М.И. Каганов, В.М. Цукерник - Природа магнетизма (1119321), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Эту теорему можно распространить н на квазичастицы. У магнона спин единица, так что мнпюны — бозоны, а газ магнонов — бсве-газ. ") Как мы увидим (а скорее всего, и интуитивно ясно), при Т с Т, среди магноаов больше всего таках, энергия которых е .".)гТ, т. е. знаиительно меньше ширины ыагиопиоа воны 12 А а ' согласно (3.) )) аТ, =-- А). Квазиимпульс у такик магноиов мал, с и опи не мокнут образовать спииовыи комплекс, а магконов с большими икпульсами озеиь мало. Вазе-газ Тспс(зь самое время выполнить обещание и с рассказать о свойствах вырожденного бозе-газа, т.
е. бгззе-газа при температурах, значительно меньших 7.„- а» (н ',пз — (см. формулу (2.17)). Вырожденных бозеет ~,Ё,! гаюов «настоящих» частиц при заких температурах не существует: они все при Т ~: Т»» превращаются в жидкость и все (кроме гелия) затвердевщот. ййы расскажем о том, квкпмп свойствами обладал бы бозе-газ, согласно::; закоцо! квантовой статистики, если бы оп суецествовал '). Итак, объем Г наполнен Л' бозе-часпщами при Т~~ Т„„.
Е»!ждая частица движется по законам квантовой меха- .,:,':.,', ники, и ее энергия определяется значением ее импульса,"'.„'= в=- .. Напомним, что координата частицы не имеет:„:!. !з» 2зо ' при этом определенного значения. Начнем, как и в слу- " чае ферми-газа (стр. 88), с абсолютного нуля темпера- ".~ туры, когда система должна находиться в основном состоянии — в состоянии с наименьшеи энергией. Так как,-! бозоны не подчиняются принципу Паули, то ничто не -: мешает всем им перейти в состояние с равным нулю им- ".! пульсом. Это макроскопическое скопление частиц в со- !' стоянии с р .= О называется кондснсатож. Итак, основное состояние газа базанов — конденсат.
Элементарное возбуждение газа базанов — это выход з! одной частицы из конденсата, т. е. появление (рождение) движущейся частицы, частицы с р та О. Те!и как больншцство способов обнаружения частиц связано с фикса-'::,:» ц!!ей их движения, то частицы в конденсзте хак бы вовсе.
"' «ие существуют», а «рождаются», когда приходят в дви- ' и»ег!це. Квант«зная статистика позволяет определить: среднее число частиц с импульсом р ~ Π— равновесную ',: фупкцшо распределения при температуре 7' с Т„„: ! ца>! "— ! (3. ЗО) 11слп пас интересует средняя плотное!ь и (е) числа частиц в беж онечно малом интервале энергий от е до в ',- де, то послсщзее выражение надо умножить на ! О«й мс е!~см1)чщяя»$07«я пбпыткя явку«сх»мпю созд»ть »ырожлеяя»ся бозе г;з, зба плотность состояний ') ь ~н), равную .—.-гплз) из з (2з+1) р пздз Рг2 где з — спин частицы (з =- О, 1, 2, ...): — — — О лтч ~2з+ П Рглзгз .У2 „таз ее)ьх ) )оянгхт число дагсзсри)ихся бозесчастиц при температуре Т вычисляется интегрированием по всем энергиязн ~2з!.)) лззг Г Ргз йз 'и — )2лтн ) ~их о (3.32) за яг,гу згз <3.33) и конденсат перестает существовать: при Т м Т, движутся все чзап цы.
Обычно исследуют поведение бозе-газа, постепенно понижая температуру, поэтому температуру Т„назывьчот температурой бозееэйнгиплйиоаской ьтлчдлнсаг)ии. Прн Т ( Т„конечгюс число частиц не движется, находится в конденсате. Специфкчсское поведение бозе- газа должно проявляться во всех его термодннамическях свойствах. Так, теплоемкость бозе. газа 1ри Т -. Т, пропорциональна "з) Т'гз, Рис. 54. Распределение частиц иозееаза с р+ О по знертиям и произвольных единицах. Площадь нод .кривая и — '- и (е) рзз нз полному числу ун движущихся жстиц газа в сгк;уде, ') Ыы рассказали о плотности состоянии и гньяспалк, почему Г ова прщюрцноиальна ) е на ггр. 89.
Приведенная здесь формула отличается от формулы 12Д9) тем, что написана длн пргжзоольного ггипз. для чектронз надо иодстаагпь 5 ° т)з, и мы получим при атом, ест огненно, формулу ~2дсз) "') тенлоемкость злзгссг геского газа не зависит от температ) рьь а и гщоеь ность ферми гааз падает до нуля по линейному закону, Хгпя при е =- 0 подынтегральное выражение обрагцзется в бесконечность, интеграл имеет вполне определенное значение, он растет пропорционально Т"'. Число частиц и коиденсате Л'е равно полному числу частиц Й за вычетом Лг .
