А.Ю. Гросберг, А.Р. Хохлов - Физика в мире полимеров (1119325), страница 14
Текст из файла (страница 14)
!.7) принципиально отличается от более или менее вытянутой в каком-то направлении, а внд траектории заблудившегося в лесу человека существенно зависит от того„использует лн он компас. Поясним различие вытянутой и изломанно-запутанной траекторий. Для броуновской частицы различие следующее: „(!й — 1,), т. е. длины пути, пройденного вдоль контура траектории. Из-за изломанно-запутанной прострапсгвенной конформации среднеквадратичное расстояние )с между копнами цепочки (Йв=((!!, †!т',)в)) сильно отличается от !. н пе пропорционально !.
Величина )! получается из формулы (4.2) заменой о(1, — 1,) на !., поэтому й=!ь")ыа =-(!!)па. (4.3) 4.3. Размер полимерного клубка Существенно ли различие формул (4.1) и (4 2)! И велико лн отличие расстояния между концами »олпмерного клубка )! от его контурной длины )лз Да, эти различия весьма велики я принципиально важны. Постараемся пояснить это обстоятельство. Нздо сказать, что самое существенное различие формул (:1.1) н (4.2) можно усмотреть непосредственно из их вида: и,ш содержат разнгие степенные зависимости смещения у! от временного интервала Л1=-!з — 1,1 Но, быть может, это обстоятельство кажется вам не таким уж важным и не заслужива~ощим восклицательного знака? На этот случай поясним то же самое не формулами.
а словами и цифрами. Начнем с цифр — с оценок по порядку величины. Вернемся для этого к блужданиям путника по лесу (мы уже отмечали, что эта задача аналогична задаче о блужданиях броуновской частицы). Пусть человек идет весь день, скажем, !О часов (Л1=--!а — 1,=-1О ч) и держит скорость, допушим, в==3 км!ч (быстрее в лесу трудно). Если он пользуется компасом или чем-то заменяющим компас, то путь его (хотя бы в среднем) прямолинеен, смещение исчисляется по формуле (4.1) и для нашего примера составляет ЗО км: ~ ереместившись на такое расстояние, наш путник скорее всего куда-нибудь да придет.
Но если он блуждает бессистемно, то ситуация другая: примите пока на веру, что ЖЗОО м, и воспользовавшись формулой (4.2), убедитесь, по бедняга переместится самое большее на 3 км. Вот почему в лесу нужно обязательно отыскивать ориентиры и двигаться пусть в случайном направлении, но приблизительно в одном и том же: лучше идти более нли менее прямо кудзнибудь, чем метаться в). '1 Лаже если лес очень большой и заведомо известно, что одна с~о гранина гораздо ближе протнвоположигг1, то все равно ненелесообрззно метаться, а нужно двигатьсн примо в мснить направление резко (скажем, на !20"), если по времени ясно, что исходное нгшравленне выбрано неудачно н уводит от ближа1ппей гранины Кстати говоря, нане,тно, что у заблудившегося част4) создается ощущение, будто он ходит кругами. В>ыту>от даж«р( многочисленные нелеп»не объяснения этого факта — ~- якобы присущей человеку разницы в длине или силе правой» и левой ног до кориолнсовых сил нлн головокружений из-зв, вра ценна Земли.
Действительное же объяснение ясно иэ( рнс. 1.7: видно, что изломанно-запутанная траектория:,.': имеет некоторое количество случайных самопересечений ' поэтому заблудившийся иногда узнает место, где оп уже( побывал. В главе 6 мы оценим число таких самопересече-:; ний. Для полимерной цепи «самопересечение траектории»': означает сближенве в пространстве или соударенне уда-,' ленных друг от друга вдоль цепи звеньев. Взаимодействия звеньев при таких соударениях, т.
е. взаимодействия в': объеме полимерного клубка, называются объемными взаи-.' модействиями — в противоположность «линейным>, свя-"1 зыгающнм соседние звенья вдоль линии цепи. О роли объем-;:! ных взаимодействий в физических свойствах полимеров::, нам еще предстоит многое рассказать. Вернемся к рассмотрению формул (4.1) н (4.2) и обратим- '': ся теперь к другому примеру, непосредственно из физики;: полимеров. Мы уже упоминали, что контурная длина двои-::,, ной спирали ДНК, имеющейся в любой клетке животного '-': пли человека, достигает метра. Каков же размер клубка,, который двойная спираль сформировала бы при случайных «броуновскнх» изгибах? Величина 1 для ДНК измерена экспериментально, с очень хорошей точностью она равна — 1СО им==.10 'м. Согласно формуле (4 3) имеем Р ж 3.
10 ' м ==- 0,03 см. Это гораздо меньше метровой контурной длины, хотя все еще слишком много для упаковки в клеточном ядре размс" ром порядка 10 "м. Тут еще, коне шо, нужно иметь в виду, что ДНК должна размещаться внутри клеточного ядра не произвольным образом — упаковка ДНК в ядре должна быть не бессистемно запутанной, а такой, чтобы клеточные системы могли легко найти и «прочитать» любой ) часток. Как в природе решена ьта проблема упакопки Д111х — па сегодняп>ний день ещсдо конца пе ясно, но кос-какие физи>сские соображения на этот счет высказать можно, н об этом пойдет речь в главе 7.
