Г. Голдстейн - Классическая механика (1119841), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

Другой легко интегрируемый случай получается при и =1, т. е. при линейном законе изменения силы. Вэтом случае уравнение(3.39) можно записать в виде ~ г Г2тЕ 2та 1 и, 1г — — — — — иа Го р ио (3. 39') что после подстановки гтх и'=-х, гни= 2 )гх в интеграл правой части уравнения (3.39') дает ††! о 2 ~ Г2тЕ 2та (3. 40) т. е. мы опять получаем интеграл рассмотренного типа. Таким образом, мы можем получить решение в элементарных функциях в трах следующих случаях: гг == 1, — 2, — 3.

Это не означает, однако, что при других показателях степени интеграл (3.39) не выражается в элементарных функциях; это возможно и при других и, но в этом случае нам придатся иметь дело с менее известными функциями. Например, возможны такие значения и, при которых интеграл (3.39) оказывается лллиптичеснилг и решение выражается через эллиптические фгтггции. Согласно определению эллиптический интеграл равен ~ гт (х, го) агх, гое гс — любая рациональная функция х и ы, а ог равно го =гг'ахг+ 8х + Тха+3х+9. При этом а и р не могут, конечно, одновременно равняться нулю, так как тогда могкно будет выразить этот интеграл через круговые функции. Можно показать (см.

ЪЧ1г!1!а пег апд % а1з оп, Мог(егп Апа!уз!з, 4-е изд., стр. 512), что любой такой интеграл может быть выражен через круговые функции и эллиптические интегралы Лежандра первого, второго и третьего рода, для которых имеются полные и подробные таблицы. Свойствам этих интегралов и их связи с эллиптическими функциями посвящена обширная литература, где [гл. 3 ПРОБЛЕМА ДВУХ ТРЛ 90 этот вопрос изложен исчерпывающим образом. Эти функции не требуют для своего применения какого-нибудь более тонкого математического аппарата, чем круговые функции, хотя они и менее обычны.

Из определения эллиптических интегралов следует, что интеграл в выражении (3.39) можно выразить через эллиптические функции при Мы можем попытаться представить интеграл в другой форме, тоже прияодящей к эллиптическому интегралу. Умножим для этого числитель и знаменатель подынтегрального выражения па аг, где р — некоторый целый показатель степени.

Тогда интеграл примет вид иг Жс — и — — и-ч — г,м иабгп 2~Е яз 2/ий ге Гз где выражение, стоящее под радикалом, будет полиномом выше четвЕртого порядка, за исключением случая р = 1. Следозательно, интеграл не будет сложнее эллиптического интеграла лишь при — п — 1+2=-0, 1, 2, 3, 4 п =-+1, О, — 1, — 2, — 3. Но при и=+1, — 2, — 3 этот интеграл выражается через круговые функции, а случай и = — 1 мы исключаем. Следовательно, только при п=О эта процедура прияодит к эллиптическим функциям.

Кроме того, интеграл эллиптического типа можно получить с помощщо подстановки и' = х. Интеграл (3.39) примет тогда вид 1 мх и приведется к эллиптическому при ( — - л + 1))2, равном 3 или 4, что даат нам еще дза показателя степени: п=- — 5, — 7. Наконец, мы опять можем умножить числитель и знаменатель найденного интеграла на х, и условие получения эллиптического или более простого интеграла будет иметь вид + +2=0,1,2,3, 4 1 или л=+5, +3, +1, — 1, — 3, 9 3.6[ 91 ЗАКОНЫ КЕПЛЕРА Таким образом, мы в общей сложности получили следующие шесть показателей степени, приводящих к эллиптическим функциям: и=+5, +3, О, — 4, — 5, — 7.

Хотя этими значениями исчерпываются все показатели, получаемые рассмотренным путаьн однако можно показать, что при соответствующих преобразованиях некоторые дробные показатели также приводят к эллиптическим интегралам. л У=- — —.

° 22 ' (3.41) Существует несколько путей интегрирования уравнения орбиты в рассматриваемом случае. Проще всего это делается с помощью подстановки значений (3.41) в дифференциальное уравнение орбиты (3 Л34); лза — Л2У(и) л222 Л02 Гзиз 22 (3.42) тФ Производя замену переменного посредством подстановки у = и — — , 12 получим дифференциальное уравнение — „+у= О.

Лзу 2202 Решение этого уравнения имеет, как известно, вид у=Ьсоз(0 — 0'), где Ь и 0' — постоянные интегрирования, Возвращаясь к переменной г, получаем это решение в виде 1 л2л — =- — [1 + 2 сов (0 — 0 )[, где 12 2 =Ьв Л2а Уравнение орбиты можно получить и с помощью формального интегрирования уравнения (3.39). Хотя эта процедура длиннее непосредственного интегрирования дифференциального уравнения (3.42), однако она имеет то преимущество, что важная постоянная интегрирования е автоматически получается при этом выраженной через энергию В 9 3.6.

