А.К. Боярчук - Функции комплексного переменного - теория и практика (1118159), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Все параметрические представления ур Е у эквивалентны между собой. Их совокуг<ность называется протиеополохсной ориентацией у,„. Ориентированную кривую Г = (у, у„,) назовем противоположно ориентироеаннои по отношению к Г(у, у,р). Среди всех параметрических представлений ур ориентированной гладкой кривой Г = (у, ур) существует такое, что <рЕ у,р, Р =[0<1] и ч(Е[а,Ь] ](о(1)[=1< ь где! = д' [)р'(1)[д( — длина кривой у. Это представление единственное. Оно называется нормальным (естественным, натураяьныи). Нормальное параметрическое представление ур получаем в < виде композиции <гору, где <у< Е у, Ре = [а, Ц, [О, 1] " [а, Ь[ и Ф1 Е [а, Ц <1 '(1) = ] ]<6'(т) [дт. 52 Гл. 2.
Комплексные числа и фувкцин комплексного перемелиого Известен следующий результат. Теорема 1 (Жордана). Простоя замкнутая кривая у разбивает всю плоскость С на две различные области С, и Сз, общей границей которых она являетсл. При этом одна из областей, называемая внутренностью т, ограничена, а другая, называемая в не шност ью т и содержащая бесконечно удаленную точку, не ограничена. Например, множества С, = (л Е С [ р(зь, ) < г) и Сз — — [з Е С [ р(гь, з) > г) являются соответственно внутренностью и внешностью окружности у = (з Е С: р(з„з) = г) . Определение 4. Пусть С С С вЂ” произвольная абзасть.
Если для любой замкнутой жордановой кривой у, принадлежащей С, внутренность у также принадлежит С, то область С называетсл односвязной (относительно плоскости С). Примером односвязной области является внутренность окружности. Внешность окру:ююсти, а также круговое кольцо — не односвязны относительно плоскости С, так как для каждой из этих областей можно указать такую окружность, принадлежащую области, внугренность которой не вся прнналлежнт области, Для нужд теории конформных отображений понятме односвязной области обобщается. Определение 5.
Область С С С называется односвязной относительно расширенной комплексной плоскости, если для любой замкнутой жордановой кривой у, принадяежащей С, внутренность у или внешность т также принадлежагп С. Области, не являющиеся односвязнымн, цазьпюются мпоеосвязпыми. Например, внешность окружности, которой в расширенной плоскости С приналлежит также н бесконечно удаленная точка, является односвязной относи~ельно плоскости С, хотя она не односвязна относительно плоскости С.
Круговое кольцо не односвязно как относительно плоскости С, так и относительно плоскости С Если у — непрерывная кривая, то она является замки)чым ограниченным множеством. Действительно, поскольку параметрическое представление уз кривой у — непрерывная функция, заданная на компакте (а, Ь[, то по теореме 1, п. 2.8, множество Е» = т является компактным в себе, т.
е замкнутым и ограниченным. Опредемиве 6. Упорядоченный набор Г = (Гн Гз, ..., Г„) гладких ориентированных кривых Г„= (у, т~ ) (Ь = 1, и) называется кусочно-гладкой кривой, если УЬ = 1, п — 1 конечная (й ип точка гладкой ориентированной кривой Гь совпадает с начальной точкой аналогичной кривой Гью. Множество у = [ [ т'Ы пазываетсл следоль кусочно-гладкой кривой Г или множеством ее точек. Следующее утверждение имеет важное значение в приложениях. Теорема (о биективных н непрерывных отображениях). Пусть С С С вЂ” область и С»- .0 — обобщенно-непрерывгюя функция. Тогда множество 22 также являетсл областью и функция ( обобщенно-непрерывна в 2).
