Г. Голдстейн - Классическая механика (1119841), страница 6
Текст из файла (страница 6)
В этом случае мы будем иметь соотношения вида: г, =г,(рон о„..., д,м „, ~), (1.36) г =г (грыо,, ...,о, ~), выражающие г, через оп Уравнения связей в них явно не содержатся. Уравнения (1.36) являются уравнекия.яп лреобразовпния переменных гг к переменным др Их можно также рассматривать как параметрическое представление переменных (г,). В отличие от декартовых координат обобщенные координаты не разделяются на трн группы, позволяющие образовать соответствующие 1 векторы. В случае, когда движение точки ограничено поверхностью сферы, обобщенными координатами будут два угла, определяющих полом(ение точки на ф~ сфере, например широта и долгота. В примере с плоским двойным маятником, изображенным на рис.
б, обобщенными координатами будут углы в, и Оз. Обобщенные координаты (отличные от декартовых) часто оказываются полезными и в системах без связей. Так, например, в задаче о точке, движущейся в поле «ентральной силы [)г = )г(г)), связи отсутствуют, но ясно, что здесь удобнее воспользоваться сферическими полярными координатами, нежели декартовыми. оизо» злвмвнтлгных пвинципов (гл. 1 На обобшйнные координаты не следует смотреть как на ортогональные координаты, определяющие положение точек системы. В качестве обобщенных координат могут быть взяты любые величины, определяющие положение рассматриваемой системы. Так, например, в качестве таких координат можно взять амплитуды в разложении гГ в ряд Фурье.
В ряде случаев может оказаться удобным использовать в качестве обобшвнных координат величины, имеющие размерность энергии или кинетического момента. Если связь неголономная, то выражающие еа уравнения не могут быть использованы для исключения зависимых координат. Примером, который часто в этом случае приводится, может служить тело, катящееся по шероховатой поверхности. Координаты, определяющие положение этой системы, можно разбить на две группы: на группу угловых координат, определяющих ориентацию данного тела, и на группу координат, определяющих его положение на поверхности.
Но если качение происходит без скольжения, то эти две группы координат Гяур оказываются зависимыми, так как изменение в ориентации тела неизбежно приводит к изменению его положения на Рис. б. Вертикальный писк, поверхности. Однако уменьшить число катящийся по оризонталь координат этой системы мы не можем, катящийся по горизонтальной плоскости. так как условие «качения» не выражается в виде уравнения типа (!.35), связывающего координаты. Скорее оно является условием, ограничивающим скорости (скорость точки касания равна нулю).
Таким образом, это условие является дифференциальным, и проинтегрировать его раньше, чем задача будет решена, невозможно. В качестве иллюстрации рассмотрим следующий простой пример. Пусть диск катится без скольжения по горизонтальной плоскости ху, причем связь такова, что плоскость диска во вой время движения остаатся вертикальной. (Таким диском может быть одно из двух колЕс, посаженных на общую горизонтальную ось.) Координатами, определяющими эту систему, могут служить координаты центра диска х, у, угол о поворота диска вокруг своей оси и угол ч между осью диска и, скажем, осью х (рис.
б). В силу связи «качения» скорость центра диска будет пропорциональна производной о: о=а~р, где а — радиус диска. Направление этой скорости будет перпендикулярным к оси диска. Далее имеем: х = оз!пб, у= — осоз 0, связи Отсюда, учитывая предылущее равенство, получаем два дифферен- циальных уравнения связи: 4х — а з! и 0 сЪ = О, с(у+ а соз 0 с(р = О. (1. 37) Эти уравнения, очевидно, не могут быть проинтегрированы. пока вся задача не решена полностью. Такие неинтезрируемые связи являются частными случаями неголономных связей (как мы уже видели, ограничения, накладываемые неголономными связями, могут иметь вид неравенств). Задача о движении системы с голономными связями формально всегда может быть решена, что частично объясняется возможностью исключения зависимых координат.
Однако для задач с неголономиыми связями общего метода решения не существует. Правда, дифференциальные уравнения неголономных связей можно рассматривать совместно с дифференциальными уравнениями движения и тогда можно исключить зависимые величины с помощью метода множителей Лагранжа, который мы рассмотрим позже. Однако в более специальных случаях неголономных связей требуется индивидуальный подход к каждой задаче. При формальном излозкении классической механики почти всегда предполагается, что любая имеющаяся связь является голономной. Это ограничение несколько сужает применимость общей теории, несмотря на то, что в повседневной практике нередко встречаются неголономные связи. Причина этого состоит в том, что связи, наложенные на систему, обычно реализуются посредством различных поверхностей, стенок или стержней и играют заметную роль лишь в макроскопических задачах.
Но современных физиков интересуют главным образом микроскопические системы, в которых зсе объекты (как внутри системы, так и вне еь) состоят из молекул, атомов и ещв более мелких частиц, порождающих определанные силы. Понятие связи становится в таких системах искусственным и встречается редко. Связи используются здесь лишь как математические идеализации, полезные при описании действительной физической картины, или же как классические приближения прн изучении квантовомеханических процессов (например, «спин» и представление о вращении твердого тела).
Такие связи всегда являются голономными и хорошо укладываются в рамки рассматриваемой теории. Трудность второго рода, как уже указывалось, состоит в том, что реакции связи априори не известны. Чтобы преодолеть эту трудность, мы должны так поставить задачу, чтобы реакции связей в ней не фигурировали. Тогда нам придатся иметь дело лишь с силами, которые известны, Указание на то, как это сделать, можно получить, если обратиться к частной системе со связями, а'именно к твйрдому телу.
