М.И. Каганов, В.М. Цукерник - Природа магнетизма (1119321), страница 31
Текст из файла (страница 31)
В эп!х же условиях среднее значение степе!и возбужде- АТ гп!я Ос!ы!ллятора и! - — —. формальнО мпож!Лель 1$10" 6! 1!орццопальпогтп содержит постояниу!о Планка, но оп пе играет иккакой роли, так как выпадает при вьгчцслеции средних значений. Вывод формул (3.36), (3.37), который мы здесь восцроизвели, был впервые выполнен Максом Планком и 1900 г., когда он занимался исследованием излучения г!бсолютно черного тела, т.
е, тела, которое излучает, цо пе отражает электромагшггпых волн (небольшое отверстие в большой полости хорошо ьюделпрует свойства вбсол!Отпо черного тела). Для !Ого чтобы объяснить зксперимеиталы!ые факты, ему пришлось с!!елат!» пред положение, которое означало отказ от классической физики — приз!ить, что ОсциллятОр мОжет находиться только в таких состояш1ях, в которых его энергия кратна йы (см. (3.34)). Значение постоянной Планка ои шщобрал таким, чтобы сходство между экспериментальной и тео. ретической кривой было наилучшим ч). 11з схемы иа стр. 154 стан!нзится ясным, что равновесная фуш;ция распределения магнонов йр (3.38) тОждествеина функции расп)хделеиня 'истиц в Оозе-га !е прп температуре ниже температуры бозе-эйп1птейповскоп конденсации, Совокупность ма!ионов действ1пельно г!редставляет собой бозе-газ( '1 11 сегодня, более чем через 8О лет после появлепня цнкзгьчн. !.ой йлацнз ва свет, мн не кисеи нк какой возможноств ее мцчцсп мь, с)нв не выцкляется, так же нак и тругяе фтцгдзг!ектальцце кон) гтантм фнзнкв! скорость света г, заряд злектрг!!(з г.
!!л надо ~ зле рать. Ингсресво отметать, что цанболге томов значепке посто!!ц1гон Планка я получим с ноцо1вь3о свг!!хпроводягдсго )ст!оцггцз, т„е, цетодацн квантовок фкзнкя тавр!то!о гота. Отличие формулы (3.38) от формулы (3,301 в то»«,', что формула (3.38) описывает распределение всех маг-", ионов. Конденсат магнопов отсутствует. Если температура ферромагнетика значительно мень-'.:.:' «ив температуры Кюри, то„как мы знаем пз рассмотрения;: вырожденного бозе-газа, главную роль в его свойствах играют частицы (в данном случае квазпчастицы -- маг- ',- попы) с энергией, меньшей йТ.
Это позволяет восполь-!:, зоваться приближенной формулой (3.25) и, кроме того,',,;, формулами (3.31) и (3.32), в которых, однако, надо заме-'-': нить 2з -', 1 на 1, так как (помните?) из трех возможных „. «липовых состояний магпопа реализуется только одно"',:, с з, — - — 1. Вместо массы частицы т надо подста- .' вить эффективн)чо массу магпона т' — й»,'2Ааа (см.:-',.' стр. 142). Знание равновесной функции распределения пр по-'к зволяет вычислять различные макроскопическпе величи-::,. ны — характеристики газа магнонов, а значит, ферромаг-:.', цетнка. Наибольший интерес для нас представляет маг-,:, нитный момент газа магнонов в единице объема — его':;:: намагниченность. Этот важный вопрос требует отдель- "- ного параграфа.
5 1О. 14амагниченнпсть и теплоемкость ферромагнетика при низких температурах Рассматривая магноны в ферромагнетике,'-'!'-, помещенном в магнитное поле, мы убедплнсь, что каж- « дый магион «песет на себе» направленный против намагни-::,' ченности ферромагнетика магнитный момент, равный удвоенному магнетону Бора. Поэтому намагниченность единицы объема ферромагнетика «т (Т) есть разность .,':: между магнитным моментом при абсолютном нуле температуры га — - Л'рз и магнитным моментом газа магпопон.