Здесь отме>пм только, что глшл.са. Л>ого>сан математнкн могут полу»ать ная еа»пася ос оптпмал>ной стратегия япаспепня я«посс»а, на»сйяс>с>ося па ~ »постном расстоянпн от прямолннсйноя ср: ыаы леса. 70 е объемныз вается так, числу вас- ой степени, как для прямой «спицы» (4.1), и даже не в степени Ч„ка.*с для свободно-запутанного клубка (4,2) или (4.3), а в ещ менынсй степени»1,. 4.4. Вывод закона «квадратного корня» Итак, главная особенность простого свободновагутапного полимерного клубка заключается в том, что его пространственный размер пропорционален корню из длины цепочки согласноформуле(4.3): 14-Г~с Именно благодаря этому для достаточно длинной цепочки размер клубка заведомо меньше длины цепи, так как отпоше:ще Рг,::1. 1!Г с ростом 1 монотонно уменьшается и стремится к пулю при Š— сс независимо от значения пос- г«-т тоянной й Но, конечно, чтобы определить размер клубка )г конкретно ддя полимерной Ряс.
4.К К псясяеяиш соотношения цепи с заданной конеч- (4.4) най длиной Е, необходимо знать величину 1. Во всяком случае, полезна выяснить физический сл~ысл этой величины. Кроме того, рз. мы уже знаем о важной роли «закона квадратного карня» я Еч, то хочется лучше понять его смысл и происхождение, т. е.
узнать его вывод. Обеих этих целей нам будет проще всего добиться не с помощью аналогии с броуновским движением, а используя непосредственно «полимерную» терминологию. Рассмотрим свободно-сочленюшую полимерную цепь пз й звеньев (рис. 1.6). Вектор ««,, соединяющий концы этой испи, дается простой формулои, которая поясняется нз рнс. 4.1: Р, ~!.г, (4 4) 1=.1 Вдесь 1 — номер сегмента вдоль пепи, У - число сегментов в цепи, а г, — вектор, соединяющий начало и конец ссг- мента с номером й Модули всех векторов г, одинаковы в...
равны длине одного сегмента: 1я!~==-( (эта величина не!', случайно обозначена той же буквой, что и параметр в фор-; муле (4.3)). Направления же векторов г; случайны и пеза.,': внсимы друг от друга. Итак„величина Ща, интересу!ощая нас как характери-:,". стика размера клубка, с математической точки зрения со-','. гласно формуле (4.4) представляет собой сумму большого',! числа независимых случайных слагаемых.
Математические'.-'. свойства сумм такого типа хорошо изучены, так как они.:":, часто встречаются в разных задачах математики, физики,:: техники, биологии н т. д. Приведем только два примера наугад: общая нагрузка;.:. самолета определяется суммарным весом пассажиров, ху-.,',. дых и толстых, и непонятно, существенны ли возможные:, отклонения веса от среднего; при рассеянии света поле рас- ', сеявпой залпы есть суперпозиция (сумма) полей, созданных ': отдельными атомами,— эти слагаемые случайны из-за,, теплового движения атомов; при интерференции они могут:- как усиливать друг друга, так и ослаблять.
В обоих этих ',.',' примерах и в множестве других вопрос о вероятных откло-,! пениях от среднего дается уже известным нам «правилом:: квадратного корня». Выведем его из формулы (4.4). Для этого наряду с величиной Д„, характеристикои й!-звеипой цепи, введем Д!т ! — аналогичный вектор для отрезка из й! †! звеньев. Имеем Ю-! и )с .-Х !.
В=Хг;, ~= ! г- — ! Р,у — — Ю~ !+ гл, (4.5) (с помощью такого рода рекуррентных соотношений часто бывает удобно разбираться со случайными величинами). 1)ереходя к проблеме усреднения, т. е. к проблеме вычисления среднего расстояния между концами цепи, важно еще решить, какую величину вычислять. Ведь среднее значение вектора Й„, или любсй его компоненты равно нулю, ()т!л)=0, просто потому, что наряду с любым значением Ял с той же вероятностью может реализоваться противоположное — )!!!. Размер клубка определяется поэтому средней длиной вектора йл, т. е.
ЦКл!). Но вычислять удобнее величину тг!т = Ж~Й =" Жг~ ' Кг!> == <) Км)~>, (4.6) которая тоже характеризует размер клубка. Определение (4.6) согласуется с данным ранее определением величины Я. Для А7~ согласно (4.5) имеем Ь'", .= Лэ, + 217х,,г»,-( г»э = Йд, + 2 ! Л,„, ~ 1 соз ум+ Р, (4. 7) где уи — угол между векторами Йх» и гэ, а 1, напомним. есть модуль вектора гп: 1- ~гэ!.
Для свободно-сочлененной цепи направление вектора ги не зависит от конформации всей остальной цепи, поэтому угол уи с равной вероятносгью может принимать любое значение от 0 до 180'; но это в свою очеРедь значит, что соз уэ с одинаковой веРоЯтностью принимает положительные (когда ум — между 0 и 90') и отрицательные (когда уэ — от 90 до 180") значения, а следовательно, среднее значение этого косинуса равно пулю: (соз уп) =О.
Это обстоятельство позволяет очень просто найти среднее значение Йэ из формулы (4.7): поскольку среднее от второго слагаемого в правой части равно нулю, то <)<э> =<АЪ ~>+ Р. (4.8) Итак, добавление к цепочке одного сегмента приводит к возрастанию (1<») на Р. Отсюда по индукции вы можете легко доказать, что <Ю > =1»'1'= 1.1 так что согласно (4.6) для цепи из Ф звеньев размер клубка й„равен — <1 и >и» вЂ” дп»1 - — 1 п»1п» (4.9) Таким образом, кправило 1.' » доказано. 4.5. Персистентная длина и аффективный сегмент Мы доказали формулу (4.9) пока только для очень специальной модели с независимыми свободно-сочлененными сегментами. Нам потребуется провести специальное исследование, чтобы доказать ее применимость для других моделей полимерных цепей или для случайных блужданий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
