В.В. Шмидт - Введение в физику сверхпроводников (1119327), страница 54
Текст из файла (страница 54)
ГЛ. ЧН. НЕРАВНОВЕСНЫЕ ЭФФЕКТЫ 334 трона с энергией Ея >,)а вероятность андреевского отражения отлична от нуля, но меньше единицы. Сейчас мы покажем, как вычислить эту вероятность [160, 16Ц. Пусть электрон с импульсом Ад+ и энергией Е ) яа налетает на 1ЧЕ-границу со стороны нормального металла (так что его ВОЛНОВаа ФУНКЦИЯ ЕСТЬ 4)пад —— Е'4 *) И С ВЕРОЯтНОСтЬЮ а~ ( 1 отражается в виде дырки. Амплитуда такого процесса равна а, и отраженную волну можно представить в виде 4) = ае'4 Я, д р+= /2 (Я ДЯ)(Д вЂ” Д .Пр д р 2 3 = 1 — а в свеухпроводник квазнчастица имеет как электронную 4~ = Ьие'~, так и дырочную (мафр — — Ь()едл *) компоненты, которые могут быть записаны в виде двухкомпонентного вектора: (япр — - Ь е' (55.1) Происхождение амплитуд состояний Ь() и Ьи легко понять, если заметить, что Ьзе~з †произведен вероятности прохождения квазичастицы через МЯ-границу, и вероятности заполнения ячеек (1с, — 1с) в основном состоянии.
В той же двухкомпонентной форме падающая и отраженная волны имеют вид 21)пад = ~ )е ( 212отр = о~ ~е' (55.2) Я вЂ” 'Я' — Д А(Я)= ' ' =ЯРРЯ(:Д "" - (222) 1 при Е ( (1. Преобразование нормального тока в сверхток в процессе андреевского отражения происходит внутри области размером Учитывая, что все импульсы близки к МР, н приравнивая амплитуды электронной и дырочной компонент справа и слева от 1ЧЯ-границы, получим Ь = 1/и и а = Ь() = ()/и. В результате, учитывая обсуждение в начале этого параграфа, получим для вероятности андреевского отражения: 135.
АНДРЕЕВСКОЕ ОТРАЖЕНИЕ 333 порядка ЯТ). Совсем по-другому будут себя вести возбуждения с энергией Е > Ь, не испытавшие андреевского отражения. Как мы скоро увидим, они могут проникать вглубь сверхпроводника на расстояния, значительно превышающие длину когерентности с(Т). Но перед этим рассмотрим процесс андреевского отражения чуть более подробно. Рнс. 55.2.
а) Отражение электрона от ФЯ-границы; б) замкнутая электрон-дырочная траектория в ЯМБ-контакте. Пусть электрон с энергией (относительно уровня Ферми) Е < Ь налетает на ФЯ-границу под углом О, как показано на рис. 55.2, а. Удивительное свойство андреевского отражения состоит в том, что отраженная дырка вылетает «вспять» по траектории налетавшего электрона †.е. при отражении меняется не только знак перпендикулярной компоненты скорости еь (как при обычном отражении) но и знаки параллельных компонент ч5! При этом продольные компоненты импульса частицы р5 не меняются вовсе (система однородна вдоль МЯ-границы), а поперечная компонента р~ изменяется лишь на величину Е(еР < бйо << РР как следует из приведенной выше на рис.55.1 картины превращения электрона в дырку.
Эта же картина позволяет понять, почему меняют знак все компоненты скорости. Действительно, скорость частицы может быть найдена как производная от ее ГЛ. ЧН. НЕРАВНОВЕСНЫЕ ЭФФЕКТЫ 336 энергии по импульсу: ая, дрем я' р; Для электронов с р > рр, т.е. с бр — — ер(р — рр) > О, скорость и направлена вдоль импульса р, однако для дырок ер — — ор(р— — рр) < О, и потому при превращении электрона в дырку все компоненты скорости меняют знаки. Это необычное свойство андреевского отражения имеет важные следствия, одно из которых— существование дискретных энергетических уровней квазичастиц с энергией ]Е[ < Ь, заключенных в нормальной области толщины д между двумя сверхпроводниками (внутри ЯМЕ-контакта).~) Как видно из рис.55.2, б, теперь отраженная от правой ЖЯ- границы дырка долетит до левой ЖЯ-границы, преврагится на ней обратно в электрон,и полетит назад.
В результате возникнет замкнутая траектория с периодом движения по ней, равным $„ер — — 2с[/ер] сов О[. Согласно квантовой механике, такие траектории соответствуют квантованным уровням энергии Е„, причем расстояние между соседними (еандреевскимиэ) уровнями равно Ео = Ее+1 — Е„= 2яД/4 ер = каир] сов'о]/Й. (55.4) При выводе (55.4) мы подразумевали, что время пролета 4„,р велико по сравнению со временем Ь/Ь, за которое происходит каждый процесс андреевского отражения; иначе говоря, соот- НОШЕНИЕ (55.4) ВЕРНО дпя ДЛИННЫХ Я)ч'Я-КОНтахтОВ (С С[ » Со). При этом характерное расстояние между андреевскими уровнями имеет порядок Ьер/И « Ь; подробнее о вычислении спектра андреевских уровней см.
