А.К. Боярчук - Функции комплексного переменного - теория и практика (1118159), страница 14
Текст из файла (страница 14)
г — гг семейство окружностей (х — взт) + у' = г, гле Ке —,' — о1гп —,. равенство -т-р = с опрелеляет с, = —,, с т- О, касаюппохся в начале координат ) м а) пусть г = х + )у, тогда 14 = з/х)-ь у', ке г + 1 = х + 1 и исследуемое равенство принимает вид Ь/х) + у' = х Ч 1, После возведения в квалрат обеих частей последнего равенства получим у' = 2х + 1. Это уравнение параболы с вершиной в точке (-1, 0), для которой луч 7 = ! (х, У) 6 К ~х > — —,', У = 0 3 является осью симметрии.
б) Неравенство запишем в виде х + у < 1. Множество точек плоскости С, удовлетворяющих этому неравенству — полуплоскость, ограниченная прямой, уравнение которой х+у = 1. Начало координат принадлежит этой полуплоскости. в) Поскольку -*;-*;" = -*-:-"-)(созу) Ь)яп(о), у) б Агл-"; — *-", (о = 3)) — у)т, 3)) Е Агу(г — г)), )р) Е Агу(г — г,), то в первом случае имеем з!ну) = О, О)) — рт = й)г, а во втором — соз3) = О, (о) — (от — — —" + 2йя.
В первом случае векторы г — г) и г — г, лежат на прямой, проходящей через точки г, и гт (исключая последнюю), во втором случае угол между этими векторами с точностью до кратного 2х равен х-). Поэтому множество Ке -';-';" = 0 является окружностью, диаметром которой служит отрезок, соединяющий точки г, и г, (при этом из окрухоюсти удалена точка г,). )о = ' .т ) — ь ~) (( — ))).*.*. ') — ))'+ 'о) )*' ) — ))'. Возведя обе части полученного неравенства в квадрат, после несложных преобразований находим: Ф 1.
Комплексные числа и комплекспвя плоскость 41 мнимой оси. Если с = О, то х = О, т.е. семейство вклзочает в себя и мнимую ось. Равенз ство -р~~ = с определяет семейство окружное~ей х + (у+ -',з) = з, где с, = —,, с ~ О, касающихся действительной оси в начале координат, и включает в себя также действительную ось, поскольку при с = 0 у =О.
б) Пусть * = х -ь зу, тогда зз = х — уз 4 з2ху, Ке аз = х' — уз, (таз = 2ху. Если с Х О, то уравнения х — у = с и 2ху = с определяют семейства гипербож Если с = О, то уравнение х — у = 0 определяет пару прямых у = х и у = -х, а уравнение ху = 0 — пару прямых х = 0 2 3 и у=О. в) Пусть х = х + зу, х, = х, 4 зуз, хз = хз 4 зуз. Тогда равенство ! — ':*-з = Л (Л > 0) -з равносильно такому: (х — х,) + (у — у,)' = Л' ((х — х,)' ч- (у — у,)') .
Каждая кривая — окруж- ность, являюшаяся геометрическим местом точек, отношение расстояний которых от точек х, и гз посюянно (охрулсность Алоллонол относительно точек зз и сз). г) Поскольку агу -*:-=' = агу(х — х,) — агу(з — х,) = а, -я < а < я, то это равенство определяет семейство дуг окружностей с концами в точках х, и х, (угол между векторами з — хз и г — хз равен а), В это семейство входит конечный отрезок с концами в точках хз и х, (при а = хя) и бесконечный отрезок, содержащий бесконечно удаленную точку (при а = 0). м 40. Какие необходимые и достаточные условия того, чтобы уравнение х'+ 2ас + Ь = О с комплексными коэффициентами а и Ь имело: 1) действительные корни; 2) чисто мнимыс корни; 3) комплекснозначные корни.
