А.К. Боярчук - Функции комплексного переменного - теория и практика (1118159), страница 16
Текст из файла (страница 16)
е. (чге > 0) (Би, Е (чО('в(п > и„р Е Щ) г р(л„ьр, л ) = !льне — »„! < г (3) (см. определение фундаментальной последовательности в п. 3.1, гл. 1). Поскольку метрическое пространство (И, р), где р(*, у) = !я — у! тг(к Е К, у Е К), полное, то в сиду теоремы 1 полным является и метрическое пространство (С р), где р(л„лг) = 1»т — л,! У(лг Е С, лг Е С) Теорема 4. Пусть последовательность (л„) сходится и» = йт л„.
Тогда любая ее нодпоследовательность (л„„) также сходится и Ит л„„= л. ь- Достаточность. Пусть Ке»„Кел, !тл„!тл. Тогда !»„— л!т = (К廄— Кел) + 2 1(тл„— )тл) 0 при и оо, т.е. л„-чл. и Таким образом, сходимость последовательности (»„) комплексных чисел равносильна сходимости двух последовательностей действительных чисел (Ке »„) и (1гл »„). Это позволяет перенести всю теорию пределов последовательностей действительных чисел на последовательности комплексных чисея.
В частности, из ограниченности последовательностей (Ке л„) и (1тл„) немедленно следует ограниченность последовательности (л„). Сформулируем теоремы для последовательностей комплексных чисел, которые следуют из теорем для последовательностей действительных чисел. Теорема 2. Пусть (л„) и ((„) — сходящиеся последовательности колггмексных чисел.
Тогда их сумма (» +(„), произведение (л„, („) и частное (-*к) (нри усговии, что зги Е 14 („~ О л 1!т ф„а О) также являются сходящимися последовательности и и ври этом б 2. Тополопи комплексной плоскости Теарема 5 (Больцано — Вейерштрасса). Всякое бесконечное ограниченное мназкестаа Я С С имеет хотя бы одну предельную точку а С.
м Пусть (х„) — произвольная последовательность точек множества Я, Она ограничена, поскольку мно:кество Я ограниченное. Тогда и последовательности (Ке х„), (1ш а„) ограничены. Согласно теореме Больцано — Вейерштрасса для последовательнее;ей действительных члсея, из последовательности (Ке х„) можно выделить сходящуюся подпоследовательность (Ке г „). Пусть !цп Кех„, = х, х Е К.
Рассмотрим подпоследоаательность (1шг„ь). Она ограничена, поэтому низ нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность (1ш г„ь ). Пусть !пп !шхьц = у, у Е К. В силу теоремы 4 Кех, х при гп — + оо. Рассмотрим подпоследовательность (г„, ) последовательности (г„). По теореме 1 !цп ггц = з = яд(у, ° Е С. Согласно определению 4, и. 3.5, гл. 1, г является предельной точкой мнохсества Я. м Определевие 3. Тачка х Е С (г Е С) называется частичным пределом паследааатеяьнасти (х„) ияи ег предельной тачкой, если из нее манена аыдвгить падпагледааатеяьнаппь (г„,), предел катарин равен х.
Из теоремы 4 получаем следствие: если последовательность (г„) сходится и точка г б С— ее частичный предел, то 1нп г„= .. Следует различать предельные точки множеств и последовательностей. Например, последовательность (гн), где „= (-1)" имеет две предельные точки: г~ = -1 и, = 1, а конечное множество (-1, 1) предельных точек не имеет.
2.4. Свойства компакта К С С. Все необходимые определения и результаты, относящиеся к свойствам компактных множеств в метрических пространствах, излохсены в б 4, гл. 1, Рассмотрим свойства компакта в метрическом пространстве (С„р). Определение 1. Пусть К С С Множество К назыааетгя компактным а себе ияи компактам, если из любой последовательности (з„) точек г„Е К милена выбрать падпасгедааатгюность (г„), стаднигуюся к ненагпарай тачке гг Е К (см. определение 1, б 4, гл.
1). Теорема 1 (об ограниченности компакта). Каждый компакт К С С явяяетгя ограниченным множествам. < Пусть, вопреки утверждению, компакт К не ограничен. Тогда существует такая по ледовательносзь (г„), что ) „( > и и Хсп Е сИ г„б К. Из (г„) нельзя выбрать ограниченную подпоследовательность и, тем более, сходящуюся. Получили противоречие, источник которого в предположении, что компакт К не осраннчен.м Заметим, что согласно теореме Хаусдорфа компакт К С С вполне ограничен в метрическом пространстве (С, р), т.е.
тг > 0 для него имеется в С конечная г-сеть, Поскольку метрическое пространство (С, р) полное, то по теореме срреше каждое вполне ограниченное в нем множество компактно. Следует также отметить, что не всякое ограниченное множество Я С С является компактом. Например, множество Я = (г Е С: (г~ ( 1) ограниченное, но не компактное а себе, поскольку любая подпоследовательность последовательности (х„= — ", ) его точек сходится к 1 б Я.
Аналогично, если множество Я С С имеет предельную точку гр !( Я, то оно не является компактом. Теорема 2 (критерий компактности в себе), Мналгестна Я С С яаяяетгя компактом тогда и только тогда, когда ана одновременно замкнуто и ограничена. < Необходимость. Пусть Я вЂ” компакт. Согласно теореме 1 множество Я ограничено. Допустим, чю оно не замкнуто.