Сила, изменяющаяся обратно пропорционально квадрату расстояния. Законы Кеплера. Сила, изменяющаяся обратно пропорционально квадрату расстояния, является одной из самых важных центральных сил н поэтому заслуживает подробного рассмотрения. Эта сила и ев потенциал выражаются следующими функциями от ю 92 (гл, 3 пговлвмл ЛВух тгл и кинетический момент системы Е Перепишем равенство (3.39) в виде 0=0'— аи 2тЕ 2тви .+ ия гз 13 (3.44) ах ! б -!-2сх — агссоз — ', (3.45) ) "а -1- их -!- схз )l — с г а где а = бе — 4ас.

Применяя эту формулу к равенству (3.44), мы должны положитгн 2тЕ 2та а= —,, Ь= —, с= — 1, Гв ' га и, следовательно, дискриминант а равен После этих подстановок уравнение (3.44) примет вид гз — — 1 0 =- 0' — агссоз ~,Г 1 1 Разрешив его относительно и = — —, мы получим уравнение орбиты в следуююем окончательном виде: — = —., ~1+ ф 1+ —, соз(0! — 0')~, (3.46) что согласуется с выражением (3.43), но е выражено здесь через Е и 1. Согласно уравнению (3.46) постоянную интегрирования 0' в этом уравнении можно рассматривать как один из полярных углов орбиты.

Заметим, что в уравнение орбиты входят лишь три постоянных интегрирования из четырах, что является характерной особенностью уравнения орбиты. Это объясняется тем, что четвертая постоянная определяет ") См., например, В. О. Р)егс е, А. Вйог! Та№е о! 1п!еяга!з, № 161. Лля того чтобы получать (3.45), нужно к результату, даваемому Пирсом, прибавить постоянную — я)2, что, конечно, допустимо, так как рассматриваемый интеграл является неопределенным.

где написанный интеграл является неопределйнным, а 0' представляет постоянную интегрирования, определяемую начальными условиями, которая не обязательно должна быть равна начальному углу Ое при 1 = О. Рассматриваемый интеграл является интегралом стандартного типа "): 93 9 3.6) законы каплана тгзЮ = — 1г(г с помощью (3.46), мы долмсны будем определить начальный угол че.

Известно, что общее уравнение конического сечения, имеющего фокус в начале координат, имеет вид 1 — =- С ! 1 + е сов (6 — 0') ), где е — эксцентриситет конического сечения. Сравнивая это уравнение с уравнением (3.46), мы видим, что рассматриваемая орбита является коническим сечением с эксцентриситетом (3.48) Тип орбиты зависит от значения е и определяется следующей таблицей: Е>О; Е= О: Е(0: Е= —.

— „, е) 1, а=1, гипербола, парабола, эллипс, ас,1, е=О, окружность. Эта классификация согласуется с тем качественным исследованием орбит, которое было основано на энергетической диаграмме эквивалентного одномерного потенциала ~", Правда, условие для кругового движения выглядит здесь несколько иначе, однако эквивалентность его прежнему условию можно доказать, представляя полученное равенство в виде Е ==— 2~лгФ В случае круговой орбиты величины Т и У не будут меняться со временем, и теорему о вириале можно записать в виде ! Т= — — 1г, 2 откуда полная энергия равна Е= — У= — —.

1 л 2 2 (3,50) начальное положение точки на орбите, и если нас интересует только само уравнение орбиты, то эта постоянная, очевидно, не должна фигурировать в решении. Конечно, если мы захотим закончить решение и найти г и 6 как функции времени, то эту недостающую постоянную нужно будет ввести. Желая, например, воспользоваться теоремой о сохранении кинетического момента и произвести интегрирование уравнения 1гл. 3 пговлвмл дв>х твл Подставив теперь это значение Е в условие (3.49), получим: 2 / а — = лгг11 . Это условие выражает тот факт, что сила притяжения уравновешивается пентробежной силой, как и было установлено ранее в $ 3.3.

Можно показать, что если орбита является эллиптической, то большая полуось зависит только от ее энергии, что представляет теорему, имеющую существенное значение в теории атома Бора. Докажем это. Большая полуось равна полусумме апсидальных расстояний г, и г, (рис. 24) и согласно (3.47) равна г, + гз 1 1 1 1 2 2С(!+а)+2С(! — е) С 1 — еа ' ("') после подстановки постоянных орбиты из формулы (ЗА6) выражение для большой полуоси принимает вид а а= — —, 2Е' что, как легко видеть, согласуется с формулой (3.50) для радиуса круговых орбит.

Характеристики

Список файлов книги