А.Ю. Гросберг, А.Р. Хохлов - Физика в мире полимеров (1119325), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Более того, вероятность «вытягивапия в струнку» точно такая же, как и вероятность появления любой другой конкретной конформации. Но все дело в том, что разных свернутых и запутанных конформаций существует много, а вытянутая — только одна. Именно поэтому предоставленный сам себе клубок почти псе время оказывается в какой-нибудь из конформаций с размером )7-1Ж "ч, так что средний размер клубка имеет именно такой порядок, а флуктуационпые возрастания размера до сушествеппо больших всличин Й-1У необычайно редки.
Чтобы придать этим качественным рассуждениям точный характер, нам нужно определить количественно, сколько существует у полимерной цепи более или менее вытянутых кояформаций и сколько — свернутых и запутанных. Точнее: сколько есть конформаций, у которых вектор, соединяющий концы цепи, равен 1«7 Или: какая доля от всех конформаций отвечает данному значению»«, т. е. какова вероятность, наугад взяв полимерную цепочку из 78 термостала, обпаружпгь, что у иее расстояние между концами ггг Задача, можно заметить, для элементарной мател апгки довольно нестандартная; речь ведь, в сущности, пдьч о том, сколько есть способов выбрать слагаемые так, чтобы получить фиксированное значение суммы, Ответ на поставленный вопрос мы не будем выводить, а приведем готовый: Р, (зг) = Я ехр ~ — —, ).
(4.14) Здесь 1 — длина эффективного сегмента, Дг — число тзкик сегментов в цепи, а Я вЂ” постоянный множитель, значение ко,орого зависит от того, что именно мы подразумеваем под 0,0 0са 0 0 0,5 60 1,5 .~Г Рас. 4.3. Заввсвиость Рд оа Ног ((Л' '*), вадаваелгал 4юриулой (4.16) Рггу) — число копформаций с данным значением Йс или вероятность, т. е. долю копформаций с давным Д среди всех конформаций. Если Рл — вероятность, то я = "(Зг(2иИ(а)] ам. (4.16) Формула (4.14) написана для неизвестного вектора )л'; если гштересоваться его компонентами Я„, йа и сг„т. е.
сдвигами одного конца цепи относительно другого вдоль соответст. вгющих координатных осей, то для любой компоненты ~ожно написать Рд (17 ) = (ЗД2пдг(е)]па ехр 1 — ЗР'„/(2)у(л)] (4.16) (выражение (4. Г4) получается перемножением трех формул типа (4.16) для а=-х, а=-у или а= — г — проверьте это и объясните). График функции Ра()лл„) (4.!6) показан на рис. 4 3.
Как мы видим, все значения )лг„от нуля и примерно до а/ (дгь встречаются с одинаковыми по порядку величины вероятностями, а при больших значениях Я вероятность очень резко убывает. Можно сказать так: если начальное звено цег; и закрепить в начале координат, то концевое звено может 79 пример!ю с одинаковой вероятностью попасть в гпобую точку шара радиуса порядка Ггу "ч; вероятность же цепочке выйти за пределы этого шара ничтожно мала. Формула (4.14) (или (4.16)), дающая вероятность тех или иных значений 7«» (компонент гс), называется распределением Гаусса.
К. Ф. Гаусс (!777 — 1858) вывел подобную формулу при анализе вопроса о погрешностях измерений: ) вы знаете, что для уточнения получаемых данных процесс измерения проводят обычно несколько раз, скажем, и раз, и результаты усредняют; чтобы взять среднее, результаты сначала складывают, при этом складывак>тся и погрешности, а поскольку они имеют случайные разные знаки (опять сумма случайных величин!), то погрешность апре- '? деления суммы пропорциональна и'г; погрешность же среднего, поскольку оно в п раз мень»пе суммы, порядка и — '*, т, е, действительно убываег с ростом числа измерений. Лнализируя эту проблему, Гаусс и вывел распределение (4.14). Теорема о том, что сумма большого числа случайных величин имеет гауссово распределение вероятностей вида (4.14), ввиду своей важности в теории вероятностей называется очень торжественно — центральной предельной теоремой (сокращенно ЦПТ).
Стбит только еще пояснить, почему «предельная». Дело в том, что гауссово распределение (4.14) строго справедливо только в пределе больпюго числа слагаемых. Для конечного числа слагаемых вероятность реализации данного значения суммы случайных величин описывается формулой (4.14) лишь приближенно. Но на самом деле даже прн скромном числе слагаемых (в полимерной задаче — для скромного числа звеньев л7) гауссово распределение имеет практически приемлемую точность '). В заключение полезно упомянуть, что простой свободный клубок, о котором шла речь в этой главе, в честь распреде. ления (4.14) часто называют гауссовым клубком.