Последний же попросту равен числу магнонов У.,„„„умноженному на 2р. Итак, «»т (Т) == Йрз — 28Л'„«„,. Если магнитное поле Н невелико (РН «= йТ) (см. стр. 75), то его можно положить равным пулю н воспользоваться формулой (3.32), не забыв вместо п~ подставить эффективную массу магнопа и заменить 2з; 1 единицей. В ре1за з)льтате получим е): ев(Т) =- Н)гз)~! — 0,1 —, ' 1. (З,т)0) ) (ы учли, что в каждой ячейке кристалла имеется один атом с магнитным моментом рз.
т. е. — = Ж. ! а» Зту зависимость, впервые выведенную Ф. Блохом в )930 г., часто называют законом Блоха, или «законом 3,'2», имея в виду показатель степени у температуры. Теперь мы видим, сколь неправильный результат был нами получен из модели Кюри — Вейсса. И формула (3.5), и формула (ЗАО) — обе выведены в предпеложении, что между атомными магнитными моментами действуют только обменные силы. Однако в модели Кюри — Вейсса считается„что энергия системы спннов однозначно определяется суммарной намагниченностью, а из правильной квантовомехапнческой теории следует сун(ествовапне магнонов, возбуждение которых с ростом температуры приводит к размагпичиванп!о ферромагнитного образца. Степенной, а не экспонеипиальный характер !авпснмосп! намагниченности, конечно, обусловлен тем, что число мапюпов Л', „, растет но степенпбму закону.
А почему йи«гн растет именно по степенному закону? Чтобы понять причину (формально это видно из формулы (3.32)), рассмотрим более сложный случай больюого магнитного поля пли очень низкой температуры (рН з кТ). Для общность! величину 2рН в формуле (3.26) обозначим н„, подчеркивая, что это — энергия «неподвижного» мапюна, магнона с р -- О, и понимая„что она определяется всеми необменными взаимодействиями. В этом случае число магнонов определяется формулой, очень похожей па формулу *') (3.32), только интегрирование ведется не от нули, а от и„: »! то, зто н формуле (3,32) ннтегрнронзнне ведется до аесконезности, не должно нес смущать: вклад состояний с энеРгией, Во«яшей АТ, совершенно несущестнен.
") Зада«а. Воспользонаншнсь соовраженияяш которыми ьнзгользонелнсь при полу ~еннн заражения для плотности состоя-' ний д (е) (см. стр. 89), н заннсияостью энергия мегиона о1 нину;зьсн яри р.':, ага„игле«дите форм)лу (ЗА!), )о9 рсви .)ст< е,„то еди иве!! В звамееивтвле -мои!)(се;; пренебречь и числО магион!!В ОкязыВяется экспопеи т циально малым: 1с, вг —,'. )ет,з,.с ° ~сн в,е Срявю!и теперь распределения магнонов по энгр!'Иям,:.
прп е, == О и при ел чь О. )(Огда е, чв О, распределение с имеет максимум прп е = аТ, 'г, е, у большинства мягно-':!.;:. нов эне)ггия порядка температуры (выраженной в энергетических единицах), однако при е, ~) /гТ полное число:: частиц экспонеициально мало. Когда е, = О, большин-.',:.," ство магионов имеет энергию, меньшую аТ, ио общее пило их пропорционально (йТ)лу'. Итак, все дело в том, отделена ли область разрешенных значений энергии от.
".. энергии основного состояния щелью или нет. Существо. " ванне В;ели приводит к экспопеппиальной завис~в!ости",..,': числа мягиопов, а значит, и намагниченности от темпе-",,' рлтурь!. Подчеркнем, что в ферромагнетиках !цель имеет не обмесшое происхождение, именно поэтому правильный результат столь разительно отличается от результата, ',-':: !П1ЛУЧЕПНОГО В МОДЕЛИ ((ЮРИ вЂ” ВЕйееа е).
