М.И. Каганов, В.М. Цукерник - Природа магнетизма (1119321), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Зависящая от импульса Р = ай обменная часть знергпн аналогична кинетической энергии электрона, а добавка 2рН -- эперпли электронного спина в магнитном иоле. Поэтому ее можно интерпретировать как энерплю апта магнона в магнитном ноле Н. Множитель 2 означает, что магнону следует приписать спин, вдвое большии электронного.
т. е. ~диннцу. С другой стороны, у электрона спнновая добавка к энергии имеет, как и следует, два значения: +Р6 и — РН соответственно ориентации спина по и против поля (направление спина и магнитного момента У элчктрона противоположны„так как е ~ 0). У спина 1 есть три проекции: +1, 0„— 1. Казалось бы, спиновая добаггка к энергии магнона долмсна была бы тоже иметь трн Значения — 2рН, О, 4 2рН.
Тот факт, что в формуле (3 20) есть только одно значение спиновой добавки, ознаЧает, что нз трех возьюжных состояний с разными проейщиями спина реализуется только одно — с проекцией, равной — 1. Физическая причина такого результата понятна: рождение магнона (спиновой волны) обусловлено уменьшением проекции спина ферромагнетика; чгобьг зто произошло, магнону необходимо иметь агрицате.явную проекцию спина. Последнее замечание о реализа~ии одного из трех спиновых состояний магнона ие отменяет того, что гаагнон — нвазнчасганаа со сапном, ааенггм еданице; 142 2л (г; — й,=-' ла, а гг„гг„ггз — целые числа.
Последние равенства можно записать компактно, введя вектор К с «целочисленными» компонентами: 2п К,='и„ 2з : - — пг, и 2л К, =- — - па. и Итак, два состояния физически неразличимы, если волновые векторы й и гг' отличаются на вектор К: Поэтому все ралли гные состояния магнона определяются значениями волновых векторов из кубической ячейки с ребрами, равнымн 2п/а. Из векторов К можно построить (на бумаге, конечно) кристаллическую решетку.
Она называется обрапгногг' решеткой. Все различные состояния магнона имеют волновые векторы из одной элементарной ячейки обратной решетки. Если умножить длину ребер элементарной ячейки обратной решетки на Й, то мы получим ячейку, содержащую те значения импульса, которым соответствуют различные состояния магнона.
У обычной частицы дело обстоит не так. Состояния с различньгми «настояцгимн» импульсами все~да отличаются друг от друга, импульс может принимать любое значение, даже сколь угодно большое а). Зтнм импульс свободной частицы отличается от импульса, который мы ») Правда, при эгон для энергии надо пользоваться не привычной формулой в ==- р«22т, а релятивистской.
е == )гж«С« -г с рз (с релятивистской механикой, т. е. с теорией относительности, нпжио познакомиться по книге К). И. Со кол'овско го «Теория отио" снтельности в элементарном изложении». М.г Наука, 196«), 143 Выражение (3.24) для энергии магнона в (Ф) обладает периодичностью по каждой из трех переменных: по Аа, по ге и по А, (косинус — периодическая функция). Все три периода одинаковы и равны 2пга. Периодичность энергии — непосредственное следствие периодичности кристалла.
Зтим свойством обладает не только энергия магнона, но и его волновая функция. Зто означает, что два состояния с волновыми векторами й и й фггзггчееки нерпзлггиамы, если приписалп квазичастице (в данном случае магнону). Чтобы подчеркнуть это различие, нмпул>«с квазичастнцы называют ктапзии>иг>гульсод>, Подчеркнем: приставка «ква зн» в слове квазиимпульс использована не потому, что речь идет о квазичастице.
Можно привести примеры того, что состояние настоящей частицы в стационарном состоянии характеризуется квазинмпульсом и. наоборот, квазичаст>щь> — импульсом, Перви>й пример — частица — электрон в кристаллической регистан а), а второй —. киазичастица -- фотон (квант элек' ромы нитного поля) в г,стоге. Замена импульса квазинмпульсом — следствие геометрических свойств того мира, в котором «живут» магноны. Сс>стояния любых квазичастнц — квантовых аналогов элементарных возбуждений кристалл«>в — описываются квазиимпульсами, а не импульсамп. Мы еще с этим встретимся.
Несколько отвлекаясь, разъясним, чтб мы вкладываем в слова «геометрические свойства мира». Кристаллическая решетка совмещается сама с собой, если ее переместить на вектор, соединяющий два эквивалентных узла. Наименьший сдвиг, совмещающий кубическую решетк) саму с собой, равен а и должен производиться вдоль одной из осей: х, р пли г (см. рнс. 50). А пустое пространство однородно и поэтому совмещается само с собой при любом сдвиге — даже при бесконечно малом.