*) Лля любителей изящных математических безделущск пронллюстрируем скеззнное нз примере зздзчи о «счестливых» бнлетвл. Билет в городском транспорте имеет обычно щестизнечный но»«ер и называется «счнстливы»~», если сумме первых трек цифр рзвнз сумме трек последних. Можно понвзеть, что «счвстливых» номеров билетов существует 55 252 из общего числе номеров ! 000 000, т. е. вероятность «билетного счвстьн» резне 5,5252»»»а.
Но ведь сумме трех цифр — з»о тнпичизн сумл~в неззвнсимых случзйных слзгземых, и хотя слагаемых всего три, можно попробовзчь прил»еиичь НПТ. Г!рн атал~ для вероятности выпадения счзстливо~о билете получается опенке 5»»», что очень близка к точному ответу. Тзкнм обрезом, даже при й=з ГГГ!т работает вполне удовлетворительна. 50 ГЛАВА 5 ф11ЗИКА ВЫСОКОЗЛАСтИЧИОСтИ Хаос — предтеча творения чего-нибудь истинного, вмооногО н поэтического !Густь только луч гения пронзит этот мрак! А. А.
Беппрзкев Гмарлиискый) «Ночь на корабле» 5.1. Колумб открыл... натуральный каучук В популярной литературе можно встретить утверждение, что первым полимером, с которым встретилось человечество, был натуральный каучук. Понимаемое буквально такое утверждение, конечно, нелепо: древесина, скажем, была известна людям всегда, не говоря ужа о том, что человек (даже древний и первобытный) сам «сделан» из полимеров. Но дело в том, что во я«ногих случаях «полимер- ность» обусловливает лишь весьма тонкие, хотя и важные особенности. Так, например, внешне похожив аналоги частично-кристаллических, вязкотекучих и стеклообразных полимерных материалов можно найти и среди веществ, состоящих из обычных малых молекул.
Наиболее своеобразным и специфическим состоянием полимеров является, пожалуй, высокоэластическое, потому что само свойство высокоэластичности, с одной стороны, очень наглядно, а с другой стороны — непосредственно обусловлено «полимериостью». А первым веществом с высокоэластическими свойствами, с которым столкнулась европейская цивилизация, был действительно натуральный каучук. Европейским путешественникам и переселенцам в Америке было, конечно, чему удивляться: они познакомились с к»1ртофелем, табаком, кукурузой, помидорами„они узнали людей с диковинными традициями и образом жизни.
Не. даром так увлекательны книжки об истории открытия и покорения Америки! К сожаленГно, жадность и агрессивность завоевателей были много сильнее любознательности исследователей, так что кроме страданий, которые принесли людям Америки европейцы, они нанесли еще и непоправимый урон культуре. Но каучуку, можно сказать, повезло. ЕНГе в первой экспедиции Колумба (1492 г.) его спутники обратили внимание на мячи, которыми играли индейцы. В Европе в ту пору мячи делали с кожаной оболочкой и камерой из бычь- ЗГ ' иго пузыря (тоже, кстати говоря, полимерные материалы1).
А у индейцев мячи были оплошно ~е, тяжелые и удивительно прыгучие. Они делались из материала, ко~орый индейцы называли «каучу». Десятью годами позхое, пояан в Бразилию, европейцы могли узнать, что «каучу» — это сок, выделяющийся из надрезов на коре дерева «геве». Правда, до первого четкого описания «гене» (1738) в завоевательском азарте прошло 200 с лишним лет, но ньше это дерево знаменито, его называют бразильской гевеей, а его смолу— натуральным каучуком. 5.2. Свойство высокозластичности Каучук — действительно совершенно необычное для естествоиспытатели вещество. Оставаясь нри выполнении ряда условий твердым (нетекучим), каучук обладает вместе с тем исключительно высокой Эластичностью: при весьма умеренных напряжениях он деформируется о чень значительно (гораздо больше, чем обычные твердые тела); при этом деформации обратимы (упруги), т.
е. после снятия лы« Рис. 5Л. Зависимость илцрчжеиии о от деформации ЛИ дли стали (а) и каучука (б) нагрузки образец каучука возвращается к первоначальному недеформированному состоянию. Для того чтобы стали ясны специфические упругие свойства каучука, целесообразно провести их количественное сравнение с соответствующими характеристиками обычных неполимерных твердых тел, например с гали. Иа рис. 5.1 приведены графики зависимости напряжения о от относительной деформации ЛИ (см.
(2.1)) для стержня из стали (рис. 5.1а) и каучука (рис. 5.16). Отметим сначала общие черты этих двух графиков. И в том и в другом случае при малых деформациях напряжение а зависит от йИ линейно, т. е. выполняется закон 1'ука (2.1). Таки.. деформации являются практически полностью обратимыми. Линейность сохраняется вплоть до точки Л па обоих графиках. В интервале между то жамн Л и Ь деформации становятся существенно пелппейпымн (графики зависимости а(йИ) искривляются), но остаются обратимыми. Точка  — точка потери обратимости деформации; если напряжение превышает то, которое соответствует атон ~очке, возникакл так называемые пластическое течениеобразца и пластические (остаточпые) деформации.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