Реакциями связей здесь служат внутренние [гл. 1 ОБВОР элементяяных пгинципов силы н мы знаем, что работа этих сил равна нулю, Этот факт и послужит нам основой для обобщений, которые мы в дальнейшем сделаем. у 1.4. Принцип Даламбера и уравнения Лагранжа. Виртуальным (бесконечно малым) перемещением системы называется произвольное бескОНЕЧНО МаЛОЕ ИЗМЕНЕНИЕ Е6 КОНфИГУРаЦИИ, СОгЛОСУЮОСЕЕСН со связями, наложенными на ней з данный момент с. Виртуальным то перемещение называют для того, чтобы отличить его от действнт~л~ного перемещения, происходюцего за некоторый промежуток ~ремеии ос, в течение которого силы и связи могут измениться.
Пусть система находитса в Равновесии, т. е. полнаЯ сила, действУюшаз на каждую е6 точку, равна нулю. Тогда будем иметь Р; = 0 и, следовательно, произведение Рс ьго равное работе силы Рс на вируальном перемещении йгы также будет равно нулю. Сумма таких произведений, взятая по всем точкам системы, также должна быть равна нулю: ~~.", Р; 6г; = О. (1.88) В п~лученном равенстве ещ6 нет нового физического содержания. с(т бы получить его, разобьбм Р; на активную силу Р„и реакцию (ю связи У~: Рч=Р,"+Д (1.8о) и уравнение (1,38) примет вид ~РЛ' 6гс+ХЛ 6г,=О.
(1.40) будем рассматривать лишь такие системы, для которых виртуач ьная работа реа ций связи равна нулю Как знаем, это условие справедливо для любого твердого тела. Однако оно справедливо и для большого числа других систем. Пусть, например, на то~КУ НаЛОжсиа СВЯЗЬ, ЗаетаВЛЯЮШаЯ Е6 ОСтааатЬСЯ На ЗалаННОй поверхности. Тогда реакция связи будет перпендикулярной к этой поверхности, а виртуальное перемещение точки будет касательным „ей, следовательно, виртуальная работа реакции будет равна „,лю Следует заметить, что это утверждение переста6т быть справедливым при наличии силы трения, и такие системы мы должны исключить из нашего рассмотрения.
Однако это ограничение не является очень сильным, так как трение представляет в сущности макроскопическое явление. Таким образом, мы получаем следующее условие равновесия системы: ХР11ю ° 6г; = 0, (1 А 1) й 1,4! пгинцпк дьламвавь и ьвавиания ллгваижа 2$ Согласно этому условию виртуальная работа аклтивных сил, приложенных к уравновешенной системе, равна нулю. Принцип, выражаемый уравнением (1.4!), часто называют принципом виртуальных рабов», Заметим, что коэффициенты при Вг» в уравнении (!.41) уже не равны нулю, нбо в общем случае Р Ф О.
Это связано с тем, что пере!а) мешення Вг» не являются независимыми, так как они подчинены соотношениям, накладываемым на них связями. Для того чтобы приравнять эти коэффициенты нулю, нужно так записать уравнение (1.41), чтобы в нам фигурировали не виртуальные переме»цения Вг», а виртуальные изменения независимых координат »у». Уравнение (1.4!) удовлетворяет требованиям, которые мы поставили в начале этого параграфа: оно не содержит реакций У». Однако уравнение (1.41) относится лишь к случаю равновесия, а нам нужно получить принцип, справедливый для обшего случая движения. Чтобы получить такой принцип, мы применим прием, предложенный Яковом Бернулли и развитый впоследствии Даламбером. Уравнения движения Рт =р» Р,— р,=о можно записать в виде и трактовать его как уравнение равновесия 1-й точки системы под действием реальной силы Р, и «эффективной силы» — р».
Встав на такую точку зрения, мы можем свести динамику к статике. Тогда вместо (1.38) мы будем иметь ,'Р~ (Р» — р») В㻠— — О (! .4!') и, разбив силу Р, на активную силу Р» и реакцию связи уо по»«) лучим .,'~~ (Р» ' — р,) Вг»+.т,',у» . Вг, = О. Полученное равенство часто называют принципом Даламбера "). Таким образом, мы достигли нашей цели: реакции связи более не входят в наши уравнения, и индекс (а) теперь можно опустить, не боясь недоразумений. Однако мы еше не получили уравнений движения в достаточно удобной форме. Для этого нам нужно привести уравнение (1.42) к такому виду, при котором оно будет «) Обычно этот принцип называют принципом Даламбера — Лагранжа.
~Прим. нерее.) Здесь мы опять ограничимся системами, для которых виртуальная работа сил Р» равна нулю. Окончательно будем иметь ~(Р~РЮ р,). ог»=О. (1.42) оввог элвмантавных пеннципоа !гл, ! содержать виртуальные вариации Ьдг независимых обобщанных координат д; (для голономных связей). Тогда каждый из коэффициентов при йдг мы сможем приравнять нулю и получить таким путам уравнения движения. Переход от г, к д! совершается по формуле г; =г~(ды уа..... д„, Г) (1.44) ') )т;г, — '= ~1„( — ~т,гг — ') — т,г; — ( — )~, (1.47) 1 $ (р — число независимых координат).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
