевидно, будут сами уравнения связи, т.
е. уравнения (2.22), связывающие координаты ль. Однако теперь их следует рассматривать как дифференциальные уравнения н писать в виде ,'„ацу„+ ац — — О. л (2,31) но онн должны совпадать с уравнениями (2,30). Следовательно, сумму .~~,)ча,л мы можем считать равной ОА (обобшвнная сила реакции связи). Таким образом, в задачах этого типа мы в сущности не исключаем силы реакции, а получаем их как часть решения. Заметим, что связь (2.22) не является неголономной связью самого общего типа. Так, например, этим путви нельзя задать связь, выражаемую неравенствами. С другой стороны, она включает и голономные связи. Уравнение голономной связи вида У<д,, д„дя ..., д„, С) =0 эквивалентно дифференциальному уравненшо у ду ду Л Гдлл " дт — г(д„+ — г(Г =- О, А (2,32) Уравнения (2.30) и (2.31) образуют систему а -~-т уравнений относительно и + т неизвестных.
Следует заметить, что в процессе проведенных рассуждений мы получили больше результатов, чем предполагали, так как мы определили не только а координат д„, но и лг коэффициентов )ч, Каков же физический смысл этих коэффициентов? Предположим, что мы освобождаем нашу систему от наложенных на неЕ связей и вместо этого г прикладываем к ией внешние силы Ол, делая это так, чтобы не изменить движения системы. Тогда и уравнения движения останутся / теми же самыми, и ясно, что силы О» будут равны реакциям связей, так как они являются силамн, заставляющими систему двигаться в соот/ зетствии с условиями связей.
При наличии сил ~А уравнения движения будут записываться в виде дЕ дŠ— — — — = Оь ИГ ддл дЕЛ О7 э 2.4] Овозшвнив пРинципА РАмильтонл которое будет совпадать с уравнением (2,22), если положить: аи,— — —, аи — — —. ду ду дал ' дг' (2,33) Раскладывая кинетическую энергию этой системы па кинетическую энергию центра масс н кинетическую энергию вращения вокруг центра масс, получаем Т = — Мх2 + — МР232, ! ! 2' 2 Потенциальная энергия этой системы равна 1' = Мд(! — х) з1п л, где ! — длина наклонной плоскости. Поэтому лагранм<иан системы будет иметь вид Мх2 д!геэ2 Е.
= Т вЂ” Ч = — + — Мд(! — х) зн!е. 2 2 Так как здесь имеется только одно уравнение связи, то нам нужен лишь один множитель Лагранжа. Коэффициентами уравнения связи здесь будут: а! =г, и =1, и поэтому два уравнения Лагранжа будут иметь внд: Мх — Мпз!п р+). = О, Мге!!' ),г = О. (2.3 !) !2.35) Таким образом, метод множителей Лагранжа можно использовать и в случае голоноь!Ныл связей. Это целесообразно де.лать в двух случаях; 1) когда оказывается неудобным сводить все координаты 7 к одним только независимым, 2) когда мы желаем определить реакции связей. В качестве иллюстрации изложенного метода рассмотрим следующий довольно 2ривиальный пример (рис.
14). Круглый обруч скатывается без скольжения по наклонной плоскости, образу!Ощей усоп 'р рпс 1! Обруч катящийся с горизонтом. Получим уравнения дзиже- по наклонной плоскости. ния этого обруча, (Следует заметить, что связь чкачения» является в данном случае голономной, однако этот факт для нас несущественен.) Обобшанныьп! координатами здесь будут х и 0, как показано на рис. 14. Уравнение связи в данном счучае имеет вид г73 =г7 . 58 ггьвнвния лагглижл и вхвиационныв пгинципы !гл. 2 Вместе с уравнением связи гэ=х (2. 36) они образуют систему трех уравнений с тремя неизвестными: О, х, й. Дифференцируя уравнение (2.36) по времени, получаем и, подставляя в уравнение (2.35), будем иметь Уравнение (2.34) принимает вид 2 Далее находим: Мл з!п э 2 аз!п ч 2г Таким образом, ускорение обруча, катящегося по наклонной плоскости, оказывается вдвое меньше того, которое он имел бы, если бы скользил по плоскости без трения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