в работе [46].3) ИРаэумеется, уровни энергий электронов, локаяизоаанных в области конечного размера, дискретны и в отсутствие сеерхпроеодника, однако тогда расстояние между ними имеет порядок 1/И[0)У, где Ъ' — объем области локализации. Эта величина столь мала, что ею можно почти всегда пренебречь, е отличие от обсуждаемого сейчас случая андреевского отражения.
ЮНеобходимо отметить, что утверждение об осциллирующей зависимости Х, [И) критического тока от толщины контакта, сделанное в [4б], яэляется результатом ошибки; она была позднее испраэлена а работе [47]. 133. АндРееВскОе ОтРАжение 337 Особо надо рассмотреть роль «касательных» траекторий квазичастиц, для которых сов 0 « 1. Если бы их не было вовсе (как в случае узкой «закоротки» с шириной меньше «1), то в спектре возбуждений была бы щель порядка Ео = хйиг/«1. Чтобы оценить вклад касательных траекторий в плотность состояний р(Е), напишем элемент фазового объема, соответствующего уровню с каким-либо номером и, в виде «1'р3 2«гр» др6 (2кд)3 (2«гд)г ' где Я вЂ” площадь контакта.
Далее, поскольку для состояний с энергией, очень близкой к уровню Ферми, должно быть выполнено равенство р = р + р = рР, имеем рог»р3 = р» ««р3 2 2 2 2 = рД сов 0) «1 соз В = рг(Е/Ео) 4Е/Ео). Вклад в р(Е) при .Е « Ео происходит от состояний с и = 1 и сов «г « 1. Сравнивая элемент фазового объема «1й„с обычным трехмерным, «1й = г«зр/(2яб)3, находим плотность состояний в Ф-области при Е « Ео.
р(.Е) М(0) †. Е Ео (55.5) Результат (55.5) важен для вычисления теплоемкости сверхпроводника 1 рода в смешанном состоянии (когда области нормального металла занимают долю В/Н „полного объема) — при самых низких температурах теплоемкость приобретает малый множитель порядка ««вТ/Ео, что и было обнаружено экспериментально [162]. Если нормальная прослойка состоит из «грязного» металла с длиной пробега 1 « д, понятие угла траектории «» теряет смысл— направление импульса квазичастицы быстро меняется. Вместо прямолинейных траекторий теперь следует рассматривать траектории диффузионного характера, показанные на рис. 55.3. Характерное время диффузии в гГ-области (между последовательными отражениями от правой и левой»»Гя-границ) оказывается теперь порядка Фд„фф = «1'/13 » «1/сг, где Р = 1сР/3 — коэффициент диффузии электронов в металле.
Спектр андреевских состояний теперь оказывается непрерывным, т.к. есть непрерывный ГЛ. УП, НЕРАВНОВЕОНЫЕ ЭФФЕКТЫ 338 Рис. 55.3. Диффузные траектории электрона в Ф-области. набор траекторий с различными периодами движения. У диффузионного движения имеется важное свойство — доля траекторий с периодами много больше $д фф зкспоненциально мала. Соответственно, минимальная энергия квазичастицы оказывается порядка й/адвфф = 6.0/с(2 = Ее. Эта величина много меньше характерной энергии Ео для контакта той же толщины из чистого металла, но если в чистом случае имелись (с плотностью (55.5)) состояния с энергией много меньше Ео, то в грязном пределе уже нет выделенных траекторий, и в спектре возбуждений имеется щель величиной порядка Ел.
При ненулевой разности фаз ~р = дл — д„между берегами ЯМЕ-контакта положения всех андреевских уровней в нем сдвигаются (46), но расстояние между ними (55.4) остается неизменным. Особым является значение со = и, при котором даже в грязном контакте щель в спектре возбуждений обращается в нуль (1631. При ненулевой разности фаз на переходе ~р через него протекает сверхтекучий ток 1(у), который представляет собой сумму токов, переносимых отдельными андреевскими уровнями, локализованными в переходе,е~ и состояниями непрерывного спектра ~Обыкновенные локализованные состолннл не могут переносить ток именно в силу своей локализации в пространстве.
Андреевские состояния отли- з о5. АНДРЕЕВСКОЕ ОТРАЖЕНИЕ (с энергиями Е > Ь). В случае длинного контакта, д» Со, существенный вклад в 1( р) вносят оба типа состояний, соответствующие вычисления проделаны в работах [46, 47, 48). В противоположном случае короткого контакта вклад непрерывного спектра мал, и для вычисления 1~~р) достаточно сосчитать сумму токов, переносимых андреевскими уровнями. Прежде всего заметим, что существует два различных семейства андреевских уровней — с положительными и отрицательными значениями компоненты импульса поперек перехода р7 = = хррсовд.
Для упрощения дальнейших рассуждений мы вместо интегрирования по углу О будем сразу считать площадь контакта д конечной, а движение в его плоскости — квантованным — состоящим из большого числа М Йрд независимых волновых мод 2 (их также называют каналами прохождения). Ясно, что полный сверхток через контакт будет пропорционален его площади, или, что эквивалентно, числу каналов М, поэтому достаточно изучить ток для отдельного у-го канала. В каждом канале будет свое семейство андреевских уровней Е+ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
