А.Ю. Гросберг, А.Р. Хохлов - Физика в мире полимеров (1119325), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Академик И. М Лифшиц, выдвинувший изложенные соображения в 1968 г., назвал это свойство биополимеров линейной памятью: можно сказать, что молекулярная цепь «помнит» возникшую при синтезе линейную структуру. Получается„что, анализируя физику систем с линейной памятью, можно надеяться вплотную подойти к тайнам биологии. К этой идее мы еще вернемся в следующих главах. МАТЕМАТИКА ПРОСТОГО ПОЛИМЕРНОГО КЛУБКА Обыкновенно караты, на ~иван своа ноломненнн, аанасюот.
сн соответствгюинм аркеробом. Асара Твен *Пркклюненнн тома Сойера 4. К Математика в физике В предыдуших двух главах мы описывали свойства реальных полимерныхвеществ — искусственных материалов,известных в быту и применяемых впромышлснностн, и природных «строительных материалов» всего живого. Описание было чисто словесным и потому доволь. но поверхностным. Чтобы понять свойства полимеров лучше, необходимо, как всегда в физике, перейтиотсловесиого описания к математическому — ибо «усвоившие хотя бы начала математики производят впечатление людей, обладающих одним органом чувств более, чем простые смертные» (Чарлз Дарвин).
И вообще, «математика — это язык, которым с людьми разговаривают боги» (Платон). Но в математическом описании есть свои «правила игры»: реальные системы столь безразмерно сложны, при их полном описании надо было бы учесть такое количество факторов, что задача построения точной теории, как правило, безнадежна. Теоретическому анализу доступны только упрощенные модели реальности, ухватывающие ее основные черты и игнорирующие все второстепенные. Но зато содержательное и достаточно «математизированное» теоретическое описание модели дает нам такое глубокое понимание ее свойств, что, вооружившись им, можно уже совсем другими глазами смотреть и на реальность.
В данной главе мы обсудим способря математического описания самой простой модели полимера — модели идеального полимерного клубка (смысл названия мы объясним ниже, в главе 6). Правда, авторы этой книги — физики, а не математики, и вполне понимают известное высказывание Иоганна Вольф. ганга Гете: «Математики похожи на французов: что бы им ни сказали„онп все переведут на свой язык, и при атом получится не,то другоен. разумеется, ядовитое замечание Гете было в большой мере адресовано французским наполе- 3 А Ю Гросберг.
А Р. Холлов 65 оновским завоевателям, но его отношение к неумеренной математической формалистике несомненно перекликается с точкой зрения современного английскогофизика-теоретика Джона Займана: «1!ля нормального челогека пет ничего бюлее отталкиваюп.его, чем клищ.ческая последовательность определений, аксиом и теорем, порождаемая трудами чистых математиков», Поэтому в этой и последую|цих главах мы будем широко иаюльзовать исторический контекст и всевглзможные физические аналогии, не чураясь кое-где и рассказа о некоторых «неполимсрпых» физических задачах и эффектах, и будем делать ум|ор пе столько на сами математические формулы и уравнения, сколько на их физический смысл.
4.2. Аналогия полямерной цепи броуновскому движению Представьте себе, что вы находитесь в густом лесу. Грибов и ягод собрано достаточяо, погода испортилась, хочется выбраться. !Гак? Ветви деревьев, кустарники и густой подлесок скрывают видимость и затрудпшот движение. Из-за низких и плотных облаков не видно неба... Если у вас в кармане есть карта н компас, то ситуация ясна — по крайней мере, теоретически.
А есяи нет? Гово. рят еще, что наблюдательный и бывалый человек может заменить себе компас тем, что будет внимательно разглядывать мхи и лишайники на древесных стволах, муравейники и т. п. Но есть ли полыза от одного компаса без карты? Ведь все равно не знаешь, в кзкую сторону идти... Оказывается, польза есть и очень большая. Рассказывая о блужданиях человека в лесу, мы постараемся познакомить вас с глубокими математическими идеями, которые позволяют многое понять в свойствах технических ц биологических полимеров. Исторически сложилось так, что эти идеи г)юрмировались в связи с изучением броуновского движения.
Само броуновское движение, как явствует из названия, было открыло Б(н уиолц англннскнм ботаником, в 1827 г. Роберт Вроуц (1773- -!888) наблюдал в микроскоп удивившие его беспорядочные «пляски» взвешенных в воде чзстичек цвгточцои пыльны, ! 1оскольку частички двигались сами, без видимого внешнего побугкдеиия, то многие думали, что движение их вызььзается присущей им «жизнеинои силой» (ведь цветы-то живые!) и доказываег су:цествование этой мифической субсгапции, отличаю|ней ха,вое ог неж шого. ь)опрос о броуновском движении долгое время оставался открытым, и каждый мог думать о нем, что хотел. Но к кон. цу Х!Х столетия вопрос приобрел необычайнуюостроту: броуновское движение (ведь зто «вечное» движение!) привлекло впнмапнетех, кто задумывался о совсем уже обшнх проблемах естественно-научного мировоззрения— о природе яеобратимости, т. е.
