Г.А. Миронова - Конденсированное состояние вещества - от структурных единиц до живой материи. Т1 (1119317), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Длили когереньчписти. Рассмотрение в решетке только одной куперовской пары сводится к практически одномерной задаче. Нормированная волновая функцня Ф(х) связанного состояния в этом случае при граничных условится гр(0) = ~р(2() =0 (2( — длина потенциальной ямы) имеет вид: ~р(г) = — гйп( — г), .
р (9.23) ,/( ' й где г — расстояние между электронами в паре. Пространственная протяженность волновой функции пары определяст размер пары. Эта величина называется длиной когерентностн и обозначается буквой г, Для достаточно глубокой потенцнаяьной ямьк с нулевыми граничными условиями на волновую функцию. ее размер 2г соответствует протяженности волновой функции. В этом приближении (см. рис.
9 — 9 и (9.21)) Однако в действительности с двух сторон потенциальной ямы всегда имеются области, в которых волновая функция экспоненциально затухает. Протяженность этих областей тем больше. чем лалыце отстоит уровень связанного состояния от дна потенциальной ямы. Поэтому длина когерснтности. в общем случае, превышает длину потенциальной ямы Е -10 и. 3 Купероискне пары а элрехмерльгх лгетихдат. Посмотрим теперь, как изменится ситуация, если рассматривать трехмерный металл.
Взаимодействие фермневских электронов с решеткой и создание флуктуаций положительного заряда имеет виртуальный характер. Оно совершается за — -~з очень короткое время т — шр =10 с, через которое ионы возвращаются — 1 в первоначальное состояние. Поскольку т — шп очень мало, то неопределенность энергии электрона при таком взаимодействии — й/т оказывается сравнимой с энергией кванта колебаний ионов — Ешо .
Закон сохранения энергии при виртуальных процессах может не выполняться. Это означает, что изменение энергии ЬЕ электронов при взаимодействии может существенно отличаться от энергии — йш2>, которую приобретает ион кристаллической решетки. В действительности оказывается, что максимальному понижению потенциальной энергии электронов при взаимодействии с решеткой соответствует условие ЬЕ ~ 2ш2з . (9.25) Иными словами, это означает, что поляризация решетки с энергией — Лшгз приводит к значительно более слабому изменению энергии ЬЕ в электронной системе.
Взаимодействовать с решеткой могут только электроны, состояния которых расположены в непосредственной близости к поверхности Ферми, так как все состояния внутри поверхности Ферми заполнены, и свободные состояния, в которые могут перейти электроны после взаимодействия, отсутствуют. В результате, реально взаимодействовать с ионами может только очень небольшое число из общего количества электронов, состояния которых в импульсном пространстве образуют тонкий слой на поверхности Ферми.
Толщина слоя ор, соответствует энергии фонона - Аш22 . .Лшр — — Д~рп/2т~=)гнбр, то есть 22 др = йсод/РР. (9.2б) В реальных трехмерных металлах в каждый момент времени существует сложная трехмерная система пересекающихся потенциальнь1х ям, создаваемых фермиевскимн электронами, движущимися со скоростями =$р в различных направлениях (рис.9 — 10). Пе ссекаю~ неся элек н- 453 Ччстъ И л 1Х. Сверхлроводиносгль к )=Х Ю вЂ” "" — ') (р' ,р ]Э' (9.27) +)7 Гр= ЕГР, (9.28) а(р)(рг/Гп — Е) = — ~п(р )1'рр, Р' (9.29) '(гт гю~ ш (9.32) ные т екн эх ани ют г га в сз льтатс чего гл ина потен наль- ных ям и соответственно эне гня связи в па ах меньшается по с аане- ншо с ассмот сивым выше едншгшым т еком Время ьчизни кажлой поляризованной области — 1/шгз, так что эта карпи~а непрерывно изменяется.
В нормальном металле одиночные фсрмпевские электроны прн своем движении "не замечают*' областей поляризации, так как глубина потенциальных ям много меньше их кинетической энергии. В отличие от нпх пары эяелт онов с сумма иым пуп льсом Р=О н кинетической зне гней вн- жения цент и масс также авной н лю об аз ют в ямах связанные со- стояния. При увеличении концентрации фермнсвских элелтронов взаимная экранировка поляризованных треков усиливается. Поэтому, если характеризовать величину электрон — решеточного взаимодействия некоторой постоянной Л. то ее величина должна уменьшаться при увеличении плотности состояний киазичастиц на поверхности Ферми в результате усиления экранировки.
С другой стороны, увеличение плотности состояний приводит к увеличению числа алтов элелтрон — решеточного взанмолействия в елиннцу времени и тем самым — к увеличению обшей отрицательной потенпнаиьной энергии взанмодействуюьчпх электронов. Рис. 9 — 1О. Волновая функция куперовский пары затухает па ллипс à — 21. ЛП— линна волны 1околс ги), причем г, » Лп.
Купсроиская пара в олномерном случае (вверху слсва) представляет собой лва электрона с противоположно напривлениыын Г1Гсрмисискнмн импульсамн, и трехмерном — сосгоянне куперовской пары описывается линейной комбинацией лиижснпй злслтропои во възимно противоположных направлениях. Эясь-граны куперовскнх пар остаются в области порялки Волновая функция куперовской пары (9.23), гле г — расстояние между элелтронами, видоизменяется н в трехмерном случае представляет со- й линейную комбннапню волновых функций фг) пар взаимодействую- пх электронов, имеющих относительный импульс р„„и — 21ьр н полный пульс Р = О: ДЕ -2ММ -уммированнс ведется по всем возможным значениям р', расположеным в слое толщиной (9.26) Дп' = 1ГсоГз/(ГР вблизи поверхности Ферми.