м 1) Необходимость. Пусть х, и хз — действительные корни. Тогда по теореме Виста зз+ з=-2а, х~зз=Ь, аЕК, ЬЕК, 3 4а = зз-1- з,'-1-2Ь > 2;Яг~)-' + 2Ь > 4Ь, а" > Ь. Достаточность. Пусть а б К, Ь б К и а > Ь. Тогда нз формулы для нахождения корней з, з = — а х ч'а' — Ь следует, что х~ и сз — действительные числа, 2) Необходимость. Пусть х, и с, — чисто мнимые.
Тогда из формул Виста следует, что а — чисто мнимое, Ь вЂ” действительное. Поэтому 4а = з,'+хзз+ 2Ь < -2)Ь|+ 2Ь < 4Ь, откуда Ь>а. Достаточность. Если Ь > а' и а — чисто мнимое число, то из формулы для нахождения корней уравнения следует, что оба они чисто мнимые. 3) Уравнение второго порядка всегда имеет два комплексных корня. М 41. При каких значениях а корни уравнения х' 4 12 (1 4 зззЗ) с + а = 0 лежат на олной прямой? м Пусть корни этого уравнения з,, х,, зз лежат на одной прямой. Тогда л, — х, = Ь(зз — з,), Ь = сопи, й Е К.
По теореме Виста е, + зз + хз —— О, откупа с, = -хз — зз, Подставив х~ в равенство сз — х, = Ь(зз — х,), получим -*з = ~~,' = /сз, Ьз Е К. Следовательно, 1гп =" = О, откуда хзу, — хзуз — — О, у, = вз хз. Взяв вместо точки (хз, уз) любую точку (х, у) на прямой, получим прямую у = ах, а = ш, проходяшую через начало координат.
Поэтому имеем *в в в хз = х,с*, с, = хзе', сз = х,с', где х; > О (3' = 1, 2, 3) По формулам Виста получаем р = О, дс™ = 24е'з, гсз = а, тле р = -(х, +хз+ хз), о = х,х, + х,хз+хзх,, г = — х,хзхз. Поскольку х, — действительные числа, то уравнение х +рх +ох+г=х +ох+г=О имеет три действительных корня. Из формул Кардано следует, что коэффициенты а и г должны уловлетворять условию Отсюда заключаем, что а < О. Из второй формулы Виста имеем а = -24, ез'в = -сз з . Поскольку з)6( — з, з),тос* =(-!)сзз =е( з) =е зз,ЗО=-зг, Гл 2. Комплексные числа и функции комплексного переменного Согласно третьей формуле Виста г = — а, а Е К. Из неравенства (!) при о = -24, г = -а получаем, что а' < 2", т.
е. (а( < 32ъ~2. ° . 42. Найти все корни уравнения (х+а)" = х" (и Е (й(). Доказать, что если а — действительное число, то все корни хй лехсат на прямой, параллельной мнимой оси. м Уравнение эквивалентно при х Ф 0 уравнению !" =- 1, где ! = — *+, .
Следовательно, ,йй гй = е* (й = О, п — 1). При й = О !е — — 1, что невозможно, поскольку з+ а ~ х, если а ~ О, Переходя от ! к е, получим 1 1 1 — (соз — — (пп — ) а (! — соз — +!н!и — ) зй, и г 2йг . Зй й хй=-а — = — а зй = — а гй l 2й 1 — !й ! — 2 — 2соз— 2 !1 — соз — ) — е' а 3!и — + (5!и — соз — а ( йх — — = — — ( 1+ ! с!я — / (й = 1, и — 1) 2 з)лзй 2 ~ и( Если а б К, то Ке ай — — — —,, т. е. все корни лежат на прямой, параллельной мнимой оси, м 1 — й 43.