о разинце между прошлым н будущим, о различии биологической зволюции по Дар. вину, ведущей к совершенству, и термодинамической зволкции по Клаузнусу — Томсону — Больцману, ведущей к дпсснпации или, как тогда говорили, к «тепловоа смерти»... Окончательное понимание природы броуновского движения было достигнуто в 1905 — 1906 годах в работах йльбсрта Эйнштейна «) и польского физика Мариана Смолухооского (!872 — 1917), профессора Львовского университета.
Красноречиво название основной работы Эйнштейна по теории броуповскогодвнження: «Одвижениивзвешенных в покоящейся жидкости частиц, требуемом молекулярно-кинетической теорией теплоты» Эйнштейн и Смолуховский показали, что броуновское движение является неизбежным следствием хаотического теплового движения молекул, оно вызывается беспорядочными толчками молекул и его можно понимать как хвати'геское тепловое движение самих броуновских частиц. В современнойфнзнке выражения «тепловое движение» и «броуновское движение» вЂ” почти синонимы, отличающиеся только с исторической точки зрения. Тонкие красивые опыты Ж.Перрена (!870 — 1942) «*), проверившего и подтвердившего теорию Эйнштейна — Смолуховского, дали столь долгожданное ""'«) прямое и наглядное доказательство атомно-молекулярной концепгтии строения матерям Не останавливаясь на захватывакццих подробностях втой истории, мы для своей «полимерной» темы должны подчеркнуть следующее.
Броуновская частица дпнжется из-за ударов окружагоших молекул жидкости илн газа, поэтому броувовская траектория представляетсобой последовательность многочислеяных маленьких поворотов, очень *) Любопытно, что теорию относительности и пренс. авве~где о квантовой «фотонной» природе с«ге«а Эйннгтейн сйгормулировал в том же 1905 году. *') Об опытах Перрг ив можно прочитать в интересной книжке: 7 рнгг Дж Реюагощие эксперименты в современной йгяанке.— Ил Мор, 1974.
'*') 11впомним, что атомная гипотеза была инв«стив еше в ))ревггей Греции н ожидала экспериментального подгпсрждснин Голыш „нтх тысяч лет! Прп броуновском движении согласно Эйнштейну и Смолуховскому )с =!" (п(1х — 1,)) тга. (4.2) При движении вдоль прямой, как известно, Й р(1а — 1,). (4 !) В этих формулах обозначения такие: )с — смещение, т.
е. расстояние между точками, в которых движущанся частица находилась в моменты времени 1, и 1, (1,)1,), о — средняя скорость движения; в формуле (4.2) 1 — характерный параметр размерности длины, смысл которого мы выясним ниже *), а под )( следует понимать среднее (вернее, среднеквадратичное) смещение: )('=((Я,— 1с,)а), где 1ст и И,— радиусы-векторьк характеризующие положения частицы в моменты 1, и 1„а угловые скобки означают усреднение по многим броуновским трзекториям.
В применении к полимерной цепи аналог формулы Вйнштейна — Смолуховского (4.2) следующий. Пусть 1.— длина контура цепочки; ясно, что эта величина для полимера заданной химической природы прямо пропорпиопальна числу звеньев в цепи. Длина  — это аналог величины *) П теории Эйнштейна — Смолуховского покааано, что для сферических йроуновскнх частиц радиуса г, масса которых равна гл, в жидкости с вязкостью Ч прн температуре Т параметр ( определяется формулой ( (лтйТ) ы((зпт)г), часто расположенных друг за другом.
В этом смысле путь частицы вполне а алогичен рассмотренной в разделе !.4 ':::. конформации полимерной цепи (см. рнс. !.7). Понятна и аналогия с блужданиями по лесу человека, у которого " нет ви компаса, ни карты. Конечно, разглядеть отдельный излом траектории броуновской частицы от удара одной молекулы невозможно ни ': в какой микроскоп. Но теория Эйнштейна — Смолухов- -,' ского показала, что линию, представляющую собой плотнуго последовательность беспорядочных изломов, можно отличить от обычной более или менее гладкой кривой даже '!" и не видя отдельных изломов (подобпо тому, как воду можно отличить от спирта даже ие видя химического строения отдельных молекул). Точно так же конформация полимерной цепи в клубке (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