а оэффициснты ~а(р) ~ определяют вероятность нахождения куперовской Р ы в состоянии с волновой функцией (1/з/1)гйп(р г/А) (одном из двнений, указанных на рис. 9 — 1О). Подставим (9.27) в уравнение Шрединге- а ГГГ12 приведенная мэсси пары а ~ ной ямы, Š— собственное значение энергии куперовской пары в связанном состоянии, а затем умножим на (9.23) и проинтегрируем. Получил1 гг тле )Г ° = ~ Г((р)(Г(г)гр(р'31г — матричный элемент потенцнача. ПолаРР о тая (Г(г) = 6(Г = сонм в пределах потенциальной ямы, находим 2Г ГР(р)ГР(р')1г = — ~ з(и — ззп — Г(г = — ) соз(р — р') — -соз(р+ р') — г. 1) Ь 21)ь й Ьз о о о (9.30) Интеграл от периодической функции не равен нулю, если область интегрирования меньше пли порядка периода функции.
Для левого слагаемого в (9.30) это условие имеет вьш 21 < гп(Г/( р — р'), то есть р- р'-й/1. (9.31) При условии (9.31) интеграл (9.30) по порядку величины ранен единице, а Р ° — б(l (9.22). РР Б дем отсчитывать энергию от уровня Ферми. Тогда кинетическая У энергия куперовской пары равна 454 455 Гл. 1Х Свертироаодкиость ЧАСТБ и (9.33) 4р тг/Е/рв т(гбт ! г/е . /2тдю~/) (2лд//) 2п/лрг 46ш// (9.34) сг(е)(с +Л) = — Со, й/ 46гао отсюда ( ) й/ Со 4Ьшп (е+Л) (9.36) а собственное значение Е равно взятой с обратным знаком энергии связи; Е= — Л. Суммирование по импульсам с Лр = р — р <й/( (9.31) замашкам суммой по энерг1ш г'.
Из (9.32) с учетом (9.26) получаем интервал энергий Лг. = 2 РРЛр/лл = 2/~оз/э. соотвстствуюгций интервалу (9.3 !)/Уравнение (9.29) запишется в виде: 2/кар а(е)(е+Л) =й/ ~ сл(е'). е'=о Переходим от суммирования к интегрированию по энергии. Для этого определим число состояний в нзбрагшом направлении в энергетическом интервале г/е. Используя соотношения: ЕР— — рнэ/2т, рв = пй/а н 2/ = п1/Р/го/э = зтрн/Онш/э) (9.20), получаем Тогда правая часть (9.33) прииилзает вид згкаа заела й/ ~ а(е')=й/ ) а(в')г/е'= — Со, 46шо о 4Ьшр 2/каа глс Св — — ) п(к )г/е' (9.35) о — константа.
Подставляя (9.34) в (9З3) получаем уравнение для а(е): Используя (9.36), вычисляется интеграл (9З5): ваша 46шп (е'+Л) Ие', 1= — — !и —, 46шп „(в'+ Л) 46шр 26шр гйш/э +Л Л где использовано приближение !и = -!и , поскольку. Л 2йш/э Л ~ Бгао . Окончательно из (9.37) находим 46шп1 ~ 1 1 Л = 2йшп ехр — = 26шо ехр —, б(/ ~ где константа к* с учетом (9.22) и (6. ! 8) имеет вид еаз 1 ей ей (9 39) 4Ьозо 4Ьип аРРл/()М Я /()/М а~юг фМ Бйп)/РР Из (9.33) и (9.39) следует, что, энергия связи луперовской пары Л « Ьоо и имеет порядок Л =(1О +10 )е =(1Π—:!О /Ег., поскольку ЕР— ка— 4.
— 5! / — 4 — 5! й9.3. Теория сверхпроводимости Бардииа, Купера, Шриффера Поля изацию ешетки е миевскнми элект снами можно ассмат- Мщр л л ° .б векгором г/ = 2п/(46) (2( — длина области поляризации, 4( — ллина волны возбуждаемого фоноиа). Характер смешения ионов в области поляризации аналопгчен смецлению атомов при возбуждении оптических колебаний и поэтому, независимо от длины области поляризации 2г', фонону соответствует частота -с/в. В теории сверхпроводимости Бардина, Купера, Шриффера (БК(В) процесс взаимодействия рассматривается как возбуждение электроном с импульсом р, и кинетической энергией Ев виртуального фонона с энергией Ьаа и импульсом г!. При этом электрон переходит в состояние с импульсом р! и кинетической энергией Еа — БЕ. Возбужденный фонон за время -1/шо поглошается другим электроном с импульсом рз и энергией Еа, который при этом переходит в состоя>ше с импульсом рз и кинетической энергией Ее + бЕ.
Рис. 9 — !1 иллюстрирует процесс рассеяния пары электронов из состояния (рнр ) в состояние (р1,рэ). В процессе виртуального взаимодействия закон сохранения энергии на промежугочнгах стадиях может не выполняться, то есть ЬЕ и Ьшо . При условии ЬЕ < Бшр оомен фононом приводит к притяжению между элек- 457 45б Гл 1Х Сверхпроаоднноснзь 'ЫСТЬ 11 (9.42) П„П! П.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