Тогда существуют такая точка хг б Я и такая последовательность (г„), что ссп Е (с( х„Е Я д 1пп г„= г,. Любая подпоследовательность (г,) сходится к га б Я, что противоречит определению компакта. Источник противоречия — в предположении, что множество Я не замкнуто. Следовательно, Я вЂ” замкнутое множество. Достаточность. Пусть множество Я С С замкнутое н ограниченное, В силу замкнутости оно содержит все свои точки прикосновения (см.
пюк5, гл. 1). Рассмотрим любую последовательность (х ) его то'ек. Поскольку она ограничена, то, согласно теореме Больцано — Вейерштрасса 48 Гл. 2. Комплексные числа и функции комплексного переменного (см. теорему 5, п. 2.3), существует подпоследовательность (х„ь), сходящаяся к некоторой точке х Е С. Так как множество Я замкнутое и Чп Е )Ч г„Е Я, то х Е В. Согласно определению 1, множество Я компактное в себе. М Теорема 3 (Бореля — Лебега). Пз любого покрытия компакта К С С бесконечным семейством (С )„е„аткрытыл подмножеств 6 С С можно выделить конечное покрытое. М Утверждение является частным случаем теоремы 6, 5 4, гл. 1. И 2.5.
Предел и непрерывность функции комплексного переменного. Понятие отобраэкення из одного множества в другое дано в п. 1.8, гл. 1. Предел, непрерывность, а также свойства непрерывных отображений из одного мезрического пространства в другое рассмотрены в з 6, гл.
1. Будем изучать отображения 1': С ь С и (: К С. При этом результаты, изложенные в з 6, автоматически имеют силу в рассматриваемых случаях. Задание комплексной функции комплексного переменного ш = у(х), х Е РР равносильно заданию двух функций и: Кз - и и и: Кз -ы К с областью определения Рг С К'. При этом функция и называется дгигтаительнай частью функции 1', а функция в — ее мнимой частью, т.е. и = Ке у, п = 1гп 1', у(г) = и(х, р) Е (н(х, у). Таким образом, изучение функций 1': С -ь С сводится к рассмотрению свойств двух числовых функций и и и двух независимых переменных х и у.
В теории функций комплексного переменного биективное отображение области 6 С С на область Р С С С Р г принято называть одночастной функцией. Зго означает, что (х1 Е С, гг Е б д г~ Ф зг) ю ~(х~) Ф У(хг). Определение 1. Пусть э': С С и хь — пргдгльнал точка множества Рг. Число а Е С называется частичным пределам функции 1' а точке гь, если существует такал паглгдааательнасть (х„) точек множества РР чта (х„зо) гь (ьуп Е М г ф хо) Л ( Йп Г(х„) = о). (1) Множество всех частичных пределов функции У в точке, обозначим через Ег(хь).
Определение 2. Если множества ЕГ(хь) содержит лишь числа о, та ана называется пределам функции У в точке хь и обозначается сильаалам бга У( ). 'и Определение 3. Функция У называетсл непрерывной в точке зь Е Рю если !нп у(г„) = Э(зь) всякий раз, нак только х„ха д гн Е гч х„Е Р1. Если гр Е Р) и ЯвляетсЯ предельной точкой множества Рг, то 1 непрерыВна в точке х, тогда и только тогда, когда 1цп У(х) = э'(го).
-ь В изолированной точке зь Е Рг каждая функция ( непрерывна. Функция У, не являющаяся непрерывной в точке хь С Рг, называется разрывной в ней. Пусть гь Е Рг — предеяьная точка множества Р,. Она называется точкой устранимога разрыва щья функции У, если существует 1цп У(з) = о, о Е С и о х Г(зь). В этом случае ь функция (ь, определенная условиями Э(х), если "Е РГ)(га), )ь(х) = а при г= ь, непрерывна в точке хь. Иногда говорят: "функция э называется непрерывной в точке хю Е Рг, если ее приращение в этой точке бесконечно мало всякий раз, как только бесконечно мало приращение аргумента" В этой формулировке под бесконечно малым приращением аргумента понимают бесконечно малуиз последовательность (Ьз„) = ( „— хь), хь Е РР х„Е Рг тгп Е р(, а под приращением функции г подразумевают последовательность (гху(х„ д .)) = (Т(х + г1х.) - П ь)) = (Их.) - Т( )).
в 2. Топология комплексной плоскости 49 2.б. Арифметические операции нвд пределамн и непрерывными функциями. Теорема В Пусть функции У и д непрерывны в точке го б Ву и Во = ВГ. Тогда непрерывны в этой точке функции у 4 д, )' — д, Уд. Если дополнительно д(го) ф О, то функция г непрерывна а тачке го. и Пусть г„-о го и )гп б М г„б ВГ = Во.
Тогда 1(г„) -+ у(го), д(г„) ч д(го) и, согласно теоремам о пределах последоватеяьностей, имеем йгп (г'(г„) кд(г„)) = г(го) ~ д(го), 1!пз !(г„)д(г„) = г (го)д(го) !нп 1(г ) г (го) д(г ) ' д(го) Согласно определению 3, и. 2.5, функции у т д, уд, с непрерывны в точке г,. > Теорема 2. Пусть г, — предельная тачка множества РГ Гз Во.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