Если, сверк того, функция Т определена ча границе дС, прав ! чем является обобщенно-непрерывной на залгыкании С, то / отображает дС но дТ2, т.е. граница образо области С совпадает с образом границы тои же области. Обобщим понятие непрерывной кривой Пусть [а, Ь) С вЂ” обобщенно-непрерывная функция, причем сегмент [а, Ь) мохсет быть бесконечным в одну или в обе стороны.
Функция (о называется параметрическим представлением обобщенной непрерывной кривой т в расширенной комплексной плоскости. Если тг( Е [а, Ь[ (о(1) ф оо, то обобщенная кривая не проходит через бесконечно удаленную точку. Понятия началъной н конечной точек крлвой, замкнутой кривой, кратной точки, жордановой кривой распространяются на случай обобщенной непрерывной кривой. Замкнугое связное множество называется континуумом. Континуум, не имеющий внутренних точек, называется линейньич, или канторовой кривой, например, отрезок, окружность.
Это другой подход к понятию кривой на плоскости. Существует и другой полхол к понятию олносвязной области. Пусть М вЂ” несвязное множество, А — его связное подмнолсество. Назовем А максимально связньич, если не существует никакого другого связного полмножества В С М такого, что А С В Максимально связные полмножества М называются его связными компонентами, В те р множеств доказано, что любое множество есть обьелинение его связных компонегп в конечном йд. Неирерьаиые и гладкие кривые. Одиосвязиые и миопювязиые области 53 Е С С «ь Е С С. Пусть т — топология расширенной комплексной плоскости С, М С С вЂ” связное подмножество, » б М, О, — окрестность точки» в топологическом пространстве (С, т). Определение 7.
Окрестностью точки» в множестве М называется множество О', = О„. г) М. Совокупность всех окрестностей О', и» б М будем называть относительной топологией т' множества М. В дальнейшем окажется полезным следующее утверждение. Теорема. Пусть М С С вЂ” связное множество и А — его иепустое подмножество. Если А одновременно замкнуто и открыто в топологии т', то М = А. < Применим метод доказательства от противного.
Пусть А' = М)А Фв. Рассмотрим замыкание А в топологии т. Очевидно, что оно состоит из точек его замыкания Л„в топологии г' и некоторого множества, не принадлежащего М. Поэтому АпА =А ° гзА. Поскольку множество А замкнуто в юпологии г', то А, = А. Итак, А гз Л' = Л гз Л' =сз . Если Л вЂ” открытое множество в топологии т', то его дополнение А' — залзкнугое в той же топологии (предельные точки множества Л' не могут принадлежать А вследствие его открытости, следовательно, они принадлежат А'). Поэтому к пересечению А' гз А можно применить те же рассуждения, по и к А П А', в силу чего А' Г! А =!д.
Соотношения М = А и А', А г) А' =в, Л' гз А =й!, Л Фа, Л' Фа противоречат связности множества М. Источник противоречия — в предположении, что МФА. м Рассмотрим примеры. 48 Доказать: » 1) если»„0 при и со, то (1+ — З! 1; 2) если»„1 при и со, то (! -1- — ) е. < 1) Оценим разность (1+ — *" ) — 1. Поскольку (1+ — *) = 1+ д,'С„ф, то ь ые» 1,„!лог -) 1~1 =е ( ") — 1=е" Х"з — 1 0 прим»со. Следовательно, (1+ гк) — 1. 2) Полагая зи„= »„— 1, получаем, на основании 1), что (+-.) м('+='+=.) =(+Ц (+а) .-(! 11 + — „" ) — 1 при и — со. Так как + -*'") е. !» или бесконечном количестве. Область С С С называется односвлзной, если ее граница дС является связным множеством.
Поскольку дС вЂ” замкнутое множество, не имеющее внутренних точек, то граница односвязной области есть линейный континуум, Область, граница которой не являетсн связным множеством, г!азывается иеодносвлзной. При этом, если число связных компонент границы дС конечное, то оно называется порядком связности области С.