Каковы на сфере Римана образы точек: 1) в = 1; 2) х = -1; 3) х = й; 4) х = —. ъ'2 м Воспользуемся формулами (3), п.1.3: ( = .ф!т, О =;Др, Г = —,, В примере речь идет об образах точек х, = (1, 0), хз —— ( — 1, 0), з, = (О, 1), з, = (+, — +) . Обозначив образы точек гч соответственно через Я, (! = 1, 4), получим: г,= —,о,—, г,= -),о,—, г,= о,—,—, г,= Все четыре точки лежат на экваторе, долготы их соотнезственно раним О, х, — ', — — "„. М 44. Найти на сфере Римана образы: а) лучей агйх = а; б) окружностей ч = (х б С: (х! = г). м а) Если точка х Е С принадлежит лучу агй х = а, то соответствующая ей точка Я = (Г.
О, Г) имеет свойство: главным значением агх(Г+ ей) является а. Поэтому точка Я принадлежит полу- меридиану, отвеча!ошему углу а. Справедливо и обратное Следовательно, образом лу йа агй з = а прн стереографической проекции является пачумеридиан, отвечающий углу а, исключая северный и южный полюсы. б) Пусть х б С н !х~ = г. Тогда для соответствующей золян Я Е 5, Я = (Г, О, Г), по формулам (3), п.1.3, получаем, что Г = —," ... Поэтому все точки В лежат на окружности, вырезаемой из сферы 5 плоскостью, )равнение которой Г = — '--г.
Справедливо и обратное угнерждение: из м 1 тех же формул (3) следует, что если ( = —,',, то дяя соответствуюшего х имеем (х( = г. Следовательно, образом окр)экностн Т при стереографнческой проекции является окружность сферы о, ,г лежащая н плоскости Г = —,', . м 45. Найти на плоскости С образ параллели с ширмой (е ( — /з <?з < /з) прн стереографической проекции.
Чему соответствуют южный и северный полюсы? М ПУсть точки (С, О, Г) Е Я имеют шиРотУ (и. Тогда Г = ,—' + дчзл. ПоэтомУ из фоРмУл (3), п. 1.3, находим Каждой точке параллели широты Р соответствует точка плоскости С, нахоляшаяся на окружности У = Тх б С: (4 = !й (кз + —,) ), 06Ратное Угвейждение также спРаведливо. Южный полюс, т, е. точка широты (а = --,, соответствует точке (х( = О, Точки, отвечающей северному полюсу, в плоскости С нет. > 46. Что соответствует на сфере Римана семейству параллельных прямых на плоскости С при стереографической проекции? М Рассмотрим семейство параллельных прямых плоскости С, пересекаюших ось Оу. Пусть прямая этого семейства проходит через начало координат и наклонена к оси Оа под углом а.
б 2. Топология комплексной плоскости 43 Тогда из задачи 44 следует, по ей соответствует меридиан (за исключением северного полюса) с долготой а. Пусть у = ях + Ь, д = !да — любая другая прямая этого семейства. Тогда, если точка Я = ((, О, () Е В соответствует точке а = х+ гу, по формулам (3), п. 1.3, получаем дх+ Ь 1з!' (= —, О= —, в 1+~ ~г !+)а!г 1 ! ~а~г О да О = ДЕ+ Т;,', = Д(+Ь(1-() ПоэтомУКООРдина ( О ( точки г УдоюгетвоРЯгот уравнениям г г' 1) 1 М вЂ” Π— Ь(=-Ь и ( +„+ г( 2,~ 4' Следовательно, точка Я принадлежит окружности, определяемой двумя последними уравне- ниями. Так как точка (О, О, 1) удовлетворяет этим уравнениям, то все такие окружности проходят через северный полюс.
Таким образом, всякому семейству параллельных прямых на плоскости С отвечает на Я се- мейство окружностей, каждая из которых проходит через северный полюс. М 47. Доказать, что при стереографической проекции окружности, расположенные на сфере, проектируются в округхности или в прямые на плоскости. Какие окружности на сфере соответ- ствуют прямым на плоскости? < Рассмотрим на сфере Римана окружность АС + ВО+ С(+ Р = О, (г„г+ г( !гг где А, В, С, Р— некоторые действительные числа. Найдем образ этой окружности при стерео- графической проекции сферы Я на плоскость С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