Существование щели в энергетическом спектре возбуукденных состояний макроскопического тела — явление очень частое. Естественно, оно всегдя сопровож- ',": дается зкспоненциальпой зависимостью тех макроскопн- '-,",!'. ческих характеристик тела от температуры, которые.':, определяются возбужденными состояниями тела. Зтцм демонстрируется применимость формулы, которук мы -' назвали основой физической статистики (см.
формулу на „:, стр. )55). Знание функции распределения магно!юв по энергиям,: пг!зволяст вычислить впутренню!о зиерпво, содержа-' -,;.' н1)'!Ося В 1азе ма1ИОИО — с)'мму энергий Отделын1х мвгволов: Е„„, = ~ ел (в) !)е. (ЗА 5) о Поступая аналогично предыдущему и считая, что ел = — О, чы легко установим, что Е„„° Т"', Энергия мам!шюв, ") Задача. С пссллвл!о форе!ул!л (3 42) вмчвслес!с .де (1) лрв ел в!сн ': /гт л сралилте с форе!уло!т (з,в), длл члслевнов овслкв 1ЮЛ1,.В,'. И =- ЮВО Э, тс =- )О' К, )ао есмегтвенно, стремится к нулю при стремлении к нулю селсссературы, но стремитсн, как мы скоро поймем, сравс;им лыю медленно ").
По существу, именно этим вызван »гцп интерес к температурной зависимости энергии матс с о сс слв . 7есслслемкость тела, как известно, есть количество -се»лз, »олучаемого телом грн его насреваннн иа 1 градус. Гслсс объем тела не меняется, то получаемое тспло с;лес на увеличение его внутренней энергии, т. е, пол'- чаемаг тепло рвано изменению внутренней энерги» силла Еи Поэтому при фиксированном аоъеме (а абьсм тгсердсгго тела практически всезда можно считать фиксигсь, рощщным) теплоемкасть С равна -- - Несомнещю, маткина вносят вклад во в»утре»шою энергию фсрромаг»етика.
Поэтолсу можно саворспь о магноннай час"ти теглаемкости ферромагпетика: С„,,„н — -'-' —,',х,- . (3.44) Язгссоссная теплаемкость ферромагнетнка, как яс»о »3 с~рессьсдусцсГО, так же как намиг»ичевнасть лнссейно зав»с»т от Тз". Пелищне привести точ»ую формулу (в расчете на 1 смз): ат счз (З.4 ) (лп ~ сзпять заменили 1 'аз на Ас). Точная формула нумсна ват почему. Когда речь идет о намагниченности, то за се температурную зависимость при Т -=. Т, отвечают только магноны. Когда же речь идет о теплаемкости— это не так. Отличая внутренщаю энергию тела от энергии маг»онов, мы уже как бы намекнули, в чем дела. Движение атомных частиц в твердом теле не огранигщвается возбуждением спинозой системы. Существуют вазбужде»ные состояния„при которых вовсе не изменяются положения спиноз атомов.
Из таких движений наиболее сусдестгсенны колебания атомов (ионов) вокруг их полажен»е равновесия. Мы расскажем о них в следующем р а:сдала сронаны Атомы колеблются во всех твердых телах, а не только в ферромагпетнках. Поэтому содержанке этога раздела имеет отношение к любым твердым телам. ') Зггоана. Найтлг зависимость Е,„в„н (Т) при йТ нм нв 5 м. и. Каганов, В, м. цтнвгнвн 161 Между атомами твердого тгла сувсествуют, естест- ! ! ! весщо, силы вази!!О!де!!стяни! притяясение — ва больших расстояниях, отталкивание — на малых. Иначе, что бы держало атомы в и!де стройной конструкции — кристалла с периодически повторяющимся располомсением атомов в пространстве? Отклоним атом пз положения равновесия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