Если же множество таких компонент бесконечное, то С называется бесионечносалзной областью. Область С назовем компактной и обозначим С ~~ С, если существует круг Кл — — 1» б С: ~»~ ( Е < +со), содержащий в себе С. Считаем, что множество Е компактно принадлежит области С и записываем Е с С, если замыкание Е приналлежит С, т. е.
Гл. 2. Комплексные числа н функции комплексного переменного 54 где (а„= з~ з! Тогда х !пв з„= О, !пп рзь = —, ь-, 4' т. е. последовательность (у!„) Расходящаяся. М гг !пп рзь Ь гч В 50. Пусть ~~! 'Рь +ос при и — оо, где р„> О. Доказать, что если последоватеяьность ь=! Р!з!+Рзаз+ . +Р з (а„) комплексных чисел сходится к з, то и последовательность Я„= Р!+Рз+ +Р сходится к з.
М Оценим !߄— з!. Имеем !߄— з! = < Р!(з! — з)+Рз(а! — з)+" +Р (х — л) Р!!г! — з!+р!)з! — 4+ ... +Р„)г„— з! Р|+Рз+ Р!+Рг+ +Р т. е. Рьр ) г=! р(Я„, л) < 2 Р. ь=! Так как 2 Р„+со, то по теореме Штольца лля последовательностей действительных чисел ь=! Е Ргй(з ь=! !и! л) = 1пп Р„ч!Р(г„ч!, ?) = О. Р ы Следовательно, р(Я„, а) = о(1), т. е.
1пп Я„= а. и ч-~ (я!) 51. Найти предел последовательности (л„), где х ь=о м Докажем, что последовательность (а„) фундаментальная. Пусть е > О, и Е И, р Е М Тогда +г .ь~ +г (л!) 1 зг !як~я — а„! = ~~! — ( (~ — < е (ь= ы ' ь=+! !ч при всех достаточно больших и и УР Е р(, поскольку числовой ряд ~ — „, сходи но признаку Д'Аламбера, и сумма его остатка г„стремится к нулю при возрастании н р 4зль.
Доказать, что последовательность (ага е„) может расходиться, если последовательность (з„) сходящаяся и 1пп а„ Ф О. м Рассмотрим последовательность (з„), где „= -1+!(=-О-. Она сходится„и !!ш х„= — !. Поскольку ззь — — -1 + — *,, зм ! — — — 1 — — ' — т, то агяхзь — — !г — агсгд — г а!вязь-! = -!г + ! 4ь ' !зг-!! гь агсга;;„--лт. Так как !пв агдам — — зг, (пп а!аз!а ! — — -х-, то гюследовательность (агля„) имеет ь- ь две предельные точки, в силу чего является расходяшейся. Заметим, что и в случае 1пп з„= О последовательность (ага з„) мохсет расходиться.
Пусть, например, е !ям если и = 2(г, и если га = 2й — 1. вЗ. Непрерывные н гладкве кривые. Одиосвязные н мяогесвязные областв 1нп Кех„= сося = — 1, 1)ш ! гп х„= з)п х = О. Следовательно, 1!ш х„= -1. ° . ах 52. Найти 1пв з„, если х„= 11+ — ), а = и в!)3. и Н Записывая х„= х„+ гу„= г„(соз р„+ ! Вп р„), имеем "="= ° -' =((" )'"®')'+'-:" ' ')' а У)3 а ю„= агах„= нага (1+ -) = пагсгд ( — (1+ — ) так как при больших значениях и точка х„находится в правой полуплоскости Я = (х Е С ! Кех > О). При и со 1-Ь ~ + — )тд- 1 Ь вЂ” ' -('-( .-) )--( .-) -"Р( -.) )- (-) Следовательно, 1!ш г = ехр ~ йт — . -1 = с, йш р„= У), йш х„= с" (соз)3+ Уз!п)3) = е ь Е. !ь з) 53.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