Длкна ребра ячейки обратной решетки, обратно пропорциональная а, определяет область задания квази- импульсов. В случае пустого пространства мы можем считать постоянную решетки равной нулю. Тогда ячейка обратной решетки оказывается бесконечно больпюй. В этом смысле импульс есть квазиимпульс с бесконечно большой ячейкой обратной решетки. Спиновые комплексы Итак, элементарное (мнннмзльш>е) возбуждение магнитной системы ферромаи.етпиа можно (и следует) представлять себе как рождение кпазпчастицы — магнона, который характеризуется ивазпим') Когда лгм рассматривали свойства «лен«роков проводимости в металлах, мы упростила дело, «выкинув» иэ металла кристалли ис>~у~о >>еглетк>, состоип«>то ив положит«лвимх иолов (см.
гл. 2, й 4). 144 пульсом)э М и энергией е =- е (р), определенной формулой (3,24) или формулой (3.26). Естественно задаться вопросом, а нельзя ли любое возбужденное состояние ферромагнетика описать как состояние с тем нли иным числом магноновр Положительный ответ на этот вопрос одна чал бы, что формулы (3.24) и (3.26) полностью определяют энергетический спектр ферромагнетика.
К сожалению, ответ будет отрицательный. Точнее: вообще говоря, отрицательный. Это значит, что иногда можно, и иногда нельзя. Для того чтобы понять, в чем тут дело, рассмотрим простейший случай, ко~да возбуждение магнитной силемы есть минимальное отклонение двух спиноз или а) а) Рве. 52.
Среди нестациоиарнмх состояний кристалла есть такие. в которых спины двух атомов «отклонены» от общего направления, зми деа атома могут быть располоясены далеко дрзт от друга (а1 или ридом (б). двукратное отклонение одного ч). Очень соблазнительно с каждым отклонением связать свой магнон. Тогда энергия возбуждения будет суммой энергий этих двух магиопов. Однако на самом деле ситуация сложнее. Дело вот в чем: среди нестационарных (!) состояний с двумя отклонеииьвги спинами есть и такие, когда отклоненные спины находятся рядом (рис. 52).
Но при этом согласно <)юрмуле (3.8'), сказывается обменное взаимодействие между ними. Это обстоятельство приводит к тому, что днз магнона взаимодетгспиадот друг с другом. Взаимодействие между любыми частицами проявляется двояко: либо оно приводит к рассеянию частиц *) Речь идет о состоянии ферромагнеткка с проекцией спина Х. —: Л'а — 2. Если спин отдельного атома а == ",, то двукратное отклонение спина отдельною атома невозл~ожно: если проекция сшша атома уменьшилась с аа = ~,'а до см = — "/а, то больше ей укш ьшаться некуда.
14б уг иа друге, либо к образованию связанной систем»я из двух частиц (конечно, если частицы притягиваются друг к другу). В первом случае, при рассеянии, частицы сближаются, а затем расходятся, так что подавляющую часть времени онц находятся так далеко друг от друга, что их взаимодействием попросту можно пренебречь, При этом энер~ия и импульс двух частиц с большой точностью равны сумме их энергий и импульсов. Во втором случае образование связанного состояния означает, что частицы «не разлучаются» (существует максимальное расстояние, на которое частицы могут удалиться одна от другой).
Хорошим примером такой системы из двух «частиц» может служить Земля н Луна, движущаяся вокруг Земли по почти круговой орбите. Энергия Луны, равная сумме кинетической и потенциальной энергий, отрицательна (отрицательна при притяжении потенциальная энергия, если принять, что энергия взаимодействия стремится к нулю при бесконечном удалении тел друг от друга). Гели энергия движущейся «частицы» положительна (как у комет), то, несмотря на притяжение, связанное состояние отсутствует — комета уходит от Земли, а иногда и вовсе нз Солнечной системы. Квантовым аналогом системы Земля †Лу является атом водорода. Состояния с отрицательной энергней— связанные состояния (их энергия определяется формулой (!.2()).
Энергия, равная нулю, отделяет связанные состояния электрона в атоме от свободных состояний, в которых электрон рассеивается ядром. Оба примера (и космический, и атомный) служат для формулировки »( утверждения: в слдчае прип1яжения в завис»сиоепщ о»п значения вне)»- гни еоепюлнин еигтекы двух чаепиил л«огйчп быгаь как евнзанныли, »пак и евобадныл~и. Вернемся к системе из двух магнонов. Выделим их движение как целого (с квазиимульсом, равным сумме их квазиимпульсов) и относительное движение. Как оказывается, магноны иригплгиваютея друг к другу причем величина притяжения зависит от их суммарного квазиимпульса. Для частиц в пустоте тако~о быть не может. Мы всегда можем перейти в инерцнальную систему координат, в которой центр тяжести частиц по.
ыб к%итси, т. Ф;,их суммарный"импульс раасн! Нулю. О!' скок рости, с которой движется выбранная нами инерциальная сисхема отсчета, ничего не может зависеть и ие зависит (в этом состоит утверждение принципа относительности Галилея), В кристалле подобный переход невозможен — движение квазичаспщ происходит относительно кристаллической решетки, которая является избранной системой отсчета.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