)урн температуре Т == Те где В "заклктченпе этого раздела ггосморриат; 'йак распре делоны 'частицы 'по энергиям пр ° Т ""'Т„. Посллотрим)~ь буквально. На рис. 54 изображена средняя плотности',", частиц и (в). Видно, что практически все застицьг сосре-'', доточены на интервале от О до йТ а прп дальнейшем;. росте энерпгн плотность экспоиеициалыго быстро спа-- дает Вернемся к газу маптонов. Воспользуемся подходом,;" развитым в предыдущем параграфе и зафиксированном,:, на стр.
150 (выделено курсивом) Начнем с волны пеод-;ч породной прецессии. Ее характеризует волновой век-';г тор й и частота ы. Раз есть частота (в данном случае-';, м (й)), то можно говорить об «осциллятореа, колеблго-' '; щемся с частотой го (гг). Что колеблется — — не так важно, -' важно, что калеблстсл. Энергия осциллятора, согласно '; законам квантовой механики, как мы знаем, может при-.':.' нимать значения, равные е„„==- йы (й) + сайго (Ф). 1 Р.З4) ъ Мы нарочно в таком виде написали более прпвычи)чо .' формулу .',и+, ) йго,чтобы подчеркнуть:энерп1я гглггсо(й) ' есть энергия возбужденного состояния. Состояние ферро- -':,:: магнетцка можно задать, задав числа л„— степень воз-:.", буждения каждого осциллятора. Так как волв е неодно- .
родной прецессии можно сопоставить магион с квазн- -.; импульсом )и — Иг и с энергией г)ги (й), то степень воз- ':;,':,' буждения осциллятора (число и„) можно считать чпслгзм ',',~ магпонов е) с волновым вектором )г или импульсом „'. )а Ю. Итак — наглядная схема: стгггновал вол~а кан волна гчвсднс)зодггог) гарт'г)вгггггг огг) гглллгггг у г лгагггон ") Именно то, что знергин возбе кдеиии к~он ег ириннмать а единицах ам (Ф) только целочисленные значегига, оиравдмваггг введение магнонов.
Мм, коиежю, ирнводии алесь отнюдь не стрегна вывод. Ы теории ферромагнетизча ириведениме здесь форм)л ч доказьааотси строго. Ы ~астгюстгь доказгзно, что имеет место фор мула (3.34), а оиа — главнаи дла атон *гасго наюего рассказа о газе магионоо, пм При определении состоянцятферромагнетнка нет необходпмосттй в зиапин точных (в каждое мгновение) значений чисел магнонов пр (мы окончательно перешли на ьорпускулярный язык, заменив й на р) Для вывода температурной зависимости величин, характеризующих газ магнопов, достаточно знать среднее число магионов с импульсом р — функцию распределения магнопов и .
Н;ппа б.шжайшая задача -- определение этой функции. А пока еще одно отступление. !(винтовый осцпллятор Обратимся к формуле (2.5) на стр. 72. В,тевой части равенства стоит отношение числа частиц с энергией им к общему числу частиц. Зто отношепце можно рассматривать как вероятность )Г„нметь частице данну1о энергию езе Справа стоит ем ет 'и тти 'Фг В',и =- —, еат ' У„е'т и аи "ет йт, = ~.=о (5.35) есть вероятность того, что осциллятор находится в тпм квантовом состоянии. Среднее значение и) любой фнзи- ') В теории вероитисчиеа такое средиее зиачеиие часто витии вмот .чамелаеаичесиисч ом адов ее и, причем суммирование в знаменателе производится по гсем возможным квантовым состояниям. Зто простое соотношение (если пе конкретизировать, что такое и,и) —: основа фпзической статистики.
Мы применим его к оспиллятору с частотой со. Тогда ческой величины, зависящей от степени возбуждении.:;,:":; осниллятора, т. е. от числа л, находится умножением:;, этой величины на яг, и суммированием но всем и. Прежде," всего найдем среднее значение самой стеяеин возбужде-' ':-".'„' ния: 'Аг в:з л = лФ„=.—— "ьг и--О Бесконечная сумма, стоящая в знамеинеле, есть,:,", сумма членов геометрической прогрессии с первым членом, равным единице, и знаменателем прогрессии е-а "Фг. '; Поэтому ЙМ;л '~е их,' Ь.~ Аг аг 0 Сумма в числителе нолучается из суммы, стоящей в знаменателе, если последшо1о проднфференцирова~ь йм ио всличине х= -- и взять с обратным знаком: Хт Таким образом, окончательно а е — ! ьг Прежде чем обсуждать эту ваксам формулу, выпишем значение средней энергии осциллятора: (3.37) из которого сразу же видно, как совершается нереход к классической статистике: при йы ч.- АТ мз ейт И' ' и мы убеждаемся, что 156 !реднее аначенае энергии ос!(илллтора в р ловилх, когда применимо классическое расслгоглренис, ров~о гпелпера!пдре, во!раженнои в знерееначеских едино!(аз ' е =- /1'Г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
